Mathematica在數學中的應用

中國科學院研究生院

TheApplicationofMathematicainMath2Mathematica軟件的使用(1)用Mathematica軟件進行各種簡單數學處理(2)用Mathematica軟件進行作圖(3)用Mathematica軟件編寫程序本章教學目的Mathematica中的四種括弧Mathematica一般用到了四種括弧，每種括弧的功能都是不同的，下面總結一下：1、圓括號()：用于組合運算，在計算中表示優先計算關系2、方括弧[]：用在函數中，表示其中為函數的參數3、大括弧{}：用來表示集合4、雙括號[[]]：用來表示索引初等代數1.1有理式的展開(常用命令)命令說明Expand[poly]展開多項式polyFactor[poly]對多項式poly作因式分解FactorTerms[poly]提取數字公因子Exponent[poly,x]多項式poly中x的最高次數Cofficient[poly,expr]多項式poly中項expr的系數Poly[[n]]或Part[poly,n]多項式poly的第n項(1)f=Expand[(x+y+3)^2](2)Factor[f](3)Exponent[f,x](4)Coefficient[f,x](5)Factor[(x^3+2x+1)/(x^3+x^2+x+1)](6)Apart[%](*將表達式分解為最簡單分式*)1.2有理式運算的常用命令命令說明ExpandNumerator[expr]展開分子ExpandDenominator[expr]展開分母Expand[expr]展開分子,每項除以分母ExpandAll[expr]分子,分母完全展開Together[expr]通分Apart[expr]分解為部分分式之和Cancel[expr]約分命令說明PolynomialQuotient[p,q,x]x的多項式p與q相除的商式PolynomialRemainder[p,q,x]x的多項式p與q相除的余式PolynomialGCD[p1,p2,….]多項式p1,p2,….的最大公因式PolynomialLCM[p1,p2,….]多項式p1,p2,….的最小公倍數1.3多項式的代數運算(1)PolynomialQuotient[1+x^2,x+1,x](2)PolynomialGCD[x^2+2x+1,x^3+1,x^5+1]命令說明Solve[方程或方程組,{變量}]求方程(組)的精確解NSolve[方程或方程組,{變量}]求方程(組)的(全部)近似解FindRoot[方程,{變量,初值}]用Newton法求方程組的一個近似解1.4方程求解(1)Solve[a*x+b==0,x](2)Reduce[a*x+b==0,x](*推導方程組的解*)(3)FindRoot[Sin[x]==0,{x,3}]Mathematica對符號運算的限制用戶在使用Mathematica對符號表達式進行處理時,也許會執行Expand[(x+1)^(100^100)]的命令。這個命令執行的結果，表達式將有100^100+1項。也許計算機可以很方便地執行這個計算任務，但到計算的后期，每升高(x+1)的冪指數時，計算的增加量是非常大的。當運算超出計算機容量的限制時，Mathematica的計算只能停下來。即使計算下去，花費時間也是相當客觀(1):進行包含10000位數的算術運算(2):展開有1000項的多項式(3):用有幾千項的三個以上的變量分解多項式(4):使用一個遞歸計算1000次以上(5):找出100＊100矩陣的逆矩陣的計算(6):輸出結果超過10頁的計算用符號做標記在Mathematica中，可以指定符號為不同類型的目標作標記。這個標記就像數值的單位一樣。比如：微積分

Mathematica可以完成幾乎所有標準數學函數的積分,可以對有理多項式進行積分,只要分母的冪指數不要太高.(1)D[Sin[n*x],{x,3}](2)Dt[Sin[n*x],x](3)Integrate[Log[x],x]有些積分可能無法用確定的式子表示,至少不能用標準的數學函數表示。比如像，這樣的積分根本不能用數學手冊中定義的標準函數的形式求解。Mathematica對于不可積分的數學表達式將不作任何處理。線形代數計算方法、擬和、最優化計算Mathematica軟件的作圖給出一個一元函數及其作圖區間，用Plot語句可以立刻作出函數在相應區間上的圖形(1)Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}](2)Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},

