山西省呂梁市利民學校2022年高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點，直線，點B是l上的動點，過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P，則點P的軌跡是

（A）拋物線

（B）橢圓

（C）雙曲線的一支

（D）直線參考答案：A2.已知命題，命題的解集是，下列結論：①命題“”是真命題；②命題“”是假命題；③命題“”是真命題；④命題“”是假命題其中正確的是（

）A.②③

B①②④

C.①③④

D.①②③④參考答案：D3.已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,且其漸近線的方程為,則該雙曲線的標準方程為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.“數列既是等差數列又是等比數列”是“數列是常數列”的（

）． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A解：若數列既是等差數列又是等比數列，則數列為常數列，且，反之，當時，滿足數列是常數列，但數列不是等比數列，所以“數列既是等差數列又是等比數列”是“是常數列”的充分不必要條件，故選．5.集合P={y|y=﹣x2+2}，Q={x|y=﹣x+2}則P∩Q是（）A．（0，2），（1，1） B．{（0，2），（1，1）} C．? D．{y|y≤2}參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】先分別求出集合P，Q，由此利用交集定義能求出P∩Q．【解答】解：∵集合P={y|y=﹣x2+2}={y|y≤2}，Q={x|y=﹣x+2}=R，∴P∩Q={y|y≤2}．故選：D．6.已知集合，或，則A．{6,9}

B．{3,6,9}

C．{1,6,9,10}

D．{6,9,10}參考答案：D7.閱讀右側程序框圖，輸出結果的值為A.5 B.6 C.7 D.9參考答案：C8.已知向量，，，且，則實數＝(

)A.

B.

C.3

D.0參考答案：C試題分析：∵，，∴，∵，且，∴，即.考點：向量的運算.9.若，則（）A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c參考答案：D【分析】根據對數函數性質得，再根據指數函數的性質得，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據對數函數的性質，可得，根據指數函數的性質，可得，所以．故選：D．【點睛】本題主要考查了指數式與對數式的比較大小問題，其中解答中熟記指數函數與對數函數的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10.2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業得到了充分發展，尤其是黨的十八大以來，文化事業發展更加迅速，下圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業機構數（個）與對應年份編號的散點圖（為便于計算，將2013年編號為1，2014年編號為2，…，2018年編號為6，把每年的公共圖書館業機構個數作為因變量，把年份編號從1到6作為自變量進行回歸分析），得到回歸直線，其相關指數，給出下列結論，其中正確的個數是(

)①公共圖書館業機構數與年份的正相關性較強②公共圖書館業機構數平均每年增加13.743個③可預測2019年公共圖書館業機構數約為3192個A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D【分析】根據和確定是正相關還是負相關以及相關性的強弱；根據的值判斷平均每年增加量；根據回歸直線方程預測年公共圖書館業機構數.【詳解】由圖知點散布在從左下角到右上角的區域內，所以為正相關，又趨近于1，所以相關性較強，故①正確；由回歸方程知②正確；由回歸方程，當時，得估計值為3191.9≈3192，故③正確.故選：D.【點睛】回歸直線方程中的的大小和正負分別決定了單位增加量以及相關型的正負；相關系數決定了相關性的強弱，越接近1相關性越強.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數列{an}是正項數列，且，則=．參考答案：2n2+2n【考點】8H：數列遞推式；8E：數列的求和．【分析】利用已知條件求出通項公式，然后化簡所求的表達式的通項公式求解數列的和即可．【解答】解：數列{an}是正項數列，且，a1=4．可得，兩式相減可得：，即an=4n2，=4n，則=4（1+2+3+…+n）=2n2+2n．當n=1時，命題也成立．故答案為：2n2+2n．12.已知函數f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是________．參考答案：(－∞，2ln2－2]略13.已知正實數x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，則x+y的最小值為

．參考答案：8考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：變形利用基本不等式即可得出．解答： 解：∵正實數x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，當且僅當y=3，（x=5）時取等號．∴x+y的最小值為8．故答案為：8．點評：本題考查了變形利用基本不等式的性質，屬于基礎題．14.復數z=i2(1+i)的虛部為____▲___．參考答案：

答案：-115.已知兩個離散型隨機變量，滿足的分布列如下：012Pab當時，

，

．參考答案：由題意，因為，所以，則，又因為，所以.

