第二章自動控制系統的數學模型2/4/20231本章的主要內容控制系統的微分方程-建立和求解控制系統的傳遞函數控制系統的結構圖-等效變換控制系統的信號流圖-梅遜公式脈沖響應函數各種數學模型的相互轉換2/4/20232概述[數學模型]描述控制系統變量（物理量）之間動態關系的數學表達式。常用的數學模型有微分方程、傳遞函數、結構圖、信號流圖、頻率特性以及狀態空間描述等。例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據此可對系統進行分析。所以建立控制系統的數學模型是對系統進行分析的第一步也是最重要的一步?？刂葡到y如按照數學模型分類的話，可以分為線性和非線性系統，定常系統和時變系統。概述2/4/20233[線性系統]

如果系統滿足疊加原理，則稱其為線性系統。疊加原理說明，兩個不同的作用函數同時作用于系統的響應，等于兩個作用函數單獨作用的響應之和。線性系統對幾個輸入量同時作用的響應可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應的結果進行疊加。[線性定常系統和線性時變系統]

可以用線性定常（常系數）微分方程描述的系統稱為線性定常系統。如果描述系統的微分方程的系數是時間的函數，則這類系統為線性時變系統。宇宙飛船控制系統就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質量隨著燃料的消耗而變化）。概述2/4/20234經典控制理論中（我們正在學習的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統，對此有一套完整的理論和方法。但對于非線性系統和時變系統，解決問題的能力是極其有限的，可以在一定的近似條件下簡化為線性系統。[非線性系統]如果系統不能滿足疊加原理，則系統是非線性的。概述下面是非線性系統的一些例子：典型非線性環節：飽和、滯環、間隙、干摩擦等2/4/20235

微分方程的編寫應根據組成系統各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等，這種方法稱為用分析法建立系統的數學模型。另外一種方法是實驗法。即人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當地數學模型逼近，這種方法又成為系統辨識，現在成為一門獨立學科分支。控制系統的微分方程第一節控制系統的微分方程本節討論用分析法建立系統的數學模型。2/4/20236輸入輸出LRCi例2-1寫出RLC串聯電路的微分方程。①②[解]：根據電路定理：由②：，代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。2/4/20237例2-2

求彈簧-阻尼-質量的機械位移系統的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統原理結構圖和質量塊受力分析圖。圖中，m為質量，f為粘性阻尼系數，k為彈性系數。mfmFF圖2圖1控制系統的微分方程根據牛頓定理，可列出質量塊的力平衡方程如下：這也是一個二階定常微分方程。x為輸出量，F為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：2/4/20238[需要討論的幾個問題]1、相似系統和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1①式的結果變為：可見，同一物理系統有不同形式的數學模型，而不同類型的系統也可以有相同形式的數學模型。相似系統和相似量[定義]具有相同的數學模型的不同物理系統稱為相似系統。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統，在此系統中，分別與為相似量。[作用]

利用相似系統的概念可以用一個易于實現的系統來模擬相對復雜的系統，實現仿真研究。2/4/202392、非線性元件（環節）微分方程的線性化在經典控制領域，主要研究的是線性定常控制系統。如果描述系統的數學模型是線性常系數的微分方程，則稱該系統為線性定常系統，其最重要的特性便是可以應用線性疊加原理，即系統的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。非線性環節微分方程的線性化若描述系統的數學模型是非線性（微分）方程，則相應的系統稱為非線性系統，這種系統不能用線性疊加原理。在經典控制領域對非線性環節的處理能力是很小的。但在工程應用中，除了含有強非線性環節或系統參數隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數展開，取前面的線性項?？梢缘玫降刃У木€性環節。2/4/202310設具有連續變化的非線性函數為:y=f(x)，若取某一平衡狀態為工作點，如右圖中的

。A點附近有點為

，當很小時，AB段可近似看做線性的。非線性環節微分方程的線性化AByx02/4/202311AByx0設f(x)在點連續可微，則將函數在該點展開為泰勒級數，得：若很小，則，即式中，K為與工作點有關的常數，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性近似。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。非線性環節微分方程的線性化2/4/202312對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態工作點附近展開。設雙變量非線性方程為：，工作點為。則可近似為：式中：，。 為與工作點有關的常數。閱讀教材例2-5求液壓伺服油缸的線性化數學模型。[注意]：⑴上述非線性環節不是指典型的非線性特性（如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級數展開的。⑵實際的工作情況在工作點附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。非線性環節微分方程的線性化2/4/2023133.線性系統微分方程的編寫步驟：⑴確定系統和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關的物理的方程。⑶對上述方程進行適當的簡化，比如略去一些對系統影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統輸入和輸出關系的微分方程。線性系統微分方程的編寫步驟2/4/202314例2-6編寫下圖所示的速度控制系統的微分方程。負載-+-+功率放大器測速發電機[解]：⑴該系統的組成和原理；⑵該系統的輸出量是，輸入量是，擾動量是線性系統微分方程的編寫例子[例2-6]2/4/202315線性系統微分方程的編寫例子[例2-6]⑸消去中間變量：推出之間的關系：顯然，轉速既與輸入量有關，也與干擾有關。⑷各環節微分方程：運放Ⅰ：，運放Ⅱ：功率放大：，反饋環節：電動機環節：見例2-4測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統方塊圖：2/4/202316線性系統微分方程的編寫例子[例2-6]⑴對于恒值調速系統，=常量，則。轉速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統，則=常數，，故：根據上式可以討論輸出轉速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對于線性系統應用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：2/4/202317①定義：如果有一個以時間t為自變量的函數f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：,式中s為復數。記作一個函數可以進行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時，f(t)=0；⑵t≥0時，f(t)分段連續；⑶。F(s)—象函數，f(t)—原函數。記為反拉氏變換。復習拉氏變換4、復習拉氏變換2/4/202318⑴線性性質：⑵微分定理：⑶積分定理：（設初值為零）⑷時滯定理：⑸初值定理：復習拉氏變換②性質：2/4/202319⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數的拉氏變換：單位階躍函數：單位脈沖函數：單位斜坡函數：單位拋物線函數：正弦函數：其他函數可以查閱相關表格獲得。復習拉氏變換2/4/2023205、線性方程的求解：研究控制系統在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經典法，拉氏變換法和數字求解。在自動系統理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉換為s域的代數方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數的時域解。