問題與數學方法

徐亞平

2013年8月2/4/20231計算機科學與工程學院

問題與數學方法課程說明

1.目的：了解應用數學思想和數學方法解決實際問題的方法，培養對數學的興趣和應用數學方法分析解決實際問題的能力。

2.基本內容：

數學思想方法

數學文化

數學與數學思想

數學認識的特殊性

數學思想在人類文明中的作用

線性方程組問題與高斯消元法

線性方程組問題舉例

高斯消元法與高斯

不規則圖形面積問題與積分法

圓周率計算與祖沖之

不規則圖形面積計算與牛頓

2/4/20232計算機科學與工程學院明確關系問題與插值及最小二乘法

明確關系問題舉例

確定關系的插值法與拉格朗日

確定關系的最小二乘法與高斯

生產計劃問題與線性規劃法

生產計劃問題舉例

生產計劃問題的數學模型

線性規劃法解法簡介

圖論問題與圖論方法

圖論問題舉例

圖論問題的數學模型

高次代數方程求根問題與矩陣特征值

代數方程求根問題與高斯

矩陣特征值問題

求矩陣特征值方法

高次代數方程的根與矩陣的特征值2/4/20233計算機科學與工程學院非線性方程求根問題與求根方法

非線性方程求根問題舉例

非線性方程求根方法思想

數學難題

希爾伯特和他的23個問題

近代三大數學難題

本世紀七大數學難題

以計算機為工具的數學方法

計算機的特點與應用

計算方法—在計算機上實現計算的基礎

算法與程序

2/4/20234計算機科學與工程學院3.基本要求：

到課并認真聽課

完成課程要求的作業

4.教學方式：

課堂講授+大作業

5.大作業（二選一）：

我與數學

我的專業與數學

用數學方法分析解決實際問題舉例

對該課程的建議

6.考核：

考勤50%

作業50%

2/4/20235計算機科學與工程學院第0章

數學思想方法

內容提要數學文化數學與數學思想數學認識的特殊性數學思想在人類文明中的作用2/4/20236計算機科學與工程學院數學文化狹義定義：數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展。廣義定義：除上述內涵以外，還包含數學家，數學史，數學美，數學教育。數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系，等等。國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮，她編的《數學與文化》，匯集了一些數學名家的有關論述和從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考?！稊祵W文化學》的著作以及許多的論文，把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數學文明史，充分揭示數學的文化內涵，肯定數學作為文化存在的價值。數學文化進入21世紀之后，數學文化的研究更加深入。一個重要的標志是數學文化走進中小學課堂，滲入實際數學教學，努力使學生在學習數學過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動。中國的古代數學，多半以“管理數學”的形式出現，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國數學可以說是“管理數學”和“木匠數學”，存在的形式則是官方的文書。在中國，據調查，學生們把數學看作“一堆絕對真理的總集”，或者是“一種符號的游戲”?！皵祵W遵循記憶事實-運用算法-執行記憶得來的公式-算出答案”的模式，“數學=邏輯”的公式帶來了許多負面影響。數學文化半個多世紀以前，數學家柯朗在名著《數學是什么》的序言中寫道：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系。教師學生都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎?！薄段膮R報》2002年8月21日摘要刊出錢偉長(1912—2010，江蘇無錫人，中國近代力學之父，世界著名的科學家、教育家，上海大學校長)的文章中提到：“應用數學的任務是解決實際問題，不是去完善許多數學方法，我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講，我們應該是解決實際問題的優秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多么鋒利而不去解決實際問題的刀匠。”數學文化和所有文化現象一樣，數學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數學文化，一方面拒人于千里之外，使人望數學而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語，令人把數學家當成“怪人”。學校里的數學，本應是青少年喜愛的學科，卻成為過濾的“篩子”、打人的“棒子”。優秀的數學文化，會是美麗動人的數學王后、得心應手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人?？傊?，當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學時，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。數學在人類文明中的作用

數學與自然科學：在天文學領域里，在第谷·布拉埃觀察的基礎上，開普勒提出了天體運動三定律：（a）行星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在此橢圓的一個焦點上。（b）從太陽到行星的向徑在相等的時間內掃過的面積是F(如圖)。（c）行星繞太陽公轉的周期的平方與橢圓軌道C的半長軸的立方成正比。開普勒是世界上第一個用數學公式描述天體運動的人，他使天文學從古希臘的靜態幾何學轉化為動力學。這一定律出色地證明了畢達哥拉斯主義核心的數學原理。我們的太陽系我們的太陽系2/4/202313計算機科學與工程學院開普勒開普勒第一定律

所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上行星的運動

仔細觀察地球繞太陽轉動模型圖，你得了到什么？快慢：近日點運行快遠日點運行慢開普勒開普勒第二定律

對于每一個行星而言，太陽和行星的聯線在相等的時間內掃過相等的面積行星的運動開普勒開普勒第三定律所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值（k）都相等行星的運動開普勒第三定律（周期定律）所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等。ab數學在人類文明中的作用

愛因斯坦的相對論是物理學中，乃至整個宇宙的一次偉大革命。其核心內容是時空觀的改變。牛頓力學的時空觀認為時間與空間不相干。愛因斯坦的時空觀卻認為時間和空間是相互聯系的。促使愛因斯坦做出這一偉大貢獻的仍是數學的思維方式。愛因斯坦的空間概念是相對論誕生50年前德國數學家黎曼為他準備好的概念。在生物學中，數學使生物學從經驗科學上升為理論科學，由定性科學轉變為定量科學。它們的結合與相互促進已經產生并將繼續產生許多奇妙的結果。生物學的問題促成了數學的一大分支——生物數學的誕生與發展，到今天生物數學已經成為一門完整的學科。它對生物學的新應用有以下三個方面：生命科學、生理學、腦科學。在化學中……數學在人類文明中的作用

