常微分方程OrdinaryDifferentialEquations董素媛理學院Welcometomyclass!—積分問題

—微分方程問題推廣課程評價:作業(10%)課堂參與小測驗筆記期末考試(70-80%)dongsuyuan2002@163.com315866606982

課程內容:(2)一階微分方程的初等解法(3)微分方程解的存在唯一性定理(4)高階微分方程(5)線性微分方程組

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參考書

iii.常微分方程習題解，莊萬iv.常微分方程習題集，周尚仁v.常微分方程解題方法，錢祥征i.常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991。

ii.常微分方程講義(第二版)，葉彥謙，人民教育出版社，1982。vi.常微分方程考研教案，竇雯虹5第一章緒論

微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題一、問題的提出二、微分方程的基本概念三、小結一、問題的提出【引例1】

一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的【解】

設所求曲線方程為y=y(x),則有如下關系式:①(C為任意常數)由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.【引例2】

列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規律.【解】

設列車在制動后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規律為即求

s

=s(t).

含有未知函數的導數或微分的方程.Definition微分方程（DifferentialEquation）或具體地聯系著自變量、未知函數以及未知函數的導數（或微分）的關系式。9注：未知函數的導數或微分是不可缺少的微分方程中的未知量是函數.注意與代數方程的區別。常微分方程

(ODE)-自變量的個數只有一個的微分方程；(1)常/偏微分方程（ordinarydifferentialequation/partialdifferentialequation

）基本概念偏微分方程(PDE)-自變量的個數為兩個或兩個以上的微分方程。10微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數。(2)微分方程的階數:11練習1指出下面微分方程的階數，并回答方程是常微分方程還是偏微分方程：12二階微分方程的標準形式為：為自變量，為的函數的一階微分方程的標準形式為：13一般地，

階常微分方程具有形式

的已知函數，而且一定含有

是注1：14（3）線性和非線性微分方程如果方程

及

的一次有理整式，

則稱(1）為

的左端為階線性微分方程。（1）15這里

是的已知函數。階線性微分方程具有形式一般地，不是線性方程的方程稱為非線性方程。例如，方程

是二階非線性方程，而方程是一階非線性方程。16練習2指出下面微分方程的階數，并回答是否線性的：03)()24)1222=-+-=ydxdyxdxdyyxdxdy17（4）解和隱式解如果將函數

（1）代入方程為方程（1）的解。

能使它變為恒等式，則稱函數

后，18確定的隱函數

的解，則稱

為方程（1）的隱式解。如果關系式是（1）19Remark：解和隱式解統稱為方程的解。有解

和

而關系式

為方程的隱式解。例如，一階微分方程事實上，由得所以為的解。由得所以20為方程的隱式解。練習3驗證下列各函數是相應微分方程的解：(c是任意常數)21（5）通解和特解

含有

個獨立的任意常數

的解

稱為

階方程的通解（隱式通解）。22

Remark:為n個獨立的任意常數

23求微分方程滿足初始條件解的問題，稱為初值問題或Cauchy問題。滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。求微分方程滿足邊值條件解的問題，稱為邊值問題。求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問題2424

實際問題中經常需要尋找微分方程滿足某種特定條件的解，這個特定條件就是定解條件。定解條件：初值條件，邊值條件一階微分方程的初值問題可表示為或25階微分方程的初值問題可表示為引例2—使方程成為恒等式的函數.通解—解中所含獨立的任意常數的個數與方程的階數相等.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數的解,其圖形稱為積分曲線.【例】驗證函數是微分方程的解,的特解.【解】

這說明是方程的解.是兩個獨立的任意常數,利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件【6】微分方程組.【分類1】常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程【分類2】【分類3】線性與非線性微分方程.【分類4】單個微分方程與微分方程組.客觀現實世界運動過程中量與量之間的關系簡單問題直接寫出關系式：函數表達式復雜關系不易寫出函數關系式，但易建立變量滿足的微分方程30常微分方程是一門與實際聯系比較密切的數學課程，注意它的實際背景與應用；而作為一門數學基礎課程，應該把重點放在應用數學方法研究微分方程本身的問題上。【補充】微分方程的初等解法: