2021京海淀高三（上）期末數

學2020.01本試卷共8頁，150分考試時常120分。考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共分）一、選擇題共小，每小題4，共分。在每小題列出的四個項中，選出符合題目要求的一項。（1）拋物線y的線方程是（A）

12

（B

11（C）y（Dy42（2）在復平面內，復數

i1

對應的點位于（A）第一象限

（B第二象限（）第三象限（D第象限（3）在的展開式中，x

的系數為（A）

（B

（）

（）

（4）已知直線

lxay

，點A

B2,2若

lAB

，則實數a的為（A）1

（B

（）

（）（5）某三棱錐的三視圖如圖所示，該棱錐的體積為（A）

（B4

（）

（）（6）已知向量a，

滿足

a

，b

a

，則

（A）

（B

（）

（）（7）已知，是個不同的平面“

一充分條件是（A）內無數直線平行于

（B存在平面，

，

第1共18頁

O12122（C）存在平面，O12122

m，

且∥n（）存在直線l，l，

l（8）已知函數fx)（A）

f()2(x是偶函數

4

)

則（B函數

fx)

的最小正周期為2π（C）曲線

yf()

關于

π

對稱（）

ff（9）數列

的通項公式為

ann

2

n

，

∈N前項為

，給出下列三個結論：①存在正整數

,(m)

，使得

；②存在正整數

,(m)

，使得a2aa；③記，aa

a)

則數列

，中所有正確結論的序號是（A）

（B③（）③（）②（）如圖所示，在圓錐放入連個球，，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線切），切點2圓（圖中粗線所示）分別⊙.兩個球都與平面相切，切點分別為F，F，丹德林G·Dandelin）利用這個型證明了平面與圓錐側面的交線為橢圓，F，F為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱雙球。若圓錐的母線與它的軸的夾角

，的半徑分別為1,4，點M為上的一個定點，點P

為橢圓上的一個動點，則從點

沿圓錐表面到達的路長與線PF的之和的最小值是（A）

（B

（C33

（）43第2共18頁

PalPNMAN90t第二部分（非選擇題共分PalPNMAN90t（）在互網時代，國家積極推動信息化技術與傳統教學方式的深度融合，實現線上、線下融合式教學模式變.某高一、高二和高三學生人如圖所示采用分層抽樣的方法調查融合式教學模式的實施況，在抽取樣本中，高一學生有16人則該樣本中的高三學生人數為

（）設等比數列

{a}n

的前n項為.、、成差列，則數列n13

{a}n

的公比為

（）已知雙曲線

22

的左右焦點分別為

F,，點(1

，則雙曲線的漸近線方程為；MFMF1

;（）已知函數

(x)

是定義域

的奇函數，且x0

時，

f(x)

，則a

，

(x)

的值域是；（）已知圓

Px5)

2

y

2

，線l:，M(5,2，點A(,

給出下列4個結論：①當，線與相；②若直線l圓一條對稱軸，則

；③若直線l上存點A，圓上在點N，使得

MAN90

，則的大值為；④為圓

P

上的一動點，若

，則的最大值為.其中所有正確結論的序號是

.第3共18頁

三、解答題共6小，共。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（）（本小題共15分）在三棱柱

AC中，側面為矩形，AC平CC111111

D分別是棱，BB11的中點（Ⅰ）求證：

AE∥平面CD11（Ⅱ）求證:

平面ABC1(Ⅲ)若

ACBC1

求直線AB

與

面BCD11

所成角的正弦值（）（本小題共14分）若存在ABC同時足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組這樣的三個件并解答下列問題：（Ⅰ）求

的大小；（Ⅱ）求cos和a的值條件①：sin；條件②：

c

；條件③：

b

；條件④：

cosA

第4共18頁

第5共18頁

2222（）（本小題共14分）2222某公司在2013~2021年產經營某種產品的相數據如下表所示：年份

2016

年生產臺數（單位：萬臺）年返修臺數（單位：臺）

年利潤（單位：百萬元）

c注：

=

（Ⅰ）從2013~2020年隨機抽取一年，求該生產的產品的平均利潤不小于元/的概率；（Ⅱ）公司規定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產部門當年考核優現從中隨機選出3年，記表示這3年生產部門獲得考核優秀的次.

求的分布列和數學期望；（Ⅲ）記公司在2013~2015年，2016~2018年，的年生產臺數的方差分別為

ss2,s213

若s3

max{2,1

}，其中max{s12

}示ss1

，這兩個數中最大的請寫出a的最大值和最小值.（只需寫出結論）（注：

s

2

x)1

2

x)2

2

n

2

]

，其中x

為數據

x,,2

的平均數）（）（本小題共14分）x已知橢圓:離心率為，且經過點C2a22（Ⅰ）求橢圓W的程及其長軸長；（Ⅱ），B分別為橢圓W的、右頂，點在圓上且位于x軸方，直線CD交x軸點Q，△

的面積比

BDQ

的面積大3，求點D的坐第6共18頁

第7共18頁

（）（本小題共14分）已知函數

f)

lnx

（Ⅰ）求函數

f(x

的單調區間；（Ⅱ）設

g(x)f()

，求證：

g(x)

；（Ⅲ）設((

2axa

若存在使h(x)求a的大值.0（）（本小題共14分）設A是由

n(n

個實數組成的行列數表，足：每個數的絕對值1，所有數的和是非負數，則稱數表A是階負數表”（Ⅰ）判斷如下數表A，A是是階負數表；1（Ⅱ）對于任意

階非負數表A，記

)

為A的行數之明：存在,k

R(i)j)

；（Ⅲ）當k*)

