3．4．2基本不等式（第2課時）33**學習目標**1．進一步理解基本不等式；2．能用基本不等式求最值。**要點精講**最值定理：若都是正數，且，，則①如果P是定值,那么當x=y時，S的值有最小值；②如果S是定值,那么當x=y時，P的值有最大值.注意：eq\o\ac(○,1)前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應根據題目創設情境；還要注意選擇恰當的公式；eq\o\ac(○,2)“和定積最大，積定和最小”，可用來求最值；eq\o\ac(○,3)均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。**范例分析**例1．求下列函數的最值，并說明當取何值時函數取到最值（1）；（2）；（3），（4）。例2．求函數①；②的最小值。變式：若不等式恒成立，則正數的取值范圍是。例3．（1）已知正數a、b滿足，求的最大值。（2）設、、、，，求證：≤例4．（1）若實數，且有，求出的最小值。（2）已知，且，求的最小值。變式：（1）已知，，且，求證：。（2）已知：,求證：。規律總結1．在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”.若忽略了某個條件，就會出現錯誤.有時要能“湊”均值不等式的模式。2．對于函數定義域內不含實數的類型的最值問題，要會用函數的單調性求解．**基礎訓練**一、選擇題1．若a>1,則a+的最小值是（）A２BaCD32．已知，且a+b=3，則的最小值是().A.6B.C.D.５．當x>0,y>0,且則xy有（）A最大值64B最小值C最小值D最小值644．已知正實數滿足，則的最大值為（）A、B、C、D、5．若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為（）（A）-1(B)+1(C)2+2(D)2-2二、填空題6．若x>0,y>0,且5x+7y=20,則xy的最大值為;7．設且則的最小值是.6．已知且x+y=4，求的最小值。某學生給出如下解法：由x+y=4得，①，即②，又因為③，由②③得④，即所求最小值為⑤。請指出這位同學錯誤的原因___________________________。三、解答題9．（1）如果正數滿足，求的取值范圍。（2）已知均為正數，且有，求的最小值。10．（1）若有,求函數的最小值。（2）時，求函數的最小值四、能力提高11．設，則三個數（）A、都大于2B、都小于2C、至少有一個大于2D、至少有一個不小于212．若、，，求證：。3．4．2基本不等式（求最值）例1．（1）因為，所以，當且僅當，即時，；（2）因為，所以，當且僅當，即時，；（3）因為，所以，當且僅當，即時，；（4）因為，所以，當且僅當，即時，；例2．解：①令，則；當，即時，；②令，則在上單調遞增，當，即時，。變式：令，則；；例3．（1）因為，所以解1：當且僅當即時取等號，故的最大值為。解2：；解3：。（2）因為、、、，，所以方法1：左右；方法2：左右；例4．解：（1）因為，所以，解得，當且僅當時，有最小值；（2）因為，且，所以方法1：，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為。方法2：，當且僅當時，等號成立。方法3：，得，由，得，當且僅當時，等號成立。變式：（1）因為，，所以由已知，，即，得，又，得，解得。（2）因為，令，則。**參考答案**1~5DBDCD；5．提示：若且所以，∴，則()≥，選D.6．；7．；提示：，所以的最小值是。8．①③兩個不等式中，等號不能同時取到9．解：（1）方法1：，得；方法2：由已知，，當且僅當取等號。（2），當且僅當取等號。10．解：（1）令，則，當