如果說在自然科學中，更多的是運用數學的計算公式及計算能力；那么在社會科學的領域中，就更能體現出數學思想的作用。數學與社會科學：在政治中不能不提的便是民主，而民主最為直接的表現形式就是選舉。而數學在選票分配問題上發揮著重要作用。選票分配首先就是要公平，而如何才能做到公平呢？1952年數學家阿羅證明了一個令人吃驚的定理——阿羅不可能定理，即不可能找到一個公平合理的選舉系統。這就是說，只有相對合理，沒有絕對合理。原來世上本無“公平”！阿羅不可能定理是數學應用于社會科學的一個里程碑。數學在人類文明中的作用

投票悖論：有甲乙丙三人，對ABC三個備選方案有偏好排序：甲（a>b>c）；乙（b>c>a）；丙（c>a>b）1、若取“a”、“b”對決，那么按照偏好次序排列如下：甲(a>b);乙(b>a);丙(a>b);社會次序偏好為（a>b）2、若取“b”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：甲(b>c);乙(b>c);丙(c>b);社會次序偏好為（b>c）3、若取“a”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：甲(a>c);乙(c>a);丙(c>a);社會次序偏好為（c>a）于是得到三個社會偏好次序—(a>b)、(b>c)、(c>a)，其投票結果顯示“社會偏好”有如下事實：社會偏好a勝于b、偏好b勝于c、偏好c勝于a。顯而易見，這種所謂的“社會偏好次序”包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝于c，而又認為a不如c！所以按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會偏好次序。數學在人類文明中的作用

公理公理1：個體可以有任何偏好；每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇（數學上稱為原則U—無限制原則）。公理2：不相干的選擇是互相獨立的；（數學上稱為原則I—獨立性原則）。公理3：社會價值與個體價值之間有正向關聯；（數學上稱為原則P—一致性原則：就是說，每人都有同樣明確態度的兩件事，社會也應該有同樣的態度。）公理4：沒有獨裁者——不存在能把個體偏好強加給社會的可能。（數學上稱為原則D—非獨裁原則)阿羅證明了，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規則是不存在的，就是著名的“阿羅不可能性定理”：如果X中的事件個數不小于3，那么就不存在任何遵循原則U，P，I，D的規則（稱為“社會福利函數”）。數學在人類文明中的作用

能不能設計出一個做出合理決策的投票方案呢?阿羅的結論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、并且不依賴程序的多數規則的投票方案。簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程序準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。這個結果是令人震動的：一個社會不可能有完全的每個個人的自由——否則將導致獨裁；一個社會也不可能實現完全的自由經濟——否則將導致壟斷。人們對社會的認識達到一個新的高度。因此阿羅的不可能定理一經問世便對當時的政治哲學和福利經濟學產生了巨大的沖擊，甚至招來了上百篇文章對他的定理的駁斥。事實上，阿羅的不可能性定理經受住了所有技術上的批評，其基本理論從來沒有受到重大挑戰，可以說是無懈可擊的，于是阿羅不可能定理似乎成為規范經濟學發展的一個不可逾越的障礙。數學在人類文明中的作用

在經濟學中，數學的廣泛而深入的應用是當前經濟學最為深刻的變革之一?，F代經濟學的發展對其自身的邏輯和嚴密性提出了更高的要求，這就使得經濟學與數學的結合成為必然。首先，嚴密的數學方法可以保證經濟學中推理的可靠性，提高討論問題的效率。其次，具有客觀性與嚴密性的數學方法可以抵制經濟學研究中先入為主的偏見。第三，經濟學中的數據分析需要數學工具，數學方法可以解決經濟生活中的定量分析。1939年蘇聯數學家Л.В.康托羅維奇在《生產組織與計劃中的數學方法》一書中提出線性規劃問題。1951年美國經濟學家T.C.庫普曼斯（1910-1985)把線性規劃應用到經濟領域，為此與康托羅維奇一起獲1975年諾貝爾經濟學獎（63歲的康托羅維奇在領取該項獎金時發表了《數學在經濟中的應用：成就、困難、前景》的演講，他表示：“數學方法在經濟中的應用不會辜負我們對它所抱的希望，它會給經濟理論和實際工作做出重大的貢獻?！保?。數學在人類文明中的作用

在人口學、倫理學、哲學等其他社會科學中也滲透著數學思想……數學作為一種工具，對于每一個人而言，都是必不可少的！數學文化小結狹義定義：數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展。廣義定義：除上述內涵以外，還包含數學家，數學史，數學美，數學教育。數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系，等等。進入21世紀之后，數學文化已走進中小學課堂，滲入實際數學教學，使學生在學習數學過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動，真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎。”數學在人類文明中的作用小結

在天文學領域里，在第谷·布拉埃觀察的基礎上，開普勒用數學公式描述天體運動的三定律，使天文學從古希臘的靜態幾何學轉化為動力學。在物理學中，以數學理論為基礎的愛因斯坦的相對論改變了人們的時空觀，是整個宇宙的一次偉大革命。在社會學中，數學家阿羅的不可能定理即不可能找到一個公平合理的選舉系統。說明，只有相對合理，沒有絕對合理。成為數學應用于社會科學的一個里程碑。數學數學源自于古希臘語的μθημα（máthēma），其有學習、學問、科學之意，以及另外還有個較狹隘且技術性的意義——“數學研究”。中國古代把數學叫算術，又稱算學，最后才改為數學。數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門科學。數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求。數學是研究現實世界空間形式和數量關系的一門科學。分為初等數學和高等數學。它在現代生活中的應用非常廣泛，是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。一門科學只有當它達到了能夠運用數學時，才算真正成熟了。在現代科學中，運用數學的程度，已成為衡量一門科學的發展程度及其理論成熟與否的重要標志。數學無論自然科學、技術科學或社會科學，為了要對所研究的對象的本質獲得比較深刻的認識，都需要對之作出量的方面的刻畫，這就需要借助于數學方法。數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具.現代科學技術特別是電子計算機的發展與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成.數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數學思想方法”?；镜臄祵W四大思想為：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合。數學思想——函數與方程函數思想：是通過提出問題的數學特征，建立問題的數學模型（用數學的形式或語言表示或描述該問題）—函數，利用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的數學方法。

