第三章傳輸線和波導

——微波傳輸線的分類及其特點TEM傳輸線特點:沒有沿傳輸方向的場分量；傳輸的主模是TEM模式，沒有截止頻率；相速和群速不是頻率的函數（即不存在色散）；電壓、電流和特征阻抗定義唯一。

第三章傳輸線和波導

——微波傳輸線的分類及其特點常用的TEM傳輸線平行雙導線、同軸線、帶狀線、微帶線、共面波導第三章傳輸線和波導

——微波傳輸線的分類及其特點色散傳輸線特點存在著沿波傳輸方向的場分量；存在著最低工作頻率，即當低于主模的截止頻率時，電磁波將不能在傳輸線中傳播；相速和群速是頻率的函數，即存在色散；電壓、電流和特征阻抗定義不唯一。第三章傳輸線和波導

——微波傳輸線的分類及其特點常用微波色散傳輸線矩形波導、圓波導、槽線、介質波導、脊波導第三章傳輸線和波導

——本章主要內容及其要點微波傳輸線中波的分類；TEM、TE和TM波的一般解及其一般傳輸特性；常用微波傳輸線的分析方法；常用微波傳輸線的場分布、傳播特性、主要傳播模式，特點和用途。3.1TEM、TE和TM波的通解均勻波導（傳輸線）的理想化假設波導內壁為理想導體，電導率為無限大波導內填充介質為各向同性，均勻無耗的線性媒質波導內無自由電荷和傳導電流，即波導內無源波導為無限長，橫截面形狀大小在傳播方向不變波導中波的傳播方向為Z方向，與波導橫截面相垂直波導中傳輸的波為正弦電磁波

均勻波導中導行波的一般表達式

廣義正交曲線坐標系下的矢量亥姆霍茲方程

其中為介質中的波數

矢量亥姆霍茲方程的

縱向算子和橫向算子設廣義正交曲線坐標系的三個坐標分別為：u，v，w，且設W方向為傳播方向—z方向，則拉普拉斯算子為：

其中稱為二維拉普拉斯算子矢量亥姆霍茲方程的

縱向算子和橫向算子由二維拉普拉斯算子表示三維矢量亥姆霍茲方程，有1、矢量亥姆霍茲方程的分離變量法（1）對變量Z的分離

z為一個特殊的方向，橫坐標u，v的函數E(u,v)和H(u,v)與z無關，可以先對z進行分離變量（以電場為例說明）設：

1、矢量亥姆霍茲方程的分離變量法Z(z)僅為變量z的函數，且為一標量函數，將上式代入（A1）式，有即

（A2）（1）對變量Z的分離(A2)式要有解，等式兩邊都必須為一常數，令其為γ，有

（A3a）

（A3b）

（2）Z（z）的解及其意義解的意義：代表沿傳輸線朝±Z兩個方向傳輸的波—入射波與反射波。

γ為傳播常數，它的實部α代表衰減因子，虛部β代表相移常數，即

(3)電場和磁場橫向坐標變量的

亥姆霍茲方程無限長無耗傳輸線，有電場和磁場：

(3)電場和磁場橫向坐標變量的

亥姆霍茲方程設有

（A4）

kC稱為截止波速（4）用縱向場分量表示橫向場分量

——電磁場橫截面分布的求解步驟1分量形式的電磁場

（4）用縱向場分量表示橫向場分量

——電磁場橫截面分布的求解步驟1分量形式的麥克斯韋方程

（A5）（4）用縱向場分量表示橫向場分量

——電磁場橫截面分布的求解步驟1橫向場分量與縱向場分量的關系（A6a）（A6b）（A6c）（A6d）（5）縱向場分量滿足的波動方程

——電磁場橫截面分布的求解步驟2將（A3）式寫成分量形式az是常矢量，z分量可單獨分離，即

（A7a）

（A7b）直角坐標系下無耗傳輸線橫向場和縱向場的關系3.1.1TEM波TEM波的特點必然有橫向場滿足的場方程3.1.1TEM波TEM波橫向場與靜場一樣都滿足二維拉普拉斯方程,可用勢函數來表示.電流3.1.1TEM波

TEM波存在的條件

——相應的靜電勢不為零多導體傳輸線能夠存在TEM波閉合的導體不存在TEM波（如矩形波導、圓波導）平面波是TEM波的一種，傳輸特性可以用TEM波的方法分析。3.1.1TEM波波阻抗其中Et和Ht滿足右手螺旋法則。如在直角坐標系下，有

