第五章靜定平面桁架§5-1平面桁架的計算簡圖§5-2結點法§5-3截面法§5-4結點法和截面法的聯合應用§5-5常用梁式桁架的比較§5-6組合結構的計算§5-7用零載法分析體系的幾何構造§5-1平面桁架的計算簡圖桁架：由梁演變而來的梁和剛架是以承受彎矩為主，橫截面上主要產生非均勻分布的彎曲正應力，其邊緣處應力最大，而中部的材料未充分利用。桁架由桿件組成，整體以承受彎矩為主，而桿件則主要承受軸力。§5-1平面桁架的計算簡圖平面桁架的計算簡圖引入如下假定（1）各結點都是無摩擦的理想鉸；（2）各桿軸都是直線，并在同一平面內且通過鉸中心；（3）荷載作用在結點上并在桁架的平面內。符合上述理想假定的桁架各桿將只受軸力，截面上的應力分布比較均勻，可同時達到容許值，材料能得到充分利用。因此，桁架與梁相比，桁架的用料較省，并能跨越更大的跨度。§5-1平面桁架的計算簡圖

實際結構與計算簡圖之間的差別（1）結點的剛性。（2）各桿軸不可能絕對平直，在結點處也不可能準確交于一點。（3）非結點荷載（自重，風荷載等）。（4）結構的空間作用等。通常把按照平面桁架算得的應力稱為主應力，而把上述一些因素所產生的附加應力稱為次應力。理論計算和實際測量表明，在一般情況下次應力的影響是不大的，可以忽略不計。對于必須考慮次應力的桁架，則應將其各結點視為剛結點而按照剛架計算，宜采用矩陣位移法用計算機計算。§5-1平面桁架的計算簡圖上弦下弦斜桿豎桿上下弦桿承受梁中的彎矩,腹桿(豎桿和斜桿)承受梁中的剪力相鄰兩結點間的區間稱為節間其間距稱為節間長度兩支座間的水平距離稱為跨度支座連線至桁架最高點的距離稱為桁高

N

N桁架的桿件，按其所在位置不同，可分為弦桿和腹桿兩類。桁架的分類§5-1平面桁架的計算簡圖根據桁架的外形分平行弦桁架折弦桁架三角形桁架根據豎向荷載是否引起水平反力分無推力（梁式）桁架：圖a、b、c；有推力（拱式）桁架：圖d。根據幾何組成方式分簡單桁架：圖a、b、c；聯合桁架：圖d、e；復雜桁架：圖f。§5-1平面桁架的計算簡圖1、簡單桁架——由基礎或一個基本鉸結三角形開始，依此增加二元體所組成的桁架§5-1平面桁架的計算簡圖2、聯合桁架——由簡單桁架按幾何不變體系組成法則所組成的桁架。§5-1平面桁架的計算簡圖3、復雜桁架------不屬于以上兩類桁架之外的其它桁架。其幾何不變性往往無法用兩剛片及三剛片組成法則加以分析，需用零荷載法等予以判別。§5-2結點法求桁架內力，可以取桁架一部分為隔離體，結點法——結點為隔離體：匯交力系截面法——隔離體包含2個以上結點：一般力系靜定結構：W＝2j-b-r＝0

軸力+反力數（b+r

）=平衡方程數（2j）聯立方程——可解求解方法——按幾何組成的相反次序求解 避免解聯立方程

每個結點隔離體僅二個未知力。§5-2結點法結點法：取一個結點為隔離體，計算桁架桿件的內力如圖，FN—斜桿的內力

Fx—FN水平分力

Fy—FN豎向分力

l—斜桿的長度lx—l水平投影

ly—l豎向投影

由比例關系可得匯交力系：兩個平衡方程任知其一便可很方便地推算其余兩個，而無需使用三角函數。（1）由桁架的整體平衡求支反力如圖a。§5-2結點法結點G隔離體如圖b，由由比例關系由依次取結點F、E、D、C計算可求出所有桿件內力，最后一個結點作為校核用。解：1、整體平衡求反力∑X=0H=0∑M8＝0