函數描述了自然界中相關事物之間的數量關系，經常利用的性質有：f(x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等。例如，如果事先可以知道某一時間段內，時間和溫度之間的變化關系y=f(t),則由f(t)的單調性可知溫度的升降時間段，由f(t)的最大值和最小值這一時間段內的最高和最低溫度。同理，如果事先可以知道某一時間段內，時間和降雨量之間的變化關系y=f(t),則由f(t)的單調性可知雨量的增減時間段，由f(t)的最大值和最小值這一時間段內的最大和最小雨量。趙錢孫李張王劉馬牛楊武袁周葉陳許唐朱

生活中的函數問題舉例

算命（算姓問題）：一天，一個算命先生的面前擺放著一大頁紙如圖1，手中拿著一小本如圖2。

圖1百家姓圖2百家姓算命先生叫稱：我可以算出你姓什么！問題：算命先生是如何算出你的姓氏的？

趙楊…..….1錢武…….….2孫袁….….3李周….….4張葉….….5王陳….….6數學思想——函數與方程方程思想：是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。例：國家為了加強對香煙產銷的宏觀管理,對銷售香煙實行征收附加稅政策.現在知道某種品牌的香煙每條的市場價格為70元,不加收附加稅時,每年產銷100萬條,若國家征收附加稅,每銷售100元征稅x元(叫做稅率x%),則每年的產銷量將減少10x萬條.要使每年對此項經營所收取附加稅金為168萬元,并使香煙的產銷量得到宏觀控制,年產銷量不超過50萬條,問稅率應確定為多少?解析：根據題意得70(100-10x).x%=168

x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4當x2=4時,100-10×4=60>50,不符合題意,舍去,x1=6時,100-10×6=40<50,∴稅率應確定為6%.數學思想——等價轉化

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換實施等價轉化應遵循的原則是：在等價原則的基礎上簡單化、直觀化、熟悉化、標準化的原則，即把遇到的問題，通過轉化，將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，或者變成我們比較熟悉的問題來處理；。數學思想——等價轉化

例如，(a+b)2=a2+2ab+b2從計算的角度考慮，左式較簡單當把換為未知量時，對于方程求根問題而言，左式更有利于求出方程的根。又例如，我們易知，一條直線和兩條平行直線相交，則同位角相等，進而得內錯角相等。為證明三角形三內角和等于180度，可利用做輔助線的方法，使問題可等價的轉化為同位角相等和內錯角相等問題。從而知三角形三內角和等于180度。后面我們會通過求解線性方程組的消元法，進一步探討用等價轉化的數學思想解決問題方法。數學思想——分類討論

對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。數學思想——分類討論

例：已知長方體無蓋紙盒有一個面是正方形，且已知兩條棱的長度分別為4CM，5CM，求這個紙盒外面的表面積和容積。

解：無蓋長方體的側面為4個全等的長方形，因此只有底面為正方形才行（若是側面為正方形，則有4個面為正方形，這不符合題意），據此分析，分類討論如下：

1）當底面正方形邊長為4CM時，4條側棱長即為5CM此時:

表面積S1=42+4(4x5)=96cm2

容積V1=42x5=80cm3

2）當底面正方形邊長為5CM時，4條側棱長即為4CM此時:

表面積為S2=52+4(5x4)=105cm2,

容積V2=52x4=100CM3

數學思想——分類討論

例：某學校需刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費）；若學校自刻，除租用刻錄機需120元外，每張還需成本4元（包括空白光盤）。問刻錄這批光盤，到電腦公司刻錄費用省，還是自刻錄費用??？請說明理由。

設需要刻錄x張光盤，則

到電腦公司刻錄費用為y1=8x元，若自刻錄費用y2=120+4x元。

當y1＞y2時，x＞30；當y1＝y2時，x＝30；當y1＜y2時，x＜30.

正好30張時,到電腦公司刻錄費用與自刻錄費用一樣省。

超過30張時，還是自刻錄費用省。

少于30張時，到電腦公司刻錄費用省。

數學思想——數形結合

數形結合包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的（如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質）；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。數形結合既分析問題的代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。數學中的知識，有的本身就是數形的結合。如：任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的。數學思想——數形結合

利用幾何圖形證明乘法公式:(a+b)2=a2+2ab+b2

設a、b分別表示一條線段的長度，則a+b可以表示兩條線段之和，那么(a+b)2就可以表示正方形的面積．同樣，a2、ab、b2也可以表示相應部分的面積，那么利用這種方法，就可以證明公式的正確性．

aa

bb數學思想——其它思想

整體思想:從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。例

有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。現在計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元？數學思想——其它思想

分析：要求的未知數是三個，而題設條件中只有兩個等量關系，企圖把甲、乙、丙各1件的錢數一一求出來是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的錢數看成一個整體，問題就可能解決。解:設購甲,乙,丙各1件分別需x元、y元、z元。依題意，得

即得關于和的方程組可解得：即購甲,乙,丙各1件需1.05元數學思想——其它思想

類比思想:把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處.例如：

解一元一次方程：解一元一次不等式：

2x+6=3-x

2x+6＜3-x

解：移項得：

2

x+

x=3-6

2x+

x＜3-6

合并同類項得：3x=-33x＜-3

兩邊都除以3得：

x

=-1

x

＜-1

只要注意最后一步：系數化為1時，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個負數時，不等號的方向改變即可。數學思想——其它思想

極限思想:是微積分的基本思想，高數中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數、定積分等都是借助于極限定義的。應用極限思想可使數學從有限延伸到無限。