時，證明：對與任意階非負表A，存在

k

行

k

列，使得這

k

行

k

列交叉處的k個數之和不小于k.第8共18頁

2021京海淀高三（上）期末數學參考答案一、選擇題共小，每小題分共分題號答案

（1（）（3（）（）（）（）（8）（）（）BADADCA二、填空題共5小，每小題分，共25分題號

（11

（12

（）（14（）答案

-

y0

1

①②④

（三、解答題共6小，共。（）（本小題共15分）解：（Ⅰ）在三棱柱

C1

中，

BB

，且

BB1

因為點

D

，

E

分別是棱

1

，

1

的中點，所以

BE，且B1

所以四邊形AEBD平行四邊.1所以

//DB1

又因為

平面BC11

，

平面BCD111

，所以

//平BCD1

（Ⅱ）因為

平B1

，

CC平面CC11

，所以

CC1

，因為側面

BCCB

為矩形，所以

，又因為

BC

，

AC平ABC

，

BC平面ABC

，所以

CC平面A1

第9共18頁

（Ⅲ）分別以

，

，

CC

所在的直線為

軸，

軸，

軸建立如圖所示的空間直角坐標系xyz

，由題意得A(2,0,0)

，(0,2,0)

，

1

，

C(0,0,2)1

，D

所以

，

C1

，

CD1

設平面

D11

的法向量為nxy)

，則B11

即

2y2x0.令，則y，z2.于是n所以

cos

|

2

.所以直線AB與平面D所角的正弦值為11（）（本小題分）選擇①②③

解：（Ⅰ）因為

cC

，由正弦定理可得：因為b，所以

sin

Cc2

0所以2所以（Ⅱ）在ABC中，

c

，所以ac.所以

0

2

第10頁共18頁

因為

C

3

，所以

Csin

1314

所以

cosB

)))A

3127所以

B1cos2B

由正弦定理可得因為b所以a.選擇①②④

33，即b解：（Ⅰ）因為

c,sinC,14由正弦定理得

A

C.2在

ABC,

bcos

52所以所以

0

2

（Ⅱ）在

ABC,

a

73

所以ac所以

第11頁共18頁

2222因為

C

3

，所以

Csin

1314所以

cosB

)))A

32所以

Bcos2B

因為

bcos

52所以

5b12

3由正弦定理得

a

753

14（）（本小題共14分）解：（Ⅰ）由圖表知2013~2020中，產品的平均利潤小于元/臺的年份只有2015，2016年所以從2013~2020年隨機抽取一年，該年生產的產品的平均利潤不小于6元/臺的概率為

（Ⅱ）由圖表知2013~2020年，返修率超過千分之一的年份只有，年所以的有可能取值為1,2,3（）

CC2C3

328

（）=

C2C15C052C283（）8

所以的分布列為第12頁共18頁

W，22W，其中WBDQ333W，22W，其中WBDQ333BDQ（Ⅲ）的大值為13最小值為7（）（本小題共14分）解：（）因為橢圓經過點

所以

43ab因為橢圓的心率為，所以

3bc2所以

所以橢圓的程為

2

，長軸長

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由題意可知由（Ⅰ可知A

D3

Qξ

所以的面積

為×6×3，的面積為×2

3顯然的積比的面積為大方法一

2

.第13頁共18頁

yDcDDACQ2AOC1當直線yDcDDACQ2AOC1

CD

的斜率存在時，由題意可設直線

CD

的方程為

y(x

，且

k令，

x

k

，所以

Q(2k由

3x2)2y2

，得

(

33y2)yk2k2k

依題意可得點

的縱坐標

3kk3yk2k

因為點

在

軸下方，所以，即D

所以的積為

33(24)3),2

的面積為

11313BQy2k

D3k3(21k

)343k2k(21k2

)因為的面積比的面積大，所以

123(6)(22k1

)3此方程無解綜上所述，點的標為

(2,

方法二因為點在x軸方，所以Q在段AB（不包括端點）上由（Ⅰ可知

4,0),B(4,0)

所以的面積為

3

，第14頁共18頁

BCDmn22與BCDmn22與

（不包括端點）上，且的積等于時面所以的積等于的積.所以

OD/BC

設

D(,n)

，則

03

因為點

在橢圓

上，所以.4所以

n所以點D的坐標為

3)（）（本小題共14分）解：（）因為

f(x)

lnx

，所以

fx)

lnx

令

f'(x)0

，得f(x)f'(x)xf'(x)f(x)

在區間上情況如下：)+

e極大

（-所以

f(x

的單調遞增區間為

)

，單調遞減區間為

,

（Ⅱ）因為

f()

lnxx，所以()

所以

)

ln1lnxx22

2

①當

x

時，

1

lnx，所以'(x)

；第15頁共18頁

②當x

時，

1

0,ln0

，所以x)

所以g(x)

，所以(x)

（Ⅲ）因為

f(x)

lnxlnx，所以h)2a

①當

時，

haa2aa)0

，即存在1使得(1)

；②當

lnxln時，由（Ⅱ）可知，即

所以x)xa

2(2a)2a

2

2

a1)(6a所以對任意

x

，(x)

，即不存在

使得

h()0

綜上所述，a的大值為（）（本小題14分

12

解：記(ij)為表A中i行j列數，(i,j)為表A中有數的和，(ij)為表ijijA中行列叉處各數之和．（Ⅰ）A是4階負數表；A不“4非負數．2（Ⅱ）由題意知a(ij)，j1,2,3,4,5且表A是“5階負數表，所以(s)(為奇數，且(1)(2)(3)(5)．不妨設R(3)(4)．①當(3)時因為(3)奇數，所以R所以(1)+(2)+R．②當(3)時因為(3)奇數，所以第16頁共18頁

所以(2)+(4)(5)有因為R，(2)均奇，所以(1)+R(3)．（Ⅲ）證明數表A存在