3.1.1TEM波

——TEM傳輸線的分析方法靜場分析的方法優點:方法相對簡單。不足:無法進行高階模和不連續性的分析。求解電位的拉普拉斯方程保角變換變分3.1.1TEM波

——TEM傳輸線的分析方法全波分析優點：可以進行高階模、不連續性和色散的分析缺點：分析過程復雜分離變量法、譜域法、橫向諧振法等3.1.1TEM波

——分析過程總結（求解拉普拉斯方程法）1、在合適的坐標系下分離變量，求解電位的拉普拉斯方程。2、由導體的邊界條件，求出解的常量。3、由電場和電位的關系，計算出電場。4、由電場和磁場的關系，計算出磁場。3.1.1TEM波

——分析過程總結（求解拉普拉斯方程法）5、對電場（由導體a到導體b）積分，計算出電壓V，對磁場積分求出電流。6、根據定義求出傳播常數、特征阻抗等傳輸線參數。例

3.1.2TE波橫向場與縱向場的關系

TE波的特征

Ez=0，Hz≠0，即磁場有縱向分量，電場無縱向分量，只有橫向分量。3.1.2TE波直角坐標系下的關系3.1.2TE波縱向磁場（直角坐標系）波阻抗3.1.2TM波橫向場與縱向場的關系

TM波的特征

Hz=0，Ez≠0，即電場有縱向分量，磁場無縱向分量，只有橫向分量。3.1.2TM波直角坐標系下的關系3.1.2TM波縱向電場（直角坐標系）波阻抗

規則波導中波的一般傳輸特性

傳播常數分析（1）γ=α為實數，波沿傳輸方向迅速衰減，波在波導中不能傳播

規則波導中波的一般傳輸特性

（2）γ=jβ為純虛數，波在波導中沿z方向只有相位的變化，振幅無衰減，在波導中無衰減的傳播。

（3）臨界狀態規則波導中波的一般傳輸特性

波導波長與截止波長工作波長波導波長截止波長規則波導中波的一般傳輸特性TE和TM波波導波長和傳播常數的特點TE和TM波的波導波長和傳播常數不僅與電磁波的工作頻率有關，同時也與波導本身的結構及其填充介質的特性和傳輸的模式有關

規則波導中波的一般傳輸特性總結TEM波場分析傳輸線參數(均勻介質)規則波導中波的一般傳輸特性總結

——TE和TM波場分析TE波縱向場：橫向場規則波導中波的一般傳輸特性總結

——TE和TM波TM波縱向場橫向場規則波導中波的一般傳輸特性總結截止波長與截止頻率傳播常數波導波長與工作波長規則波導中波的一般傳輸特性總結相速群速

規則波導中波的一般傳輸特性總結波阻抗TM波TE波3.3矩形波導本節要求矩形波導的場分布表達式及其推導過程；波導模式的概念，波導波長，截止波長，波速的意義和表達式；矩形波導的主模-TE10模及其特點，單模傳輸的條件；波導管壁電流分布規律；波導中電磁波的傳輸功率與衰減的推導與計算。3.3.1TE波條件縱向場方程（3.73)

3.3.1TE波邊界條件橫向場與縱向場的關系3.3.1TE波

——縱向場分量的通解(分離變量)

令Hz=X(x)Y(y)

有欲使方程兩邊恒等，只有方程的左邊兩項分別等于一個常數

3.3.1TE波矩形波導中縱向磁場的通解

由邊界條件,得:則矩形波導中縱向磁場滿足邊界條件的解3.3.1TE波橫向場分量3.3.2TM模

(條件:Hz=0Ez≠0)場解TE模和TM模特性總結波阻抗TE模TM模其中，η為自由空間對應介質的波阻抗TE模和TM模特性總結

——波導參數截止波數截止波長傳播常數波導波長TE模和TM模特性總結

——波導參數相速其中，v為波導中介質對應的自由空間光速。即群速（能速）且TE模和TM模特性總結

——傳播特性1）傳播模式每一個m和n的組合，都是波導中一個滿足邊界條件的獨立解，稱為波型或模式。m和n稱為波型指數。當m和n都為0時，場分量全為0，因此不存在TE00和TM00模式當m或n等于時0，TM模式的場分量都為0，因此，也不存在TM0n或TMM0模式TE模和TM模特性總結

——傳播特性2）傳播條件當k>kc即,λc>λ0，fc<f0。β為實數,電磁波在波導中傳播只有相位的滯后,沒有振幅的衰減,波型可以在波導中傳播。當k<kc即,當λc<λ0，fc>f0時，β為虛數,電磁波在波導中傳播很快衰減,波型不能在波導中傳播。每種傳播模式在波導中存在的條件都與該模式的截止波長λc（即與波導的橫截面尺寸）和電磁波的激勵方式有關。

TE模和TM模特性總結3）兼并模在矩形波導中，波指數相同的TE和TM波的截止頻率相同，可同時在波導中傳輸，這種具有相同截止波長的現象稱為波的簡并，其模式稱為簡并模。

