材料力學第四章彎曲內力材料力學第四章彎曲內力一平面彎曲的概念及梁的種類二梁的內力及其求法三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系五按疊加原理作彎矩圖六平面剛架與曲桿的內力圖七關于內力圖的進一步討論第四章彎曲內力一平面彎曲的概念及梁的種類1、平面彎曲的概念討論桿的彎曲暫時限制在如下的范圍:（1）桿的橫截面至少有一根對稱軸（一個對稱面）對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類

(2)載荷作用在對稱平面內

所有外力都作用在通過桿件軸線的縱向對稱平面內(受力特點)。軸線縱向對稱面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）(3)桿件軸線在載荷作用平面內彎成一條曲線(變形特點)。1、平面彎曲(對稱彎曲)的概念第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類2、凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類PaAB陽臺梁欄桿PABq第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類上海長江大橋第53號至54號橋墩間，將架起“百米長梁”。這一箱梁長105米、寬16米、高5米，重2300噸，為世界第一。"百米長梁"超越東海大橋"梁式大橋"70米的跨度，實現了橋梁史上的一大突破。上海長江大橋跨江段長10公里，全橋長16.5公里，雙向6車道，設計時速100公里。整個隧橋工程將在2010年完工。

上海長江大橋架起"世界第一梁"第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類3、梁的種類：靜定梁——支座反力可由靜力平衡方程確定的梁。（a）簡支梁（b）懸臂梁（c）外伸梁（d）靜定組合梁中間鉸第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類超靜定梁——支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類Beamsupportedonawall:(a)actualconstruction,and(b)representationasarollersupport.Beam-to-columnconnection:(c)actualconstruction,and(d)representationasapinsupport.第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類Beam-to-columnconnectionwithonebeamattachedtocolumnflangeandotherattachedtocolumnweb第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類第四章彎曲內力/一平面彎曲的概念及梁的種類Beamsareessentialloadcarryingcomponentsinmodernbuildingandbridgeconstruction.第四章彎曲內力二梁的內力及其求法x解：(1)、根據平衡條件求支座反力(2)、截取m-m截面左段。AxmmM剪力——使截面不產生移動彎矩M——使截面不產生轉動得到：oALBFabmm1、梁的內力—剪力與彎矩得到：第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

2、剪力、彎矩的正、負號規定：Fs（＋）FsMM（－）符號規定左上右下，剪力為正左順右逆，彎矩為正第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

符號規定繞研究體順時針轉為正由下轉向上為正——微段向上凹剪力：彎矩：dxdxdxdx第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

例題

一簡支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內力。解：1、根據平衡條件求支座反力qAB4aaaC3、求指定截面上的剪力和彎矩第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

2、求C截面（跨中截面）上的內力qAaC得到：得到：（彎矩M的實際方向與假設方向相同，為正彎矩）第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

（剪力的實際方向與假設方向相反，為負剪力）如以右側梁作為研究對象，則：為了計算方便，通常取外力比較簡單的一段梁作為研究對象。qBaC第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

qAB4aaaC取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象:截面左側（或右側）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

截面左側（或右側）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象:第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

xaFAyF1FByF2b實用法則剪力：=（±）截面一側（左側或右側）所有豎向外力（斜向外力的豎向分力）的代數和。若外力繞截面形心順時針轉動，產生（+）剪力，若外力繞截面形心逆時針產生（-）剪力。FSFS第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

實用法則彎矩=（±）截面一側（左側或右側）所有豎向外力（力偶）的對截面中心力矩代數和。若外力矩使截面處微段梁下側受拉時，產生正彎矩，外力矩使截面處微段梁下側受壓，產生負彎矩。注：對任一側梁段，向上（下）的外力產生

+（-）彎矩xaFAyF1FByF2bMM第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

解：1、根據平衡條件求支座反力例題

一外伸梁受力如圖所示。試求D、B截面上的內力。AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC2、求B、D截面上的內力?第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