例如？令則=

1/2n

可得sn=1-1/2n當趨向于無窮大時有sn=1數學思想——其它思想

概率統計思想：是指通過概率統計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。例如參加比賽時，用抽簽決定出場的順序，大家認為是公平的。又如，應用統計方法，可以獲得一批產品的合格率是多少。再如，應用統計方法，可以獲得糧食總產量的估計等等。。數學模型運用數學方法的關鍵，是針對所要研究的問題，提煉出一個合適的數學模型，這個模型既能反映問題的本質，又能使問題得到必要的簡化。定義：數學模型就是為了某種目的，用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式數學模型分類（按應用領域分類）生物學數學模型、醫學數學模型、地質學數學模型、氣象學數學模型、經濟學數學模型、社會學數學模型、物理學數學模型、化學數學模型、天文學數學模型、工程學數學模型、管理學數學模型等。例:某工廠在計劃期內要安排生產Ⅰ、Ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的設備臺數及A、B兩種原材料的消耗量如下表。該工廠生產一件產品Ⅰ可獲利潤2元，生產一件產品Ⅱ可獲利潤3元，問應如何安排生產計劃使該工廠獲得的利潤最大？設產品Ⅰ和產品Ⅱ的產量分別為x1,x2。則使工廠獲得利潤Z最大的生產計劃可表示為：產品資源ⅠⅡ資源量設備(臺時)128原材料A(g)4016原材料B(g)0412管理學數學模型舉例數學認識的特殊性

數學產生：數學史上的許多新學科都是在解決現實問題的實踐中產生的。如最古老的算術和幾何學產生于日常生活、生產中的計數和測量。數學的發展：數學家應用已有的數學知識在解決生產和科學技術提出的新的數學問題的過程中，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的思想和具體方法。數學認識的特殊性

數學研究的特殊性：研究事物的數量特性，而不研究事物的質的特性?！傲俊笔浅橄蟮卮嬖谟谑挛镏械?，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規律。數學認識方法的特殊性：這種特殊性表現在數學知識由經驗形態上升為理論形態的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產生的特有的理論形態——公理系統和形式系統(包含字母,字的集合及由關系組成的有限集合)。數學不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法。因此，演繹法是數學認識特殊性的表現。數學認識的特殊性

數學研究特有的問題：計算與證明。證明：是從一定的前提（基本概念和公理）出發，按照邏輯規則所進行的一種演繹推理。數學成果不能像自然科學成果那樣通過實驗來證實，而必須通過邏輯演繹來證明，所以，數學家如何把自己的成果表達成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。計算：數學家必須經過大量的具體計算和各種試驗或實驗，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。可見，“演算”反映了數學研究的計算和證明這兩項基本工作及其特點。第1章

線性方程組問題與高斯消元法

內容提要線性方程組問題舉例

卡爾·弗里德里希·高斯簡介等價轉換思想方法-高斯消元法2/4/202350計算機科學與工程學院大約四千年以前，巴比倫人知道如何解含有兩個未知數的線性方程組。在著名的《九章算術》(大約公元前200年)中，中國人利用線性方程組的系數給出了含有三個未知數的線性方程組的解。萊布尼茲于1693年提出了行列式的概念。瑞士數學家克萊姆在1750年出版的《代數曲面分析入門》中，發表了一個以他名字命名的解線性方程組的法則。高斯為解決線性方程組提出了一個系統的程序，叫做高斯消元法。他處理了方程數目與未知數數目不等的線性方程組。很多問題的數學模型為線性代數方程組。例如問題1：“100個和尚吃100個饅頭。大和尚一人吃3個，小和尚3人吃一個。問有大、小和尚各多少個？”。問題2：“有若干只雞和兔在同一個籠子里，從上面數，有三十五個頭；從下面數，有九十四只腳。問籠中有雞和兔各幾只？”。

2/4/202351計算機科學與工程學院線性代數方程組舉例1

某地有：煤礦，電廠和一條地方鐵路。各企業每生產1元錢的產品所需費用如表所示?，F煤礦和電廠接到外地定貨5萬元和2.5萬元。問三個企業的生產總值各多少時能滿足本地和外地的要求？

解:設煤礦的總產值為x1

電廠的總產值為x2

鐵路的總產值為x3根據題意有：運輸費電費燃料費煤礦0.250.25電廠0.150.050.65鐵路0.100.55線性代數方程組舉例2線性代數方程組舉例3

專家建議某種寵物每天的飲食中應當含有100單位蛋白質，200單位碳水化合物和50單位的脂肪?，F有4種不同的食品A,B,C,D,其蛋白質、碳水化合物和脂肪的含量如下表(單位：盎司）

。如何搭配該寵物的飲？食品蛋白質碳水化合物脂肪A5202B4252C71010D1056解:設每天食用食品A,B,C,D的數量分別為x1,x2,x3,x4。則符合專家建議的搭配應滿足如下條件(構成了一個方程組):

線性方程組的基本知識一般線性方程組是指形式為:的方程組，其中x1,x2,…,xn代表n個未知量,s是方程的個數；稱aij(i=1,2,…,s;j=1,2,…,n)為方程組的系數；稱bi(i=1,2,…,s)為常數項．