矩形波導的基模—TE10模基模：在傳輸線上截止頻率最低的模式稱為傳輸線的基模，又稱為主模。高次模：高于基模的其他模式，統統稱為高次模。

矩形波導的基模：由于矩形波導有a>b即，TE10模截止頻率最低，為矩形波導的基模。矩形波導的基模—TE10模TE10模的場解矩形波導的基模—TE10模截止波長

波導波長傳播常數波阻抗相速和群速相速群速矩形波導的基模—TE10模

——TE10模單模存在的頻率范圍基本要求TE10模可以傳播，其它模式不能傳播（截止）。如果低次模式不能傳播，則高次模式必不能傳播。即或上式決定了波導單模傳輸的頻率范圍，即波導的工作帶寬。矩形波導的基模—TE10模

——場結構矩形波導的基模—TE10模

——管壁電流研究管壁電流的意義

管壁電流與場結構密切相關。場結構決定管壁電流的分布。反過來，管壁電流也決定場結構的分布。

了解和利用管壁電流的分布進行設計和測量。

波導的信號激勵。波導參數的測量。波導器件的設計損耗的計算

矩形波導的基模—TE10模

——管壁電流管壁電流的求解

TE10模的管壁電流x=0x=ay=0y=b矩形波導的基模—TE10模

——管壁電流的特點在x=0和x=b的窄壁上，電流只有y分量,電流密度為常數。在y=0和y=b的寬壁上，電流密度既有z分量，也有x分量，電流密度是x的函數。波導寬邊的中央，管壁電流只有沿z方向的電流分量。

矩形波導的基模—TE10模

——功率流和功率損耗功率流功率損耗導體損耗介質損耗（小損耗）

矩形波導的基模—TE10模

——導體損耗的計算損耗功率Pl導體衰減矩形波導的力線圖了解力線圖的必要性和重要性波導中場的激勵與耦合。波導電路元件的設計。多模器件的設計。

矩形波導的力線圖力線圖的表示方法力線的疏密表示場的強弱。力線的方向代表場的方向。實線代表電力線。虛線代表磁力線。對于單一傳播模式，橫向電場、橫向磁場和波的傳播方向成右手螺旋關系。矩形波導的力線圖波指數與橫向場分布的關系矩形波導的波指數m和n分別代表場在x坐標和y坐標變化的半駐波數。即m代表在x坐標方向場的半駐波數；n代表在y坐標方向場的半駐波數。矩形波導的力線圖

——矩形波導中的基本模式及其力線圖

TE10模矩形波導的力線圖

——矩形波導中的基本模式及其力線圖TE01模矩形波導的力線圖

——矩形波導中的基本模式及其力線圖TE11模

矩形波導的力線圖

——矩形波導中的基本模式及其力線圖TM11模矩形波導的力線圖

——高次模的力線圖矩形波導中高次模的力線圖可以根據波指數的意義，由前面提到的四個基本模式組合而成。

例：TE20模

矩形波導的力線圖

——高次模的力線圖TE21模矩形波導的力線圖

——高次模的力線圖TM21模矩形波導中高次模的截止模特性截止模：截止模是指傳播常數為純實數，在波導中不能傳播的模式。

截止模的傳播特性

截止模在波導中是一個衰減模式，呈指數衰減

矩形波導中高次模的截止模特性截止模的波阻抗

TE模

波阻抗呈現感性，磁場能量占優。TM模

波導納呈現容性，電場能量占優

矩形波導中高次模的截止模特性截止模的能量特征單位長波導中通過的平均能量

矩形波導中高次模的截止模特性

——能量特征分析TE模由則又得到矩形波導中高次模的截止模特性

——能量特征分析截止狀態，有

即結論：截止狀態下，TE模的磁場占優。

矩形波導中高次模的截止模特性

——能量特征分析TM模

類似的推導過程，有結論TM模式的截止模。電場能量占優。截止模的應用傳輸線不連續性性質的研究

截止模衰減器3.4圓波導本節要求：圓波導的場分布表達式及其導出過程圓波導的傳播特性（傳播常數，波阻抗，波導波長，截止波長，波速）圓波導的基模和其他主要傳播模式及其應用3.4圓波導圓波導及其坐標系度量因子

3.4圓波導

——縱向場分量和橫向場分量的關系

其中3.4圓波導

——縱向場分量的波動方程3.4.1TE模

——條件:Ez=0Hz≠0縱向磁場的解:波方程邊界條件:柱坐標的分離變量令代入(3.112)式,并整理有

3.4.1TE模——Hz的解由分離變量法的原理，有即由解的唯一性有即注意！！P的解中正弦項和余弦項分別是圓波導中的單獨解，它們的存在與激勵有關。3.4.1TE模——Hz的解R的解：R滿足貝塞爾方程，解是貝塞爾函數，即其中Jn和Yn分別是n階第一類和第二類貝塞爾函數。由ρ=0解有限的條件，得D=0。即Hz的通解為：kc的解由得到其中，p’nm是n階貝塞爾函數的第m個根3.4.1TE模——橫向場波阻抗3.4.1TE模

