山東省青島市平度同和街道辦事處同和中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設數列是首項大于零的等比數列，則“”是“數列是遞增數列”的(

) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C略2.已知正方體中，點P在線段上，點Q在線段上，且，給出下列結論：①A、C、P、Q四點共面；②直線PQ與所成的角為;③；④．D．其中正確結論的個數是

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：C3.已知函數在上可導，且，則與的大小關系為（

）A． B． C．

D．不確定參考答案：B略4.以下四個命題中：

①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；

②若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；

③根據散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的；

④若某項測量結果服從正態分布N（1，），且P（≤4）=0．9，則P（≤-2）=0．1．

其中真命題的個數為

A．1

B．2

C3

D．4參考答案：B5.設函數，則函數的定義域為（

）A．(1,2]

B．(2,4]

C．[1,2)

D．[2,4)參考答案：Bf(x)的定義域為,故,所以選B.

6.一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，M是AB的中點.一只小蜜蜂在幾何體ADF—BCE內自由飛翔，則它飛入幾何體F—AMCD內的概率為A. B. C. D.

參考答案：C略7.如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設BM=x，x∈0，1]，給出以下四個命題：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最小；③四邊形MENF周長L=f（x），x∈0，1]是單調函數；④四棱錐C′﹣MENF的體積V=h（x）為常函數；以上命題中假命題的序號為（）A．①④ B．② C．③ D．③④參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD'B'．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進行判斷．【解答】解：①連結BD，B'D'，則由正方體的性質可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正確．②連結MN，因為EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最小．所以②正確．③因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈0，]時，EM的長度由大變小．當x∈，1]時，EM的長度由小變大．所以函數L=f（x）不單調．所以③錯誤．④連結C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C'EF的面積是個常數．M，N到平面C'EF的距離是個常數，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數，所以④正確．所以四個命題中③假命題．所以選C．8.若雙曲線x=1（b＞0）的一條漸近線與圓x=1至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[）參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】由已知得圓心（0，）到漸近線y=bx的距離：d=≥1，由此能求出雙曲線的離心率的取值范圍．【解答】解：圓x2+（y﹣）2=1的圓心（0，），半徑r=1．∵雙曲線x=1（b＞0）的一條漸近線y=bx與圓x2+（y﹣2）2=1至多有一個交點，∴圓心（0，）到漸近線y=bx的距離：d=≥1，化為b2≤2．∴e2=1+b2≤3，∵e＞1，∴1＜e≤，∴該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，]．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意圓、雙曲線的性質的簡單運用．9.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為A．11π B． C． D．參考答案：D∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC=，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，O是外接球的球心．則有該三棱錐的外接球的半徑R=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=．選D.

10.從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數字不大于第二張卡片的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】設第一張卡片上的數字為，第二張卡片的數字為，問題求的是，首先考慮分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，有多少種可能，再求出的可能性有多少種，然后求出.【詳解】設第一張卡片上的數字為，第二張卡片的數字為，分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，共有種情況，當時，可能的情況如下表：個數11，2，3，4，5522，3，4，5433，4，5344，52551

，故本題選C.【點睛】本題考查用列舉法求概率，本問題可以看成有放回取球問題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個結論：①“若則”的逆命題為真；②若為的極值，則；③函數（x）有3個零點；④對于任意實數x，有且x>0時,，則x<0時.其中正確結論的序號是

.（填上所有正確結論的序號）參考答案：④12.已知的展開式各項系數之和為256，則展開式中含x2項的系數為

．參考答案：28

13.定義在R上的函數f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導函數，已知函數y=f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則的取值范圍是

．參考答案：（）【考點】簡單線性規劃的應用；導數的運算；利用導數研究函數的單調性．【分析】先根據導函數的圖象判斷原函數的單調性，從而確定a、b的范圍，最后利用不等式的性質得到答案．【解答】解：由圖可知，當x＞0時，導函數f'（x）＞0，原函數單調遞增，∵兩正數a，b滿足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；點（a，b）的區域為圖中陰影部分，不包括邊界，的幾何意義是區域的點與A（﹣2，﹣2）連線的斜率，直線AB，AC的斜率分別是，3；則∈（，3）；故答案為：（）．14.已知球是棱長為12的正四面體的外接球，分別是棱的中點，則平面截球所得截面的面積是

。參考答案：15.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是．參考答案：3考點：循環結構．專題：壓軸題；圖表型．分析：根據所給數值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執行循環語句，一旦不滿足條件就退出循環，執行語句輸出i，從而到結論．解答：解：當輸入的值為n=12時，n不滿足判斷框中的條件，n=6，n不滿足判斷框中的條件，n=3，n滿足判斷框中的條件，n=10，i=2，n不滿足判斷框中的條件，n=5，n滿足判斷框中的條件，n=16，i=3，n不滿足判斷框中的條件，n=8，n不滿足判斷框中的條件，n=4，n不滿足判斷框中的條件，n=2，n不滿足判斷框中的條件，n=1，n滿足下面一個判斷框中的條件，退出循環，即輸出的結果為i=3，故答案為：3．點評：本題主要考查了循環結構，是當型循環，當滿足條件，執行循環，屬于基礎題．16.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是______.

參考答案：

由三視圖可知，該幾何體為直三棱柱，所以體積為。14.某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖的輪廓是底邊為，高為1的等腰三角形，俯視圖的輪廓為菱形，左視圖是個半圓.則該幾何體的體積為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本大題10分）已知函數．（I）當時，解不等式；（II）若存在，使得成立，求實數的取值范圍．參考答案：（I）；

（II）．

略19.設數列的前n項和為，若為常數，則稱數列為“科比數列”。

（Ⅰ）等差數列的首項為1，公差不為零，若為“科比數列”，求的通項公式；

（Ⅱ）數列的各項都是正數，前n項和為，若對任意

都成立，試推斷數列是否為“科比數列”？并說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）設等差數列的公差為，，因為，則，即．整理得．

因為對任意正整數上式恒成立，則，解得．

故數列的通項公式是．

（Ⅱ）由已知，當時，．因為，所以．當時，，．兩式相減，得．因為，所以=．

顯然適合上式，所以當時，．于是．因為，則，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列．所以不為常數，故數列不是“科比數列”20.在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）設函數時，若，求b的值．參考答案：【考點】余弦定理的應用；正弦定理的應用．【分析】（I）利用三角形的余弦定理求出cosA，根據A的范圍，求得A的值．（Ⅱ）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡f（x）為，由求得，再根據B的范圍，求得B的值，再由正弦定理求得b的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知，注意到在△ABC中，0＜A＜π，所以為所求．（Ⅱ），由，得，注意到，所以，由正弦定理，，所以為所求．21.（本小題滿分12分）已知函數，x∈R(ω>0)，在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為.若將函數f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象.（1）求函數g(x)的最大值及單調遞減區間.（2）（理）在且求△的面積.（文）在且求角的值.參考答案：即x∈[2kπ＋π，2kπ＋π]，k∈Z為函數的單調遞減區間.（2）（理）f(x)＝sin(2x＋)＋，，，而，，，由余弦定理知，，聯立解得，。（文）f(x)＝sin(2x＋)＋，，，而，，。22.已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為.

(Ⅰ)已知函數，若且，求實數的取值范圍；

(Ⅱ)已知，且的部分函數值由下表給出，求證：；

(Ⅲ)定義集合請問：是否存在常數，使得，，有成