對于如下有m個方程n個未知量的方程組：其中ai,j為已知系數，xi未知，bi為已知項。若令則有方程組的矩陣形式:方程組的矩陣形式例：設有方程組：則其矩陣形式為：

方程組的矩陣形式

方程組的解解設k1，k2，…，kn是n個數,如果x1，

x2，…，

xn分別用k1，

k2，…，

kn代入后，使的每一個式子都變成恒等式，則稱有序數組(k1，

k2，…，

kn)是方程組的一個解。解集合方程組的解的全體所成集合稱為它的解集合。解集合是空集時就稱方程組無解?？枴じダ锏吕锵！じ咚垢咚梗?777年4月30日－1855年2月23日），德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數學家，并擁有“數學王子”的美譽。高斯的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經成為一個軼事流傳至今。高斯9歲時，用很短的時間計算出了老師布置的任務：從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構造成和101的數列求和（1+100，2+99，3+98……），同時得到結果：5050?？枴じダ锏吕锵！じ咚垢咚?歲上學。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班級，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數學教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。當然，這也是一個等差數列的求和問題。當布特納剛一寫完時，高斯也算完并把寫有答案的小石板交了上去。E．T．貝爾寫道，高斯晚年經常喜歡向人們談論這件事，說當時只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。高斯沒有明確地講過，他是用什么方法那么快就解決了這個問題。數學史家們傾向于認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點?？枴じダ锏吕锵！じ咚?788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數學尤為突出。經過巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續學習。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。1792年高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創造性的研究?？枴じダ锏吕锵！じ咚垢咚共坏?0歲時，在許多學科上就已取得了不小的成就。對于高斯的成功，鄰居的幾個小伙子很不服氣，決心要為難他一下。他們用一根細棉線系上一塊銀幣，然后再找來一個非常薄的玻璃瓶，把銀幣懸空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉線的另一頭也系在瓶塞上。他們小心翼翼地捧著瓶子，在大街上攔住高斯，用挑釁的口吻說道，“你一天到晚捧著書本，拿著放大鏡東游西逛，一副蠻有學問的樣子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉線弄斷嗎？”高斯本不想理他們，可當他看了瓶子后，又覺得這道難題還的確有些意思，于是認真地想著解題的辦法來。卡爾·弗里德里?！じ咚乖谛』镒訛槟茈y倒高斯而得意之時，大街上的圍觀者越來越多。大家興趣甚濃，把期冀的目光投向高斯。高斯眉頭緊皺，一聲不吭。小伙子們更得意了，他們為自己高明的難題而叫絕。有人甚至刁難道：“怎么樣，你智力有限吧，實在解不出，以后別再逞能了?！备咚共皇車^者嘈雜吵嚷的影響而冷靜思考。他無意地看了看明媚的陽光，又望了望那個瓶子，忽然高興地叫道：“有辦法了。”說著從口袋里拿出一面放大鏡，對著瓶子里的棉線照著，一分鐘、兩分鐘..人們好奇地睜大了眼，隨著錢幣“鐺”的一聲掉落瓶底，棉線被燒斷了。高斯高聲說道：“我是把太陽光聚焦，讓這個熱度很高的焦點穿過瓶子，照射在棉線上，使棉線燒斷。”人們發出一陣歡呼聲，那幾個小伙子也佩服得連連贊嘆。卡爾·弗里德里?！じ咚?799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉布倫茲維克（雖然他的博士論文順利通過了，已被授予博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家），正當他為自己的前途、生計擔憂而病倒時，又是公爵伸手救援他。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術研究》，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術研究》中，寫下了情真意切的獻詞："獻給大公"，"你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究"?？枴じダ锏吕锵！じ咚沟聡麑W者洪堡（B.A.VonHumboldt）聯合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了哥丁根大學數學和天文學教授，以及哥丁根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴哥丁根就職。高斯有"數學王子"、"數學家之王"的美稱、被認為是人類有史以來"最偉大的四位數學家之一"（阿基米德、牛頓、高斯、歐拉）。高斯幼年時就表現出超人的數學天才。11歲時發現了二項式定理，17歲時發明了二次互反律，18歲時發明了正十七邊形的尺規作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。1)換位變換：交換兩個方程的位置；

2)倍法變換:用一個非零數乘上某一個方程;

3)消法變換：將一個方程的倍數加到另外一個方程.

所謂線性方程組的初等變換是指以下三種變換

結論:線性方程組經初等變換后，得到的線性方程組與原線性方程組同解。線性方程組的初等變換高斯消元法

利用初等變換化一般線性方程組為階梯方程組：回代:求解上述三角形方程組，得到求解公式高斯消元法舉例

例：用消元法解線性方程組：解：經消元得等價上三角方程組：用回代公式求其解得：高斯消元法：該方法以數學家高斯命名，但最早出現于中國古籍《九章算術》，成書于約公元前150年。

摘要：通過《九章算術》解三元一次方程組的過程與增廣矩陣的初等行變換進行對照，得出高斯消元法是中國古法的結論?！痉诸悺俊緮道砜茖W和化學】>數學

>古典數學

>中國古典數學【關鍵詞】

高斯消元法

《九章算術》

中國

矩陣

線性方程組

解體方法

古代數學

初等行變換【出處】

《沈陽農業大學學報》2003年第1期

56-58頁共3頁

【收錄】

中文科技期刊數據庫第2章

圖形面積問題與微積分法

內容提要圓周率計算與阿基米德、祖沖之簡介極限思想方法與面積計算牛頓、萊布尼茨簡介經濟領域中的相關問題與導數方法2/4/202370計算機科學與工程學院

圓周率：圓有它的圓周和圓心，從圓周任意一點到圓心的距離稱為半徑，半徑加倍就是直徑。直徑是一條經過圓心的線段，圓周是一條弧線，弧線的長度是直線（直徑）的多少倍，在數學上叫做圓周率。簡單說，圓周率就是圓的周長與它直徑之間的比，它是一個常數，用希臘字母“π”來表示。在天文歷法方面和生產實踐當中，凡是牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。從有文字記載的歷史開始，求出圓周率π的盡量準確的近似值就引起了人們的興趣。直到19世紀初，求圓周率的值仍為數學中的頭號難題。為求得圓周率的值，人類走過了漫長、曲折和饒有趣味的道路。古今中外一代代的數學家為此獻出了自己的智慧和勞動?；仡櫄v史，人類對π的認識過程，反映了數學和計算技術發展的一個側面。德國數學史家康托說："歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數學發展水平的指標。"

2/4/202371計算機科學與工程學院在古代，長期使用π＝3（是基于對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的）。最早的文字記載如基督教《圣經》中，大約在公元前950年前后的圓周率為3。科學地研究圓周率的第一個人是阿基米德，是他首先提出了一種能夠借助數學過程把π的值精確到任意精度的方法。阿基米德證明了“3+(10/71)＜圓周率＜3+(1/7)”。基于這種方法，能夠求得圓周率的更準確的值。圓周長大于內接正四邊形而小于外切正四邊形，因此：