解：1、根據平衡條件已求出支座反力例題

一外伸梁受力如圖所示。試求D左、D右、B左、B右截面上的內力。AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC2、求D左、D右、B左、B右截面上的內力?第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC截面：第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

截面：與截面相比，該截面的內力只增加了約束反力，故有：亦可取梁的右側的外力簡化，但必須注意外力的符號變化。AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

4、小結(基本規律)

（1）求指定截面上的內力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結果一致（方向、轉向相反）。一般取外力比較簡單的一段進行分析。（2）在解題時，一般在需要內力的截面上把內力（FS

、M）假設為正號。最后計算結果是正，則表示假設的內力方向（轉向）是正確的，解得的FS、M即為正的剪力和彎矩。若計算結果為負，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負的，其方向（轉向）應與所假設的相反（但不必再把脫離體圖上假設的內力方向改過來）。第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

（3）梁內任一截面上的剪力FS的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數和。

若外力繞截面形心順時針轉動，產生（+）剪力，若外力繞截面形心逆時針產生（-）剪力。

（4）梁內任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對于這個截面形心的力矩的代數和。若外力矩使截面處微段梁下側受拉時，產生正彎矩，外力矩使截面處微段梁下側受壓，產生負彎矩。

第四章彎曲內力/二梁的內力及其求法

(5)集中力作用的截面上剪力有“跳躍“（突變），其跳躍的值就是這個集中力的大小；集中力偶作用的截面上彎矩有”跳躍”，其跳躍的值就是這個集中力偶的大?。谒恼聫澢鷥攘?二梁的內力及其求法

第四章彎曲內力三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數，即稱為剪力方程和彎矩方程AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNECDF1剪力方程與彎矩方程第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖

2內力與外力的相依關系

某一截面上的內力與作用在該截面一側局部桿件上的外力相平衡；在載荷無突變的一段桿的各截面上內力按相同的規律變化；第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點為各段梁的控制截面。所謂控制截面,即外力規律發生變化的截面—集中力、集中力偶作用點、分布載荷的起點和終點處的橫截面。3控制截面的概念第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖xx(+)(+)(-)(-)剪力圖和彎矩圖——用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。注意：必須標明控制截面上的內力值4剪力圖和彎矩圖第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖例題圖所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：⑴求約束力⑵列剪力方程和彎矩方程qBAlAqM

(x)FS(x)FRAFRA

FRB⑶作剪力圖和彎矩圖BAM

圖BAFS圖例題圖所示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：⑴求約束力

ab

lABCF

M

圖FS圖M

(x)FS(x)FRAAFRA

FRB⑵列剪力方程和彎矩方程AC段梁：CB段梁：例題圖

所示簡支梁在

C

點受矩為

Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：⑴求約束力M

(x)FS(x)AFRA

ablABCMe⑵列剪力方程和彎矩方程兩段梁的剪力方程相同，即由于C處有外力偶Me

作用，故兩段梁的彎矩方程則不同，即AC段梁：CB段梁：M

圖FS圖FRAFRB幾種典型彎矩圖和剪力圖

1、集中荷載作用點M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；FS圖有一突變，荷載向下突變亦向下。

