《應用近世代數》

多媒體課件孔蔭瑩廣東財經大學數學與統計學院數學可以把靈活引導到真理。―蘇格拉底（Socrate,前469年—前399年）數學是科學的大門和鑰匙。-R.培根(RogerBacon,1214-1294)Historiesmakemenwise;poets,witty;themathermatics,subtile;naturalphilosophy,deep;moral,grave;logicandrhetoric,abletocontend…----F.培根（FrancisBacon1561～1626）第三章二、環內一些特殊元素和性質四、小結與思考一、環的定義第一節機動目錄上頁下頁返回結束環的定義和基本性質三、環的分類一、環的定義機動目錄上頁下頁返回結束

1、定義1設是一個非空集合，在

中定義

兩種二元運算，一種是加法，記為+

，另一種

稱為乘法，記為.且滿足：是一個可換群；（1）

（2）

是一個半群；（3）

左、右分配律成立，即對任何

有機動目錄上頁下頁返回結束

則稱代數系是一個環（ring）.即環是有兩種運算，對加法是可換群，

對乘法

是半群，并適合分配律的代數系統.2、定義2如果環對乘法也是可交換的,

則稱是可換環(Commutativering).例1都是環，

而且是可換環.

例2設對復數

加法和復數乘法構成環,稱為Guass整數環.機動目錄上頁下頁返回結束

例3設是整數模

的同余類

集合，定義模的加法和乘法:則是環，稱為整數模的同余類環.

例4設則對矩陣的加法和乘法構成環,稱為數環

上的全矩陣環.

例5

都是相應數環上的多項式環.二、環內的一些特殊元素和性質機動目錄上頁下頁返回結束

1、設是一個環，加群

中的單位元,

記為，稱為零元.

加群中的元素的逆元,

記為,稱為的負元.

而環中的單位元是指乘法

半群中的單位元,記為環中元素的逆元

是指乘法半群中的逆元,記為機動目錄上頁下頁返回結束

2、環中可定義減法:環中的零元和負元有如下性質:此外,元素的倍數和冪可定義為機動目錄上頁下頁返回結束

3、定義3設是一個環,若

且則稱為左零因子(leftzerodivisor)，為右零因子(rightzerodivisor).

若一個元素既是左零因子又是右零因子,則稱其為零因子(zerodivisor).例6在中，由于所以是左零因子，而是右零因子.機動目錄上頁下頁返回結束

又如在中,因為所以和都是零因子.4、定理1環中無(右)左零因子的充分必要條件

是乘法消去律成立.三、環的分類機動目錄上頁下頁返回結束

1、定義4設是一個環.若可交換,且無零因子,則稱

是整環(domain).若滿足:(1)中至少有兩個元

（2）構成乘法群,則稱

是一個除環(divisionring).若是一個可換的除環,則稱是域(field).機動目錄上頁下頁返回結束

2、定理2是域的充要條件是為素數.3、具有有限個元素的域，稱為有限域（finite

field）,是最簡單的有限域.顯然,在一個除環中,由于非零元成群,乘法消去律

成立,因而除環中無零因子.域中也無零因子,且域

必須是整環.機動目錄上頁下頁返回結束

例7設則是一個除環,此環稱為實四元數除環

(divisionringofrealquaternions).機動目錄上頁下頁返回結束