16.在△ABC中，己知，點D滿足，且，則BC的長為_______．參考答案：【知識點】向量數乘的運算及其幾何意義．F3

解析：根據題意，畫出圖形，如圖所示；

設BC=x，∴CD=2x，∴D是CD的中點，∴S△ABC=S△ABD；

即?3?AB?sin45°=??AB?sin∠BAD，

∴sin∠BAD=，

cos∠BAD=；

∴cos∠DAC=cos45°cos∠BAD-sin45°sin∠BAD

=，

在△ACD中，CD2=AD2+AC2-2AD?AC?cos∠DAC

=，

∴CD=，

∴BC=．

故答案為：．【思路點撥】根據題意，畫出圖形，結合圖形，利用同角的三角函數關系，余弦定理，求出CD的長，即得BC的長．17.已知雙曲線C：，A、B是雙曲線上關于原點對稱的兩點，M是雙曲線上異于A、B的一點，直線MA、MB的斜率分別記為k1，k2，且k1∈[﹣3，﹣1]，則k2的取值范圍是．參考答案：[﹣3，﹣1]【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設出點A，點M，點B的坐標，求出斜率，將點A，B的坐標代入方程，兩式相減，再結合k1∈[﹣3，﹣1]，即可求得結論．【解答】解：由題意，設A（x1，y1），M（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）∴k1?k2=?=，∵﹣=1，﹣=1，∴兩式相減可得=3∵k1∈[﹣3，﹣1]，∴k2∈[﹣3，﹣1]．故答案為：[﹣3，﹣1]．【點評】本題考查雙曲線的方程，考查雙曲線的幾何性質，考查直線的斜率公式和點差法的運用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（09南通期末調研）（14分）如圖，在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．（1）求sin∠BAD的值；（2）設△ABD的面積為S△ABD，△BCD的面積為S△BCD，求的值．參考答案：解析：

（1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，則AC=10，．………………2分又∵，AB=13，∴．………4分∵，∴．………5分∴．…………8分（2），，，11分則，∴．………………14分19.設函數f（x）=|2x﹣7|+1．（1）求不等式f（x）≤x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（1）問題轉化為解不等式組問題，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函數，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍．【解答】解：（1）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集為；（2）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，則，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4．【點評】本題考查了絕對值不等式的解法，考查函數的最值問題，是一道基礎題．20.已知函數f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數；二倍角的余弦；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的單調性．【分析】（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數關系將f（x）=4cosxsin（x+）﹣1轉化為f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函數的單調性質即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．21.（本小題滿分13分）設，函數，函數，.（Ⅰ）當時，寫出函數零點個數，并說明理由；（Ⅱ）若曲線與曲線分別位于直線的兩側，求的所有可能取值.參考答案：（Ⅰ）不存在零點（Ⅱ）.

當變化時，與的變化如下表所示：0↗

↘

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

當變化時，與的變化如下表所示：0↗

↘

……………7分

當變化時，與的變化如下表所示：0↘

↗

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

解得.

所以的取值集合為.

……………13分考點：根據導數研究函數單調性，利用導數研究函數最值22.已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是（t為參數）．（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且，求直線的傾斜角α的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】（1）由曲線C的極坐標方程，得ρ2=4ρcosθ．由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標方程．（2）將直線l的參數方程代入圓的方程，得：t2﹣2tcosα﹣3=0．利用韋達定理和弦長公式能求出直線的傾斜角α的值．【解答】選修4﹣4：