復變函數積分理論是復變函數的核心內容，關于復變函數的許多結論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數積分的性質，并給出解析函數積分的基本定理與基本公式，這些性質是解析函數理論的基礎，我們還將得到解析函數的導數仍然是解析函數這個重要的結論。§2.1復變函數的積分討論復變函數積分時，要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規定的：(1)曲線l是開口弧段，若規定端點A為起點，B為終點，則沿曲線l從A到B的方向為曲線的正方向，記為l或l+

；而由B到A的為的負方向，記為l-。(2)如果

l是區域上的簡單閉曲線，通常規定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向。(3)如果l

是復連通域的邊界線，則這樣規定l的正方向：當沿曲線l行走時，區域左側。因此外部邊界取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向。ABl+A

?xyo?Bz0znlz1zk-1zk?

k設l是z平面上一分段光滑的曲線，一、復變函數積分的定義“大化小,常代變,近似和,求極限”

若通過對l

的任意分割上的一個有界函數。函數f(z)是定義在l和對局部的任意取點，下列“乘積和式極限”都存在，則稱此極限為函數f(z)沿曲線l從A到B的路積分。f(z)稱為被積函數，l稱為積分路徑。記作如果l

是閉曲線,則記為二、路積分的計算法基本思路:計算實變函數的線積分轉化求路積分因為f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

dz=dx+idy所以則

如果曲線l

是參數方程z=z(t)=x(t)+iy(t)還可以在積分中標出環路積分的方向沿逆時針方向積分順時針方向積分oxy11+ii例1

計算積分l1l1解：l2可見，這個被積函數為解析函數的積分沿不同路徑積分，積分值一樣。oxy11+ii例2

計算積分可以看出，這個被積函數在全平面都不解析的函數積分沿不同路徑積分的結果不同。l1l1l2l2解：例3

計算積分其中：l為圓周x=acost,y=asint解：得由1.常數因子可以移到積分號之外三、復變函數積分性質2.函數和的積分等于各函數積分的和3.反轉積分路徑，積分值變號4.全路徑上的積分等于各分段上的積分之和,即如果

l=l1+l2+……+ln5.積分的模不大于被積表達式模的積分6.積分估值定理

其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的弧長。四、復變函數環路積分的物理意義復變函數論中,復變函數的積分尤其是閉合環路積分是很重要的概念。現簡要介紹其物理意義。設復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區域D內，l為D內一條光滑有向曲線。設二維向量P對應f(z)的共軛[f(z)]*=u(x,y)-iv(x,y)，所以P可以寫為xyolzk-1?dxdyzk

?而且dz與弧微分ds切向量有對應關系-idz與弧微分法向量有對應關系所以故復變函數的環路積分由場論知識可知，閉合環路積分的物理意義為：

實部表示向量場沿l曲線的環量；虛部表示向量場沿l曲線的通量．

通過§2.1的例1我們發現，被積函數f(z)=z在復平面內是處處解析的，它沿連接起點及終點的不同路徑的積分值相同，換句話說，積分與路徑無關；例2中的被積函數是不解析的，沿不同路徑積分值不同。那么函數f(z)在什么條件下，積分僅與起點和終點有關，而與積分路徑無關呢？下面給出積分的重要定理定理——柯西定理。§2.2柯西(Cauchy)定理（一）單連通域上的Cauchy定理

xyo如果函數f(z)在閉單連通區域中單則沿中任一分段光滑lL由路積分的計算法

f(z)在上解析，從而在上連續。證明單值且解析，的閉合曲線l(也可以是的邊界L),函數的積分為零，即對實部虛部線積分分別應用格林公式因為u、v滿足C-R條件，即故將閉合曲線l的積分化成面積分這個定理是柯西(Cauchy)于1825年發表的，古薩(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古薩定理。根據第一章，函數在閉區域上解析，即函數在單連通區域B內及邊界閉曲線L上解析，因此應理解為函數在比邊界稍大一些的區域內部也是解析的。修改后的柯西－古薩積分定理成立的條件可以弱化為函數在開區域B內解析，在區域邊界上連續(證明略)。以后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立。例1證明xyo1-1-1+i-1-i證明：被積函數有兩個奇點-1+i、-1-i，除此之外，函數在其它地方都是解析的。因此在|z|=1的閉區域上被積函數是解析的。根據柯西定理，故命題成立。如果區域B內存在函數f(z)的（二）復連通域上的Cauchy定理