2、力偶作用點M圖有一突變，力矩為順時針向下突變；FS圖沒有變化。

3、均布荷載作用段M圖為拋物線，荷載向下曲線亦向下凸；FS圖為斜直線，荷載向下直線由左向右下斜qFPm例題懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的和及其所在截面位置。Pm=PaACBaa取參考坐標系Axy。解：xy1、列出梁的剪力方程和彎矩方程AB段:x第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖BC段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力圖和彎矩圖-PPa(+)(-)3、求和（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖注意：1、在列梁的剪力方程和彎矩方程時，參數x可以從坐標原點算起，也可從另外的點算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍（x的區間）即可。2、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，應為開區間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，M(x)應為開區間，因在該處彎矩圖有突變。3、若所得方程為x的二次或二次以上方程時，則在作圖時除計算控制截面的值外，應注意曲線的凹凸向及其極值。第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖例題外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a解：xy1、取參考坐標系Cxy。根據平衡條件求支座反力第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖2、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力圖和彎矩圖-qa(-)(-)(+)(-)E(+)第四章彎曲內力/三剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖例1.簡支梁AB受力如圖，試作該梁的剪力圖和彎矩圖。yxaaapapACBDFAyFByxxx解：1.支座反力2.剪力方程、彎矩方程yxaaapapACBDFAyFByxxxP／32P／3Qx2Pa/33.剪力圖、彎矩圖

Pa/3Pa/3Mox例2.簡支梁AB受力如圖，試作該梁的剪力圖和彎矩圖。yxaaqa2ACBqFAyFByxx解：1.支座反力2.剪力方程、彎矩方程qaaxq(x-a)·(x-a)/2yxaaqa2ACBqFAyFByxx3.剪力圖、彎矩圖

yxaaqa2ACBqFAyFByxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/43.剪力圖、彎矩圖

例3.復合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。

特點:中間鉸不能傳遞彎矩，只能傳遞力的作用。求解時先由中間鉸處拆開，化為兩個單跨梁。

AD、DC和CB三段剪力方程和彎矩方程如下：1.支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由AC跨的平衡條件求得。AD:DC:CB：2.剪力圖和彎矩圖OQ3qa/3qa/89qa2/128MOqa2/16qa2/83a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAy

AD段的彎矩圖為一條二次拋物線，作圖時須求出彎矩的極值和所在截面的位置，才能大致繪出其圖形。第四章彎曲內力四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系剪力、彎矩和分布載荷集度間

的微分關系一、FS、M和q之間的微分關系二、突變條件三、控制點法作剪力圖和彎矩圖第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

考察受任意載荷作用的梁。建立xy坐標系。規定向上的q(x)為正。第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

yxABq(x)

考察dx微段的受力與平衡FS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

上式的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導數，等于該截面處作用在梁上的分布荷載集度。上式的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度，就是剪力圖上相關點處的斜率。FS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

由此式知：剪力圖曲線上一點處的斜率等于梁上相應點處的載荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

略去二階微量，得：上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導數，等于該截面上的剪力。上式的幾何意義：任一橫截面處的剪力，就是彎矩圖上相關點處的斜率。FS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

由此式知：彎矩圖曲線上一點的斜率等于梁上相應截面處的剪力FS。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導數，等于同一截面處作用在梁上的分布荷載集度數學上：二階導數可用來判定曲線的凹向，因此：上式的幾何意義：可以根據對x的二階導數的正、負來定出圖的凹向。第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

微分關系對應表q(x)=0q(x)=q

=qx

=0dF

(x)

dx=

qq

>0q

<0斜直線斜直線水平線Fx常量=F

=dM(x)

dx=qd

M(x)

dx22q

>0q

<0F

>0F

=0F

<0水平線斜直線斜直線拋物線極小值拋物線極大值MxM圖q圖F圖常量

SSdF

(x)

dxSSSSSS第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

二、突變條件qxFxMxM圖q圖F圖FFFFSSMeMeMeMe突變條件對應表第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

三、控制點法作剪力圖和彎矩圖任一段梁上，剪力增量等于q圖的面積，

彎矩增量等于剪力圖的面積。

考慮任一段梁(AB段)，把平衡微分方程在這段梁上積分第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

內力FS

、M的變化規律,歸納如下：載荷F水平直線+-oror上斜直線上凸拋物線下凸拋物線下斜直線F(剪力圖無突變)F處有尖角斜直線第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