V1=80kN∑Y=0

V8=100kNH=0V1=80kNV8=100kN2、求內力180kNN12N13Y13X13∑Y=0Y13=－80，=－80×3/4=－60kN=－80×5/4=－100kNN12N13=60kNX13∑X=0

由比例關系得40kN60kNN24N23100－＋＋－6080606040304050結點2∑X=0N24=60kN∑Y=0N23=40kN-60-8040N35X34Y34N34結點3∑Y=0Y34=80-40=40kNX34=40×3/4=30kNN34=40×5/4=50kN∑X=0N35=-60-X34=-90kN依次考慮5、4、6、7的平衡求其它軸力，還余三個方程作校核用。熟練之后可以直接在結構上進行，不必列平衡方程。如圖所示。-90-90075152025807510075125例試求桁架各桿內力3m×4=12m4m1234567840kN60kN80kN校核790157581007575100由圖a結點A，需解聯立方程計算桿件內力。§5-2結點法如圖b，將FN1在B點分解，對C點取矩。平面匯交力系——二斜桿問題幾種特殊結點§5-2結點法（1）L形結點（2）T形結點（3）X形結點（4）K形結點§5-2結點法圖示桁架中虛線所示桿件的軸力皆為0。§5-2結點法對稱性的利用一、對稱荷載作用下內力呈對稱分布。對稱性要求：N1=N2由D點的豎向平衡要求N1=－N2對稱軸上的K型結點無外力作用時，其兩斜桿軸力為零。12PPD（注意：該特性僅用于桁架結點）所以N1=N2=0二、反對稱荷載作用下內力呈反對稱分布。§5-2結點法P1PNN1桿1受力反對稱=0=0與對稱軸垂直貫穿的桿軸力為零1PP/2P/2PPPPPP與對稱軸重合的桿軸力為零。§5-2結點法↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qq§5-3截面法截面法：取桁架一部分為隔離體，計算桁架桿件的內力用截面切斷擬求桿件，取一側為隔離體

——三個獨立的平衡方程（平面一般力系） →求解三個未知內力 （不交于一點，不完全平行）適用： 求指定桿件內力求解聯合桁架（1）力矩法§5-3截面法按所選方程類型不同，截面法又可分為力矩法和投影法圖a所示簡支桁架，設支座反力已求出，現要求EF、ED、CD桿件的內力。取I-I截面左側部分為隔離體，如圖b。由力矩平衡方程分子為相應簡支梁E點的彎矩下弦桿受拉§5-3截面法取ED、CD兩桿交點D為矩心，將FNEF在其作用線上的F點處分解為水平和豎向兩個分力，豎向分力FyEF通過D點，而水平分力FxEF的力臂即為高桁H分子為相應簡支梁D點的彎矩，并可由比例關系求得FNEF取EF、CD兩桿交點O為矩心，將FNED在其作用線上的D點處分解為水平和豎向兩個分力，水平分力FxEF通過O點可由比例關系求得FNED結論：可證簡支桁架，豎直向下荷載作用下弦桿受拉力，上弦桿受壓力——對應梁，受豎直向下荷載的下、上邊緣§5-3截面法（2）投影法取II-II截面左側部分為隔離體，如圖d。括號內值為相應簡支梁DG段的剪力，故此法有時也稱剪力法。§5-3截面法2m×6=12m1m2mP例:【解】：先找出零桿，將它們去掉123取ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面以左為隔離體N1N2N3X2Y2X3Y32m1mP/22m4mCD∑MD=3N1+P/2×6=0得N1=－P∑MC=2X3－P/2×2=0得X3=P/2

∴N3=X3/4×4.12=0.52P∑X=N1+X2+X3=0∴X2=P/2∴N2=5X2/4=5P/8

§5-3截面法取I-I截面左側部分為隔離體由可求得FNa取I-I截面上側部分為隔離體由可求得FNb截面法：①所截桿件一般不超過三根——三個獨立平衡方程可解②截面多于三個未知力，其中除一根外，其余均交于一點、或平行