據說阿基米德用到了正96邊形才算出他的值域。

2/4/202372計算機科學與工程學院在我國，公元263年前后，數學家劉徽提出著名的割圓術。雖然他比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上下界。另外，劉徽在割圓術中提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的近似值通過簡單的加權平均，竟然獲得圓周率π＝3927/1250＝3.1416。如果通過割圓計算得出這個結果，需要割到3072邊形。令人遺憾的是，由于人們對這一割圓術中的神奇的精加工技術缺乏理解，而被長期埋沒了。《隋書·律歷志》指出，祖沖之關于圓周率的兩大貢獻。一是求得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927，二是，得到π的兩個近似分數即：約率為22／7；密率為355／113。他算出了π的8位可靠數字，以最精密的圓周率而保持世界記錄九百多年?；趯⒒崭顖A術的繼承與發展，祖沖之得到這一成果。如果單純地割圓術，需要算到圓內接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。由于記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳，祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計算已不得而。祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎"發現宮"科學博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環形山……1150年，印度數學家算出π=3.1416。1424年，天文學家、數學家卡西，計算了805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長，求出π＝3.14159265358979325有十七位準確數字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。17世紀初，德國人魯道夫用了幾乎一生的時間鉆研這個問題。算出小數35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國，圓周率π被稱為“魯道夫數”。到魯道夫可以說已經登峰造極，古典方法已引導數學家們走得很遠，再向前推進，必須在方法上有所突破。17世紀出現了數學分析，π的計算歷史也隨之進入了一個新的階段。人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計算，利用無窮級數或無窮連乘積來算π。1593年，韋達給出:這一公式是π的最早分析表達式。甚至在今天，這個公式的優美也會令我們贊嘆不已。1650年沃利斯給出：1706年，梅欽建立了一個重要的公式，現以他的名字命名：他算到小數后100位。級數方法宣告了古典方法的過時。此后，圓周率的計算像馬拉松式競賽，紀錄一個接著一個。1873年，謝克斯利用一系列方法，花費了二十年的時間將π算到小數后707位。他死后，人們將π的小數點后707位數值銘刻在他的墓碑上，以頌揚他頑強的意志和堅韌不拔的毅力。在1937年巴黎博覽會發現館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的π值。若干年后，數學家弗格森使用了當時最先進的計算工具，從1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森發現謝克斯的值中第528位是錯的（應為4，誤為5）。1948年1月弗格森和倫奇共同發表有808位正確小數的π。這是人工計算π的最高記錄。電腦的出現導致了計算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據梅欽公式計算到2035（一說是2037）位小數，僅用了不到70小時。1973年，圓周率算到了小數點后100萬位。1989年突破10億，1995年10月超過64億位。1999年9月30日，日本東京大學教授金田康正已求到2061.5843億位的小數值。如果將這些數字打印在A4大小的復印紙上，令每頁印2萬位數字，這些紙摞起來將高達五六百米。2001年，金田康正計算出圓周率小數點后1,241,100,000,000位數。如果一秒鐘讀一位數，大約四萬年后才能讀完。新世界紀錄日本筑波大學于2009年算出π值2,576,980,370,000位小數，打破了金田康正于2001年創造的紀錄。11月20日，在位于陜西楊凌的西北農林科技大學，生命科學學院研究生呂超學用時24小時04分，不間斷、無差錯背誦圓周率至小數點后67890位，創下背誦圓周率的新吉尼斯世界紀錄。此前的吉尼斯世界紀錄為無差錯背誦小數點后42195位。（新華社報道）實際上，現代科技領域使用的π值，有十幾位已經足夠。如果用35位小數的π值計算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學家西蒙·紐克姆的話來說明這種計算的實用價值："十位小數就足以使地球周界準確到一英寸以內，三十位小數便能使整個可見宇宙的四周準確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量。"那么為什么數學家們還不是停止對π的探索呢？為什么其小數值有如此的魅力呢？除人類的好奇心與領先于人的心態之外還有：1、用來測試或檢驗超級計算機的各項性能，特別是運算速度與計算過程的穩定性。2、新的計算的方法和思路可以引發新的概念和思想。3、人們想知道：π的數字展開真的沒有一定的模式嗎？阿基米德（公元前287年—公元前

212年），古希臘哲學家、數學家、

物理學家。出生于意大利西西里島的敘拉古。阿基米德成為兼數學家與力學家的偉大學者，并且享有“力學之父”的美稱。阿基米德流傳于世的數學著作有10余種，多為希臘文手稿。阿基米德的父親是天文學家和數學家，所以阿基米德從小受家庭影響，十分喜愛數學。物理發現：浮力原理（簡述）：物體在液體中所獲得的浮力，等于它所排出液體的重量。杠桿原理（簡述）：作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等。即：動力×動力臂=阻力×阻力臂，用代數式表示為F1·l1=F2·l2。式中，F1表示動力，l1表示動力臂，F2表示阻力，l2表示阻力臂。從上式可看出，欲使杠桿達到平衡，動力臂是阻力臂的幾倍，動力就是阻力的幾分之一。名言：“給我一個支點，就能推動地球！”數學成就：《圓的度量》，利用圓的外切與內接96邊形，求得圓周率π為：22/7>π>223/71，這是數學史上最早的，明確指出誤差限度的π值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的等腰三角形的面積（使用的是窮竭法）?！肚蚺c圓柱》，熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的三分之二?！稈佄锞€求積法》，研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來?！墩撀菥€》，是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法。他的數學思想中蘊涵著微積分的思想，他所缺的是沒有極限概念，但其思想實質卻伸展到17世紀趨于成熟的無窮小分析領域里去，預告了微積分的誕生。故事：發現浮力原理的故事：相傳敘拉古赫農王讓工匠替他做了一頂純金的王冠。但是在做好后，國王疑心工匠做的金冠并非純金，但這頂金冠確與當初交給金匠的純金一樣重。工匠到底有沒有私吞黃金呢？國王想檢驗金冠是否為純金，但又不能破壞王冠，這個問題不僅難倒了國王，也使諸大臣們面面相覷。經一大臣建議，國王請來阿基米德檢驗。最初，阿基米德也是冥思苦想而卻無計可施。后來有一天，他在家洗澡，當他坐進澡盆里時，看到水往外溢，同時感到身體被輕輕托起。他突然悟到可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的比重。他興奮地跳出澡盆，連衣服都顧不得穿上就跑了出去，大聲喊著“找到了！找到了！”他經過了進一步的實驗以后，便來到了王宮，他把王冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個盆里，比較兩盆溢出來的水，發現放王冠的盆里溢出來的水比另一盆多。這就說明王冠的體積比相同重量的純金的體積大，密度不相同，所以證明了王冠里摻進了其他金屬。故事2：阿基米德花了許多時間研究，發現了“杠桿原理”和“力矩”的觀念，對于經常使用工具制作機械的阿基米德而言，將理論運用到實際的生活上是輕而易舉的。名言：“給我一個支點，就能推動地球！有一次敘拉古國王對杠桿的威力表示懷疑，他要求阿基米德移動載滿重物和乘客的一艘新三桅船。阿基米德叫工匠在船的前后左右安裝了一套設計精巧的滑車和杠桿。阿基米德叫100多人在大船前面，抓住一根繩子，他讓國王牽動一根繩子，大船居然慢慢地滑到海中。群眾歡呼雀躍，國王也高興異常，當眾宣布：“從現在起，我要求大家，無論阿基米德說什么，都要相信他！故事3:保衛祖國，阿基米德年老的時候，敘拉古和羅馬之間發生了戰爭。羅馬軍隊的最高統帥馬塞拉斯率領羅馬軍隊包圍了他所居住的城市，還占領了海港。阿基米德雖不贊成戰爭，但又不得不盡自己的責任，保衛自己的祖國。