AspectRatio->Automatic,

PlotStyle->{GrayLevel[0.1], Dashing[{0.02,0.01}], Thickness[0.01]},

AxesLabel->{“x”,“y”}]二維函數作圖

修改坐標的原點為(3,0),并設定圖形名稱修改x軸的刻度,y軸的刻度仍然不變在繪圖時，允許使用選項對繪制圖形的細節提出各種要求和設置。如果不設置任何選項，則Mathematica軟件作圖時選項取默認值。選項默認值意義AspectRatio1/GoldRatio=0.618圖形高度與寬度的比例。如果要圖形按實際情況顯示，設置的選項應為AutomaticAxesAutomatic是否畫坐標軸以及設置坐標軸的中心位置.選項值為None時,不設置坐標軸AxesLabelNone設置坐標軸上的標記符號.用{“字符串1”,“字符串2”}的形式定義軸的橫坐標和縱坐標標記PlotRangeAutomatic圖形中坐標的范圍選項默認值意義PlotPoints22采樣函數的點數.對于函數值變化劇烈的表達式,應設定較大的點數PlotStyleAutomatic設置曲線的樣式。取默認值時畫出一條黑色、實的曲線。選項意義Graylevel[g]灰度比值，g取0到1之間的數,0為黑色，1為白色RGBColor[r,g,b]紅、綠、藍三色的強度，0到1之間的數Thickness線的寬度值為tPlotStyle的可選項目二維參數作圖

使用Plot命令只能繪出一般的函數曲線，要繪制參數曲線，可以用ParametricPlot命令,其一般形式:

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax},選項](1)ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}](2)ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},

AspectRatio->Automatic]三維函數作圖

作出二元函數f(x,y)的立體圖形的命令是Plot3D,其格式為:Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},選項](1)Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-5,5},{y,-5,5}]與Plot語句類似,Plot3D語句中也可以加入許多選項(2)Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-5,5},{y,-5,5}, Boxed->False,Axes->False,

PlotPoints->50,Mesh->False]三維函數作圖

圖形軸上加上標記

學習過畫法幾何或工程制圖的都知道，制圖時通常用三視圖來表示一個物體的具體形狀特性。我們在生活中也知道從不同觀察點觀察物體，其效果是很不一樣的。在繪制立體圖形時，在系統默認的情況下，觀察點在(1.3,-2.4,2)處。這個參考點選擇是具有一般性的，因此偶爾把圖形的不同部分重在一起也不會發生視覺混亂。改變視點

帶有陰影和網格的圖形對于理解曲面的形狀是很有好處的。在有些矢量圖形的輸出裝置中，你可能得不到陰影，但是當有陰影時，輸出裝置可能要花很長時間來輸出它。通常情況下，Mathematica為了使圖形更加逼真而用明暗分布的形式給空間立體曲面著色。在這種情況下，Mathematica假定在圖形的右上方有三種光源照在物體上。但有時這種方法會造成混亂，此時你可用Lighting->False來采取根據高度在表面上涂以不同灰度的陰影的方法。選項默認值意義AspectRatio1圖形高度與寬度的比率AxesTrue是否畫坐標軸AxesLabelNone設置坐標軸上的標記符號BoxedTrue是否顯示外框MeshTrue是否在表面畫網格PlotRangeAutomatic圖形中坐標的范圍PlotPoints15采樣函數的點數ShadingTrue表面是陰影還是空白Plot3D語句的各種常用的選項三維參數作圖

在Mathematica軟件中三維參數作圖有兩種形式,一種是空間曲線參數作圖,其命令為:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},選項](1)ParametricPlot3D[{6Cos[t],6Sin[t],3*t}, {t,-8,8},AspectRatio->1]另外一種是空間曲面參數作圖,其命令為: ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]}, {u,umin,umax},{v,vmin,vmax},選項](2)ParametricPlot3D[{Cos[u]*Cos[v], Sin[u]*Cos[v],Sin[v]},{u,0,2Pi}, {v,-Pi/2,Pi/2},Axes->False,Boxed->False](2)ParametricPlot3D[{{Cos[u]*Cos[v],Sin[u]*Cos[v],

Sin[v]},{2Cos[u]*Cos[v],2Sin[u]*Cos[v], 2Sin[v]}},{u,0,Pi},{v,-Pi/2,Pi/2}, Boxed->False,Axes->False]數據作圖

在Mathematica軟件也可以根據數據作出圖形,其命令為:

ListPlot[數據,選項](1)p=Table[{n,Prime[n]},{n,1,20}];L istPlot[p](2)ListPlot[p,PlotStyle->AbsolutePointSize[4]](3)ListPlot[p,PlotJoined->True]圖形的組合