一般言，在區域內，只要有一個簡單的閉合圍線其內有不屬于該區域的點，區域便稱為復連通域。

l1l2l3lBxyo

（1）奇點；（2）不連續線段；（3）無定義區為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當的圍道l1、l2、l3把它們分隔開來，形成帶孔的區域-復連通區域。區域邊界線的正向當觀察者沿著這個方向前進時，區域總是在觀察者的左邊。如果f(z)是閉復連通區域中的單值解析函數，則l為外邊界線,li為內邊界線,積分沿邊界線正向進行.證：復連通區域的Cauchy定理：ll2l1ABB’A’D’CDC’作割線連接內外邊界線對閉復連通區域則復連通區域變成了以內外邊根據柯西定理，沿此單連通區域外邊界線的積分界線及割線構成的單連通區域。ll2l1ABB’A’D’CDC’由于沿同一割線兩邊緣的積分值相互抵消，于是即或者就是說沿內外邊界線同方向積分相等。(1)在閉單連通區域中的解析函數，沿邊界線或區域內任一閉合曲線的積分為零；(三)柯西定理總結：(2)在閉復連通區域中的解析函數，沿所有邊界線的正方向（即外邊界取逆時針方向，內邊界取順時針方向）的積分為零；(3)在閉復連通區域中的解析函數，按逆時針方向沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內邊界的積分之和．由Cauchy定理可推出，在閉單連通區域或復連通區域中解析的函數f(z)，其路積分值只依賴于起點和終點，而與積分路徑無關。ABl2l1證明：由圖可知其中表示l2的反方向。所以

只要起點和終點固定不變，當積分路徑連續變形時（不橫穿過“孔”）時，函數的路積分值不變。由積分的基本性質可得：(四)函數f(z)的積分與積分路徑無關的條件D(五)閉路變形原理在區域D內的一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在D內作連續變形而改變積分的值，只要在變形的過程中曲線不經過函數f(z)不解析的點。

l1l2l3即下面分析這一原理將兩條閉曲線之間的區域進行分割，取其中的一小塊區域abcd，其邊界構成閉合曲線，在其內部函數解析，根據柯西定理，有abcdl1l2當分區無限多時，直線ab、cd無限接近，且方向相反。根據積分性質，有故得到即綜合考慮各個小區域，自然得到解：例2.計算積分故函數ezsinz

在復平面上處處解析，由Cauchy定理知此題若用復積分的計算公式，則非常復雜，甚至可能得不到結果！例3.計算積分xyo2-21解:被積函數在積分回路內有兩個奇點0、1，“挖去”奇點則構成復通區域上的積分。根據柯西定理··解析解析令則所以解法2:由閉路變形原理例4.計算積分(n

為整數)l?

RC按柯西定理，I=0;解：(1)如果l

不包含點，被積函數總解析,(2)如果l

包含點,又要分兩種情況：(a)n0,因被積函數解析，故I=0;(b)n<0,被積函數在l

內有奇點由閉路變形原理，用半徑為R

的圓周C

包圍

點,則令所以當n-1時當n=-1時歸納起來，積分結果是(l

不包含

;或l包含,但n-1)(l包含)這個積分很有用，由其可以引出§1.4的柯西公式和§4.1的留數定理。或者§2.3不定積分根據Cauchy定理，若函數f(z)在單連通區域B上解析，則沿B上任一分段光滑曲線l的積分只與起點和終點有關，而與路徑無關。因此如果固定起點z0而變化終點z,這個變上限積分便定義了一個單值函數F(z):對F(z)，有以下的定理如果f(z)在單連通域B內處處解析，則F(z)在B內也解析，并且(一)復變函數的不定積分【證明】令則所以同樣可得因此的實部和虛部可微并且滿足C-R條件，所以F(z)在區域B內解析。與實函數原函數的概念一樣，復變函數也可以定義原函數。的證明見課本P27，此處不重復。(二)原函數就是f(z)的一個原函數。任何兩個原函數相差一個常數。原函數的一般表達式F(z)+C(其中C

是任意常數)被稱為函數f(z)的不定積分，記作若函數F(z)在單連通域D內處處解析，且為f(z)的一個原函數，那么其中z1、z2為D中任意兩點．上式稱為復積分的牛頓－萊布尼茲公式。例1.計算積分解：被積函數zsinz2在全平面解析，而是其一個原函數，所以例2.