——可解此桿§5-3截面法aⅠⅠB3d3dAEBCYaXaP35-=YNaa25=32PYa-=dYdPMaA032=×+×=?ACEPNaPP聯合桁架取I-I截面左（右）側部分為隔離體，求出DE桿的內力，再分析各簡單桁架。計算圖a所示桁架，截斷兩個鉸結三角形之間的聯系，取隔離體如圖b。§5-3截面法§5-3截面法如圖示結構取Ⅰ-Ⅰ界面以內為隔離體，Ⅰ

ⅠN1N2N3對其中兩個力的交點取矩可求出另一個力，在這里可得三力全為零。本題也直接可用力學概念判定三桿軸力為零。或由里面的小三角形為附屬部分，不受外力。其內力為零。由三力平衡匯交定理知，該三力不相交而使物體平衡，它們必為零。§5-4截面法和結點法的聯合應用單獨使用結點法或截面法有時并不簡潔。為了尋找有效的解題途徑，必須不拘先后地應用結點法和截面法,但是要注意：①選擇合適的出發點，即從哪里計算最易達到計算目標；②選擇合適的截面，即巧取分離體，使出現的未知力較少；③選用合適的平衡方程，即巧取矩心和投影軸，并注意列方程的先后順序，力求使每個方程中只含一個未知力。§5-4截面法和結點法的聯合應用例5-1試求圖a所示K式桁架中a、b桿的內力。解：算法一作截面I-I，取其左側為隔離體。由結點K由∑MC=0可求得FNb。算法二：作截面II-II，取其左側為隔離體。§5-4截面法和結點法的聯合應用例5-2試求圖示桁架HC桿的內力。解：取截面I-I左側部分為隔離體，由由結點E的平衡：FNEC=FNED=112.5kN將FNHC在C點分解為水平和豎向分力取截面II-II右側部分為隔離體，由例：求

a、b桿軸力NNNNNβNaNDEF解：1、由內部X形結點知：位于同一斜線上的腹桿內力相等。

2、由周邊上的K形結點知各腹桿內力值相等，但正負號交替變化。所有右上斜桿同號（設為N），所有右下斜桿同號（設為－N）。3、取圖示隔離體：P2d2ddddabEFD4、取DEF為隔離體5、取隔離體如圖NbNaNNNN1、弦桿2P1245∑M2=N1×6+（2P－P/2）×4=0N1=－P∑M5=N4×6－（2P－P/2）×4=0N4=PN1=－PN4=PP/2P2P2PN3N1N2N4ⅠⅠP/2P/2PPP4m4m4m4m3m3m12654123456ⅡⅡN1N5N6N42、斜桿∵結點6為K型結點。∴N6=－N5再由∑Y=0得：Y5－Y6+2P－P－P/2=0∴Y6=P/4∴N6=－N5=5P/12P/2P12652P3、豎桿取結點7為隔離體。由于對稱：N3=N537由∑Y=0得：Y5+Y3+P+N2=0∴N2=－P/2PNN1N5N3N22P2P2P2P2P2P2P2P例：求指定桿的軸力。先求出反力。2Plll2l2llabAB例：求圖示桁架指定桿軸力。解：①整體平衡得：5P/3P/3Na5P/3x②1-1截面以上P/3Ncxc②2-2截面以下1122x③3-3截面以右P/3NaNbNc33例：求圖示桁架指定桿軸力。解：①找出零桿如圖示；000000②D點11③1-1以左4×4m2×3m5m12ACDBPPEFCPNCE22PN1④2-2以下§5-5常用梁式桁架的比較平行弦桁架拋物線形桁架對三種常用的簡支梁式桁架，將均布荷載用等效結點荷載代替，且各結點荷載F=1時，弦桿的內力計算公式M0：相應簡支梁與矩心對應的點的彎矩；r

：內力對矩心的力臂。

1）平行弦桁架中，弦桿的力臂是一常數，故弦桿內力與彎矩的變化規律相同；腹桿內力可根據投影法，豎桿內力與斜桿內力的豎向分量各等于相應簡支梁上對應節間的剪力，故它們的大小分別由兩端向中間遞減；