上述的各種圖形命令中，ParametricPlot,ParametricPlot3D，Plot三個語句不僅可以畫出一個函數的圖形，而且可以同時畫出幾個函數的圖形。其一般形式為： 圖形命令[{函數1，函數2，…},變量范圍,選項](1)Plot[{Sin[x],x,x-x^3/6,x-x^3/6+x^5/120}, {x,-2Pi,2Pi}]

圖形元素作圖

如果要繪制一些最基本的圖形,可以用Graphics語句(三維圖形用Graphics3D)作出基本圖形元素,再用Show語句顯示圖形二維圖形元素集合意義Point[{x,y}]點{x,y}Line[{x1,y1},{x2,y2},…]連接{x1,y1},{x2,y2},…的折線段Rectangle[{x1,y1},{x2,y2}]以{x1,y1},{x2,y2}為對角線兩頂點的填實矩陣Polygon[{x1,y1},{x2,y2},…]以{x1,y1},{x2,y2}為頂點的填實多邊形Circle[x,y,r]圓心在{x,y},半徑為r的圓Circle[{x,y},{rx,ry}]中心在{x,y},長短半軸分別為rx,ry的橢圓二維圖形元素集合意義Circle[{x,y},r,{t1,t2}]從弧度t1到弧度t2的圓弧Disk[{x,y},r]圓心在{x,y}，半徑為r的填實圓Text[“expr”,{x,y}]在{x,y}處的文本”expr”(1)執行下列語句V1=Graphics[Circle[{0,0},{3.5,4}]];V2=Graphics[Line[{{-2,2.5},{-1,2.5}}]];V3=Graphics[Line[{{2,2.5},{1,2.5}}]];V4=Graphics[Circle[{-1.5,1.5},0.5]];V5=Graphics[Circle[{1.5,1.5},0.5]];V6=Graphics[Disk[{-1.65,1.5},0.15]];V7=Graphics[Disk[{1.35,1.5},0.15]];V8=Graphics[Polygon[{{-0.5,-1},{0.5,-1},{0,0}}]];V9=Graphics[Circle[{0,-2},{0.5,0.3}]];v10=Graphics[Text[“Hello”,{0,-5}]];Show[V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8,V9,V10,

AspectRatio->Automatic]三維圖形的元素的函數－略，感興趣的圖形查相關手冊編程

分枝結構

在復雜的計算中經常需要根據表達式的情況（它是否滿足一些條件）確定是否做某些處理，或在滿足不同的條件時做不同的處理。Mathematica軟件提供了一些描述條件分枝的結構，它們在常用的程序里，用于控制程序的執行過程。1：If語句

Mathematica軟件中If語句有三種形式

形式一：If[test,expr]當test的值為True時，對expr求值，將它的值作為整個語句的值；當test的值為False時，則給出空值Null

形式二：If[test,expr1,expr2]

當test的值為True時，求expr1的值作為整個語句的值，當test的值為False時，求expr2的值作為整個語句的值。

形式三：If[test,expr1,expr2,expr3]當test的值為True時，求expr1的值作為整個語句的值，當test的值為False時，求expr2的值作為整個語句的值;當test求不出值為True與False時,求expr3的值作為整個語句的值 (1)abs[x_]=If[x>=0,x,-x](2)f[x_]:=If[x>5,3,2,1](3)f[6](4)f[5](5)f[a]2：Which語句

Which[test1,expr1,test2,expr2,…]

該語句依次求出每一個條件的值，當求出第一個值為True的條件時，求出對應表達式的值作為整個語句的值。(例)g[x_]:=Which[x>=8,8,x>=6,6,x>=4,4,True,0]

用True作為Which語句的最后一個條件，可以處理“其他”情況。在此處即為，當x<4時，g[x]取值為0

循環結構

高級程序設計語言都提供了描述重復執行的循環語句。在Mathematica軟件中也提供了一些類似的循環控制結構。1、While[test,expr]在計算時，條件test先被求值。若求出值為True，則對表達式求值，然后再重復上述過程；一旦test的值不是True，整個循環結果計算結束。例如下面的程序可用來計算與100！k=1;s=0;p=1;While[k<=100,s=s+k;p=p*k;k++];Print[“s=”,s,“p=”,p]2、For[start,test,incr,body]在計算時，其初始表達式start首先求值，然后進入循環，依次計算條件test，步長表達式incr與循環體body，一旦test的值不是True，整個循環結構計算結束.s=0;p=1;For[k=1,k<=100,k++,s=s+k;p=p*k];Print[“s=”,s,“p=”,p]3、Do[expr,{i,imin,imax,di]在循環變量i依步長di從imin取到imax