1．當梁上某段q=0時，該段剪力為常數，故剪力圖為水平直線。相應的彎矩為x的一次函數，彎矩圖為斜直線。當FS＞0時，彎矩圖為上升斜直線；FS＜0時，彎矩圖為下降斜直線。2．當梁上某段q=常數時，該段剪力為x的一次函數，剪力圖為斜直線。相應的彎矩為x的二次函數，彎矩圖為二次拋物線。若q＞0，則剪力圖為上升斜直線，彎矩圖為開口向下的曲線（凸孤）；若q＜0，則剪力圖為下降斜直線，彎矩圖為開口向上的曲線（凹孤）。第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

3．在集中力作用處（包括支承處），剪力圖將發生突變，其突變值等于該處集中力之大小。當集中力向上時，剪力圖向上突變（沿x正向），反之，向下突變；而彎矩圖將因該處兩側斜率不等出現拐點。在集中力偶作用處，彎矩圖將發生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。當集中力偶為順時針方向作用時，彎矩圖向下突變（沿x正向），反之則向上突變，但剪力圖在該處無變化。第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

例題一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。解：1、根據平衡條件求支座反力AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/m第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/m2、由微分關系判斷各段的形狀。載荷CADBAD斜直線斜直線第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/m3、作-圖。4、作M-圖。CA段：(-)DA段：-3kN4.2kN-3.8kN(+)(-)DB段：-3kN.m(-)Ex(-)3.8kN.m(+)(+)-2.2kN.m第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

CADBFAFB例題：外伸梁，受力如圖，試畫剪力圖和彎矩圖。解：1.求支座反力2015M／kNmOxFS／kNxo1015515CA段：dFS／dx＝q（x）＜0，A點：FA＝35kn（），發生跳躍，AB段：B點：

RB＝15kn（），發生跳躍，CA段：AD段：2.作剪力圖、彎矩圖D點：MD＝20kn.m，發生跳躍（）。DB段：第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

13012040FS圖（kN）M圖（kN·m）140130210340280160EFADCB19030AFDCEABCDFE40

kN80

kN·m160

kN40

kN/m1m1m2m2m4m練習：如圖示外伸梁，試用簡便法作內力圖。A12

kN8kN

/

m2m2m2m4mBCED練習如圖示外伸梁，試用簡便法作內力圖。解：先求支座反力：確定控制點內力的數值大小及正負：FS圖（kN）1532916aABCDEHFs=03016ABCDEH3636.275M圖（kN·m）例題：外伸梁，受力如圖，試畫剪力圖和彎矩圖。CADBERARB解：1.求支座反力2.作剪力圖、彎矩圖Fs/kNox20530M/kNmxo20154560第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

q(x)q(x)第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

例題第四章彎曲內力/四彎矩、剪力和分布荷載之間的關系

q(x)q(x)例題按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理：

多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數和。適用條件：所求參數（內力、應力、位移）必然與荷載滿足線性關系。即在彈性限度內滿足虎克定律。第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖二、材料力學構件小變形、線性范圍內必遵守此原理

——疊加方法步驟：①分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖；②將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點處）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM

+++=+第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖

三、對稱性與反對稱性的應用：

對稱結構在對稱載荷作用下，FS圖反對稱，M圖對稱；對稱結構在反對稱載荷作用下，FS圖對稱，M圖反對稱。第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖[例]作下列圖示梁的內力圖。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0FSxFS1xFS2x–0.5P0.5P0.5P–+–P第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0MxM1xM2x0.5PLPL0.5PL–++0.5PL+第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖繪制下列圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+–++2Pa2PaPa(1)第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖(2)aaqqqq=+xM1=xM+–+–xM23qa2/2qa2/2qa2第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖(3)PaaPL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1–+–PL/2第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+–20kNm30kNm20kNm第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖+改內力圖之錯。a2aaqqa2ABFSxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4第四章彎曲內力/五按疊加原理作彎矩圖[例]已知FS圖，求外載及M圖（梁上無集中力偶）。F