2）拋物線形桁架，各下弦桿內力及各上弦桿的水平分力對其矩心的力臂，即為各豎桿長度。故各下弦桿內力與各上弦桿水平力分量相等。由截面法可知各斜桿內力均為零，故各豎桿內力相等，均等于相應下弦結點荷載。§5-5常用梁式桁架的比較三角形桁架結論（1）平行弦桁架內力分布不均勻，弦桿內力向跨中遞增；（2）拋物線形桁架內力分布均勻，材料使用上最為經濟；（3）三角形桁架內力分布不均勻，弦桿內力在兩端最大，端點結點處夾角甚小，適合屋頂構造需要。幾類簡支桁架的共同特點是：上弦受壓，下弦受拉，豎桿、斜桿內力符號相反。

3）三角形桁架，弦桿所對應力臂由兩端向中間按直線變化遞增，其增加速度比彎矩的增加來得快，因而弦桿的內力由兩端向中間遞減；由結點法可知，各豎桿及斜桿的內力都是由兩端向中間遞增的。§5-6組合結構的計算組合結構：鏈桿和受彎桿件組成的結構。常用于房屋中的屋架吊車梁橋梁的承重結構下撐式五角形屋架計算組合結構時應注意：①注意區分鏈桿（只受軸力）和梁式桿（受軸力、剪力和彎矩）；②前面關于桁架結點的一些特性對有梁式桿的結點不再適用；③一般先計算反力和鏈桿的軸力，然后計算梁式桿的內力；④取分離體時，盡量不截斷梁式桿。角鋼鋼筋混凝土

§5-6組合結構的計算鏈桿是兩端是鉸、中間不受力、也無連結的直桿。梁式桿NAB=NCD=0（）ABC2P/3DP①N1=N2=0②N1=－N2③N1≠N2

④N1=N2≠0PP12對稱結構受對稱荷載作用×√×AC§5-6組合結構的計算例5-3試分析圖a所示組合結構的內力。解：整體平衡求支座反力FBVFAHFAVFCVFCHFNDE作截面I-I拆開鉸C和截斷桿件DE，取隔離體如圖b。由∑MC=0可求得FNDE。由結點D、E

的平衡，可求得各鏈桿的內力，進而繪出受彎桿件彎矩圖。§5-6組合結構的計算圖a所示為靜定拱式組合結構。拱和梁兩部分總的豎向反力等于相應簡支梁（圖b）的豎向反力。由鏈桿拱上每一結點的平衡條件∑Fx=0，每一桿件的水平分力=拱的水平推力FH取I-I截面左（右）側為隔離體，被截桿的內力在C’點沿水平和豎向分解，由∑MC=0鏈桿拱及加勁梁的豎向反力為3.5+§5-6組合結構的計算②求鏈桿的內力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/mADFC6kNNDE③截面的剪力和軸力:Q=Ycosa－15sinaN=－Ysina

－15cosa

其中Y為截面以左所有豎向力的合力。sina=0.084，cosa=0.996↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/m3m3m3m3mf1=0.5mf2=0.7m

f=1.2mADFCE6kN6kN1515-3.515.4解：①求反力15153.515.43.5152.5④作內力圖αkN17.15-=996.015084.0×-×NFC)35.35.2(-+-=kN74.1=084.015996.0×-×QFC)35.35.2(-+=0.750.75M圖(kN.m)1.241.741.751.25+－－+Q圖(kN)－－15.1314.9715.1714.92N圖(kN)§5-6組合結構的計算討論:影響屋架內力圖的主要原因有兩個:①高跨比f/l高跨比越小軸力

NDE=MC0/f越大屋架軸力也越大。f1=0.5mf2=0.7m

f=1.2mADFCE0.750.750.75-15.0815-3.515.4

f1=0.5m，f2=0.7mDE

f=1.2m-6-1516.1615f1=0，f2=1.2m4.5DEC4.5150-15.88

f=1.2mf1=1.2m，f2=0DEC②f1與f2的關系當高度f

確定，內力