他制造了一種叫作石弩的拋石機，把大石塊投向羅馬軍隊的戰艦，或者使用發射機把矛和石塊射向羅馬士兵。他發明的大型起重機，把羅馬的戰艦高高地吊起，隨后呼地一聲將其摔下大海，船破人亡。最后羅馬士兵都不敢靠近城墻，只要有一根繩子在上方出現，他們就會被嚇跑，因為他們相信那個可怕的阿基米德一定在用一種什么新奇的怪物，會使他們一命嗚呼?！卑⒒椎逻€曾利用拋物鏡面的聚光作用，把集中的陽光照射到入侵敘拉古的羅馬船上，讓它們自己燃燒起來。羅馬的許多船只都被燒毀了，但羅馬人卻找不到失火的原因。900多年后，有位科學家按史書介紹的阿基米德的方法制造了一面凹面鏡，成功地點著了距離鏡子45米遠的木頭，而且燒化了距離鏡子42米遠的鋁。所以，許多科技史家通常都把阿基米德看成是人類利用太陽能的始祖。美國科普節目《流言終結者》對“鏡子聚光燒戰船”的事情進行了科學的論證。測試發現：在140尺遠的距離，用300面銅鏡使靜止的船體冒煙；而當鏡子對準帆的時候，熱量大量流失，因為帆是白色的，且風一吹，前功盡棄；而在75尺的地方，用玻璃鏡點燃了靜止的船體。阿基米德之死：后來，在狄安娜節日期間，敘拉古城居民“完全放松了警惕，他們縱酒狂歡”，松懈下來。一直在窺測時機的羅馬人乘其不備，一舉攻破了防守懈怠的一段城防。羅馬士兵闖入了阿基米德的住宅時看見一位老人正在自家宅前的地上畫圖研究幾何問題，一個羅馬戰士走近沉思中的阿基米德，把地上所畫的圖形踩壞了。阿基米德說：「走開，別動我的圖！」戰士一聽十分生氣，于是拔出刀來，朝阿基米德身上刺下去，一代偉人就這樣去世了。羅馬軍隊的統帥馬塞拉斯，將殺死阿基米德的士兵當作殺人犯予以處決，還尋找阿基米德的親屬，給予撫恤并表示敬意，又給阿基米德立墓，聊表景仰之忱。他為阿基米德舉行了隆重的葬禮，并為阿基米德修了一座陵墓，在墓碑上根據阿基米德生前的遺愿（因阿基米德發現球的體積及表面積，都是外切圓柱體體積及表面積的2/3，他生前曾流露過要刻此圖形在墓上的愿望。），刻上了"圓柱容球"這一幾何圖形。公元461年，他在南徐州（今江蘇鎮江）刺史府里從事，先后任南徐州從事史、公府參軍。公元464年他任婁縣縣令（今江蘇昆山東北）。在此期間他編制了《大明歷》，在《大明歷》中，他首次引用了歲差，是我國歷法史上的一次重大改革。他還采用了391年中設置144個閏月的新閏周，比古代發明的19年7閏的閏周更加精密。祖沖之推算的回歸年和交點月天數都與觀測值非常接近。在數學上，祖沖之推算出圓周率的真值應該介于3.1415926和3.1415927之間，比歐洲要早一千多年。在機械制造上，曾制造了銅鑄指南車、利用水力舂米磨面的水推磨、能日行百里,千里船和計時儀器漏壺、欹器等。祖沖之(429年—500年)，字文遠。南北朝時期著名數學家、天文學家和機械制造家。祖沖之生于建康(今江蘇南京)。祖家歷代都對天文歷法素有研究，祖沖之從小就有機會接觸天文、數學知識。在青年時代祖沖之就博得了博學多才的名聲，宋孝武帝聽說后，派他到“華林學省”做研究工作。周率數值的精確推算值，用他的名字被命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。要作出這樣精密的計算，是一項極為細致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現，更別提計算機了。人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數目，叫做籌算法。如果計算數字的位數越多，所需要擺放的面積就越大。求算圓周率的值是數學中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數學家都致力于圓周率的計算，而公元五世紀祖沖之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。祖沖之經過刻苦鉆研，繼承和發展了前輩科學家的優秀成果。他對于圓周率的研究，就是他對于我國乃至世界的一個突出貢獻。祖沖之對圓這一光輝成就，也充分反映了我國古代數學高度發展的水平。祖沖之，不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學界人士的推崇。1960年，蘇聯科學家們在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有貢獻的科學家的名字，來命名那上面的山谷，其中有一座環形山被命名為“祖沖之環形山”。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經常地重新擺放數以萬計的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復一日地重復這種狀態，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。