——貝塞爾函數的導數的根與圓波導的基模nP’n1P’n2P’n303.8327.01610.17411.8415.3318.53623.0546.7069.970圓波導TE模的p‘nm值

由于p’11值最小，對應于最長的截止波長，因此TE11模是圓波導的最低傳播模式，即基模。3.4.1TE模

——基模TE11模的場解3.4.1TE模

——功率流由貝塞爾函數的積分得到基模TE11模的功率流3.4.1TE模

——導體損耗導體損耗衰減常數3.4.2TM模

——條件：Hz=0Ez≠0縱向電場的解波方程邊界條件縱向電場pnm是n階貝塞爾函數的第m個根3.4.2TM模

—圓波導TM模的pnm值nPn1Pn2Pn302.4055.5208.65413.8327.01610.17425.1358.41711.620傳播常數截止頻率

TM11模與TE01模有相同的截止頻率，即它們是簡并的.3.4.2TM模

——橫向場分量與波阻抗波阻抗圓波導中波的傳播特性總結傳播模式與矩形波導類似，圓波導中也有無窮多個滿足邊界條件并可獨立存在的模式，即波指數的每一個組合就是圓波導中滿足邊界條件的一個解。不存在TE00，TEn0，以及TM00，TMn0模式！！

波指數n表示場量沿圓柱坐標圓周方向（φ方向）變化的半周期數。m表示場量沿波導徑向（ρ方向）半駐波數。簡并模

極化簡并n≠0時存在極化簡并。模式簡并波指數相同的模式不一定是簡并模。只有kC相同的模式才存在著模式簡并。如TE01模與TM11模存在著簡并。圓波導中常用模式的特點和用途TE01模場分布特點電場：只有φ分量，沿圓周方向均勻分布。

磁場:無φ分量，這意味著該模式沒有縱向電流分量

力線圖

圓波導中常用模式的特點和用途

——TE01模

特點與用途特點

場分布軸向對稱，無極化簡并。電場只有圓周分量，圍繞縱向磁場分量形成閉合曲線，又稱為圓電波。電流只沿圓周方向流動，無縱向電流。可以證明，導體損耗隨工作頻率的增加而單調下降。用途高Q諧振腔。遠程毫米波波導傳輸。缺點：不是最低模式。圓波導中常用模式的特點和用途

——TE11模特點與應用圓波導中的最低模式，即基模。

場分布與矩形波導中的主模TE10模相似，可以很方便的相互轉換

場分布為非圓周對稱，存在極化簡并

力線圖圓波導中常用模式的特點和用途

——TM01模場分布特點場軸對稱，沒有簡并磁場只有圓周分量，即只有縱向電流，傳輸損耗較大用途電場軸對稱，常常作為雷達的旋轉關節模式

力線圖3.5同軸線本節要求明確同軸線的基模是TEM模，沒有截止頻率同軸線TEM模的場分布特點同軸線高階模的一般解同軸線單模傳輸的頻率范圍3.5.1TEM模場分布場方程邊界條件場解分離變量，令有

3.5.1TEM模TEM模的場解分析：邊界條件與φ無關，即n=0則求解有考慮到邊界條件，有3.5.1TEM模電場磁場3.5.1TEM模電流特征阻抗3.5.2高階模研究同軸線高階模的意義TEM模單模傳輸的頻率范圍同軸線不連續性性質的分析3.5.2高階模同軸線的TE模Hz的場方程:邊界條件3.5.2高階模TE模縱向場的解由于ρ=0不在同軸線的區域,因此D不一定為0!由邊界條件,得到非零解必有解(3.159)可得出Kc值3.5.2高階模TM模Ez的場方程邊界條件3.5.2高階模Ez的解由邊界條件,Kc由下式給出3.5.2高階模同軸線TEM模單模傳輸的頻率范圍頻率低端TEM模沒有截止頻率頻率高端最低次高階模TE11模。近似解為：TEM模單模傳輸的波長和頻率范圍3.7帶狀線帶狀線的結構和基本要素結構基本要素支撐介質的介電常數ε上下接地板間距b中心導帶寬度W3.7帶狀線帶狀線的特點與用途特點：基模為TEM模。填充均勻介質，不存在色散。也可以存在TE和TM的高次模，即有單模傳輸的頻率上限。可由上下接地板的距離來控制。主要分析方法（TEM模）采用靜場分析方法保角變換求解電位的拉普拉斯方程用途微波無源集成電路。特別適合多層微波集成的中間層。3.7.1傳播常數、特征阻抗和衰減的公式

——帶狀