計算積分（2）當n=-1時，z-1

的原函數是ln(z),故因為z=0是1/z

的一個奇點，此積分與路徑有關系，也就是積分是多值的。一般如果被積函數有奇點，則由不定積分給出的函數可能是多值的。被積函數的奇點，可能是該函數的支點。解：（1）當n-1時，zn

的原函數是,故(一)單連通域上的Cauchy公式

解析函數是一類具特殊性質的函數，特殊性表現之一是，在解析區域各處的函數值并不相互獨立，而是密切相關，這種關聯的表現之一就是

Cauchy積分公式。若f(z)在閉單通區域上單值解析；l為的邊界線，為內的任一點，則有Cauchy積分公式§2.4柯西(Cauchy)公式由于f(z)在α處連續，任意給定ε>0，必有一個δ(ε)>0，當|z-α|<δ時，|f(z)-f(α)|<ε。設以α為圓心，R為半徑的圓C，且|z-α|=R全部在B內部，且R<δ，根據閉路變形原理因為l包圍α時(§2.2例4)證明：?lC?αR所以由積分不等式因ε是任意的，所以當ε→0時，必有于是因為α是任取的，所以可以把α改記為z，所以柯西積分公式表明：對于解析函數，只要知道了它在區域邊界上各處的值f(ζ)，那么通過上述積分公式，區域內部點z處的值f(z)就完全確定了．

從柯西積分公式，還可以得到另外一個重要的結論：如果兩個解析函數在區域的邊界上處處相等，則它們在整個區域上也相等．例1.計算積分C2解：x3yo-3被積函數在積分環路內有三個奇點0、i、-i，根據柯西定理?i??-iC1C3由柯西公式(二)復連通域上的Cauchy積分公式設B是由l

,l1,l2,…,ln圍成的多連通區域(其中l是外邊界線，lk是內邊界線)，函數f(z)在B內解析，在上連續，則對B內任一點z，有（根據復通域上的Cauchy定理很容易證明）(三）無窮域上的Cauchy積分公式設f(z)在簡單閉合曲線l上及l外解析，以z=0為圓心，以充分大的半徑R作圓CR，使閉路l包含于CR內，于是f(z)在l和CR所圍的復聯通區域上解析，應用復聯通區域上的Chauchy公式來計算積分oCRR式中z是位于閉曲線l外和CR圓之間的一點。式子右邊第一項沿l的積分值容易求出，下面求右邊第二項沿CR的積分值。由于f(ζ)在無限遠處連續，對任給ε>0，總存在R1，使得|ζ|>R1時，有|f(ζ)-f(∞)|<ε，其中f(∞)有界，于是只要R>R1，則有因ε是任意的，所以當ε→0，R→∞時即所以如果f(z)在簡單閉合曲線C上及C外解析，且當|z|→∞，f(z)→0時，則有注意這一公式和有界區域柯西積分公式的區別：（1）有界區域中柯西積分公式中的z是閉合曲線l內部的一點，而無界區域柯西積分公式中的z為l外部的一點；（2）應用有界柯西積分公式的條件是f(z)在l內部解析，而無界區域柯西積分公式的條件是在l外部解析；（3）應用有界區域公式的積分沿著逆時針方向進行，而無界區域的公式積分沿順時針方向進行（兩種情況下都是正方向，即為沿此方向環行時，所討論的區域在左手邊）。例2計算積分，積分路徑沿逆時針方向因為f(z)=1/z，且z→∞時，f(z)→0，考慮到積分路徑的方向，所以例3計算積分，積分路徑沿逆時針方向因為f(z)=e1/z，考慮到積分路徑的方向，所以解：解：(四)柯西積分公式的幾個重要推論設

f(z)在單連通區域B內解析，在上連續，則f(z)在B內任一點z，有各階導數，且1.解析函數的無限次可微性（高階導數公式）作為柯西積分公式的推廣，可以證明一個解析函數的導函數仍為解析函數，從而可以證明解析函數具有任意階導數．這一點和實函數完全不一樣，一個實函數有一階導數，不一定有二階或更高階導數存在．證明：根據柯西公式則……例4.計算積分解：而在內是解析的，所以因為2.最大模原理

若函數f(z)在閉區域上解析，則它的模|f(z)|只能在區域的邊界上達到最大值。

證明：函數f(z)在區域上解析，則函數[f(z)]n在閉區域上解析,根據柯西公式,有其中l是解析區域的邊界線．若|f(ζ)|在邊界l的極大值為M，|ζ

–z|的極小值為δ,l的弧長為s，根據積分不等式，有即因為當n→∞時，所以當f(z)為常數時等號成立。3.劉維爾(Liouwille)定理若f(z)是全平面上解析有界函數，即|f(z)|<N，則f(z)必為常數。證明：根據柯西公式取路徑l為圓心在z,半徑為R的圓，則由積分不等式，得由于R是任選的，不妨令R→∞，于是因此f(z)必為常數。4.解析函數的平均值公式若函數f(z)在圓|z–z0|<R內及其圓周C上解析，則即f(z)在圓心z0的值等于它在圓周上值的算術平均值。證明：圓周C上的點可以寫成由柯西積分公式，有5.莫勒納(Morera)定理