極限思想與面積計算極限思想極限思想是微積分的基本思想，高數中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是借助于極限來定義的。極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。為確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的一個近似值，再依據有關信息，設法獲得一連串越來越準確的近似值；然后通過考察這一連串近似值的趨向，再依據這一趨勢把那個量的準確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。極限思想與面積計算極限思想的產生：與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想。16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題。16世紀的歐洲，生產力得到極大的發展，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。

極限思想與面積計算牛頓和萊布尼茨不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔS與時間的改變量Δt之比ΔS/Δt表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當n無限增大時，an無限地接近于常數A，那么就說an以A為極限”。極限思想與面積計算思維功能：極限思想在現代數學乃至物理學等學科中有著廣泛的應用。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。借助極限思想，人們可以由有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識精確。數學研究工作中，如對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍后，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數加倍，經過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。這就是借助于極限的思想方法，從量變來認識質變的。這種近似與精確的對立統一關系，兩者在一定條件下的可相互轉化，正是數學應用于實際計算的重要訣竅。極限思想與面積計算解決問題：極限思想方法是高等數學必不可少的一種重要方法，甚至可以說：高等數學就是用極限思想來研究函數的一門學科。高等數學與初等數學的本質區別就在于高等數學應用了極限思想。基于極限的思想方法，高等數學解決許多初等數學無法解決的問題如：瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題。極限思想與面積計算微積分基本定理及公式設函數f(t)在[a，b]上可積，則對每個x[a，b]，有一個確定的值與之對應，因此可以按對應規律x[a，b]定義一個函數

(x)=，x[a，b]

(2-1)

稱如此定義的函數(x)為積分上限函數，或稱變上限函數。定理2.1(微積分基本定理)設函數f(x)在[a，b]上連續，則以(1)式定義的積分上限函數(x)在[a，b]上可導，且

(x)=[]=f(x)，x[a，b]

(2-2)即連續函數的積分上限函數對上限求導等于被積函數．極限思想與面積計算定理2.2(原函數存在定理)如果f(x)在區間[a，b]上連續，則在[a，b]上的原函數一定存在，且其中的一個原函數為(x)=．定理2.3(牛頓－萊布尼茲公式)設f(x)在區間[a，b]上連續，F(x)是f(x)在[a，b]上的一個原函數，則

=F(b)－F(a)(2-3)公式(3)稱為牛頓——萊布尼茲（Newton——Leibniz）公式．它把求定積分問題轉化為求原函數問題，給出了一個不必求積分和的極限就能得到定積分的方法，稱為微積分基本公式．微積分基本定理給出了計算不規則圖形的面積的方法。極限思想與面積計算例

求由,所圍成的圖形的面積（如圖）。解：由得或.,所以有：少年時的牛頓并不是神童，他資質平常、成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型制作方法的讀物，并自己動手制作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鐘、折疊式提燈等等。牛頓12歲時進了中學。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。牛頓在中學時代學習成績并不出眾，只是愛好讀書，對自然現象有好奇心，例如顏色、日影四季等。艾薩克·牛頓（1643年1月4日－1727年3月31日）是一位英格蘭物理學家、數學家、天文學家、自然哲學家和煉金術士。在2005年，英國皇家學會進行了一場“誰是科學史上最有影響力的人”的民意調查，在被調查的皇家學會院士和網民投票中，牛頓被認為比阿爾伯特·愛因斯坦更具影響力。

1668年26歲制成反射式望遠鏡。1669年27歲著《論用無限項方程所作的分析》，任盧卡斯講座教授。1671年29歲著《級數和流數方法論著》。1672年30歲1月當選為皇家學會會員，宣讀《關于光和顏色的理論》的論文。1684年42歲會見哈雷，證明引力平方反比定律。1686年～1687年44歲著《自然哲學的數學原理》。1700年57歲提出“六分儀”的原理。1727年3月20日84歲逝世。1643年1月4日（舊歷1642年12月25日）出生于林肯郡烏爾索普。1661年19歲6月15日入劍橋大學三一學院學習。1665年24歲發現二項式定理。1665年～1666年24歲因鼠疫流行回到家鄉，對光學、力學、數學有多方面的研究和突破。有一次，他自己做了一架小風車帶到學校。同學們都圍攏過來看。正在一幫小家伙眨巴著眼睛羨慕牛頓的時候，一個同學怪聲怪氣地說：“喲!這風車做得還怪靈巧呢!”這同學講的是反話，因為他平時學習成績好，一直在牛頓之上，看到牛頓在他面前表演，很不服氣，于是又提高嗓門說：“你這小風車外型造得還可以，可它為什么會轉動，你懂得這原理嗎?”牛頓一時答不上來，臉就紅了。那位同學勁頭更足了：“哼!說不出來吧，可憐!自己做的東西自己講不出原理，說明你只不過和木匠一樣!”牛頓被他這番話羞得無地自容，他哭喪著臉，走開了。牛頓小時候，有一次老師布置了一個勞技作業：做小板凳。交作業那天，老師看到牛頓的作業后嘲笑說：“我想這世上再也沒有比這個更難看的小板凳了?！薄坝?，”牛頓說，然后從座椅下拿出另一個小板凳：“我的第一個作品就更難看。據說有一次牛頓煮雞蛋，他一邊看書一邊干活，糊里糊涂地把一塊懷表扔進了鍋里，錯把懷表當雞蛋煮了。一次，一位客人請他估價一具棱鏡。牛頓一下就被這具可以用作科學研究的棱鏡吸引住了，毫不遲疑地回答說：“它是一件無價之寶！”客人表示愿意賣給他，還故意要了一個高價。牛頓立即欣喜地把它買了下來，管家老太太知道后，生氣地說：“咳，你這個笨蛋，你只要照玻璃的重量折一個價就行了！”一次牛頓請朋友吃飯，準備好飯菜后，自己卻鉆進了研究室，朋友見狀吃完后便不辭而別了，牛頓出來時發現桌上只剩下殘羹冷飯，以為自己已經吃過了。一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還制造了一個小水鐘。每天早晨，小水鐘會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家里墻角、窗臺上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。在美國學者麥克·哈特所著的《影響人類歷史進程的100名人排行榜》，