2.2直線的投影ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW

直線的投影

直線上的點

直線的真長及其傾角

兩直線間的相對位置一邊平行于投影面的直角投影規律畫法幾何及土建制圖HABbaCDcdEFe(f)

直線的投影特性：

一般來說，直線的投影仍然為直線。當直線垂直于投影面時，直線的投影則積聚為一點。直線對投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線投影面平行線投影面垂直線——直線與三個投影面均傾斜。——直線平行于其中的一個投影面，傾斜于另外兩個投影面。——直線垂直于某一投影面。1、直線的投影a′b′b″a″baYHYWXZABabαβγa″b″a′b′ZXY

一般線的投影特性：

一般位置線的任何一個投影，均不反映直線的真長，也不反映直線與投影面的傾角。一般位置線直線所平行的投影面不同，投影面平行線又可分為：水平線直線平行于H面，傾斜于V、W面。正平線直線平行于V面，傾斜于H、W面。側平線直線平行于W面，傾斜于H、V面。投影面平行線投影面平行線

水平線的投影特性：1.水平線的H投影反映真長，真長投影與OX夾角為β；與OY軸的夾角為γ；α=0°。2.水平線的V投影a’b’∥OX；W投影a”b”∥OY；a’b’b”a’baβγ

反映真長TLYHYWXZaa”a’b’Bb”AβγbZXY水平線

正平線的投影特性：1、正平線的V投影反映真長，真長投影與OX夾角為α；與OZ軸的夾角為γ;β=0°。2、正平線的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；a′b′b″a″baγα反映真長TLYHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY正平線a′b′b″a″baα反映真長TLβYHYWXZa′b′AabαBa″b″βZXY

側平線的投影特性：1.側平線的W投影反映真長，真長投影與OY夾角為α；與OZ軸的夾角為β；γ=0°。2.側平線的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；側平線按直線所垂直的投影面不同，投影面垂直線又可分為：鉛垂線直線垂直于H面，平行于V、W面。正垂線直線垂直于V面，平行于H、W面。側垂線直線垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直線投影面垂直線a′b′b″a″b(a)YHYWXZa′b′A(a)bBa″b″ZXY鉛垂線投影特性：1、鉛垂線的H投影積聚為一點；2、鉛垂線的V、W投影反映直線的真長，且平行于OZ軸。鉛垂線b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY正垂線投影特性：1、正垂線的V投影積聚為一點；2、正垂線的H、W投影反映直線的真長，且平行于OY軸。正垂線a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY側垂線投影特性：1、側垂線的W投影積聚為一點；2、側垂線的V、H投影反映直線的真長，且平行于OX軸。側垂線ABCa(b)EFDedf直線上點的投影特性:1、直線上點的投影必定位于直線的同面投影上。2、直線上的點分割直線為兩段，則線段的空間之比等于它們的投影之比，即：

ED:DF=ed:df=e′d′:d′f′=e″d″:d″f″(c)2、直線上的點a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK點在直線AB上【例題1】判定下題中，點K是否在直線AB上？XYHYWZa′b′abk′ka″b″k″K點不在直線AB上O【例題2】判斷點K是否在直線AB上。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例題3】已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。aba′b′C

′cXO【例題4】試在直線AB上確定一點C，使AC:CB=2:3，求C點的兩面投影。直角三角形法AB真長αAB真長βaba′b′ABabαβγb″a′b′ZXYa″△ZAB量取△ZAB△YAB量取△YAB3、一般線的實長與傾角

求解一般位置線段的實長及其與投影面的夾角，是求解畫法幾何綜合題時經常遇到的基本問題之一。也是工程中經常遇到的問題。而用直解三角形法求解實長、傾角又最為方便、簡捷。

一、直角三角形法的作圖要領：用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對應于投影面的坐標差作為另一直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影響面的夾角。二、直角三角形的四個要素：實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。三、解題時：直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結果。但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。四、作圖

1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角

2．求直線的實長及對正面投影面的夾角角

3．求直線的實長及對側面投影面的夾角角

例題1一般位置線段的實長及其與投影面夾角的求解在直角三角形中，一條直角邊為直線的投影長，另一條直角邊為直線的坐標差，則斜邊即為該直線的真長；真長與投影長之間的夾角為直線與該投影面的傾角。真長（TL)坐標差△Z、△Y、△XH、V、W投影長α、β、γ

直角三角形法|zA-zB

|AB1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2．求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|3．求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例題5】已知線段實長AB，且A點在B點前方，求它的水平投影。【例題6】試在直線AB上其一點C，使AC=25mm，求點C的投影

aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在AB上量取AC=25mmcc′BA【例題7】已知直線AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影量取△YABR=40mm△YABa′b′ab【例題8】已知直線AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△YAB量取△YABβ【例題9】已知直線AB的V投影，且α=30°,求AB的

H投影。a′b′abαΔzAB直線的H投影長以直線的H投影長為半徑，作圓弧直線AB真長兩直線的相對位置兩直線交叉兩直線相交兩直線平行

4、兩直線的相對位置

兩直線平行的投影特性：兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。即AB∥CD，則：ab∥cd；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d″。xob′aa′d′bbcc′xob′a′abdc′d′cABCD兩直線平行abcdcabd對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①【例題10】判斷圖中兩條直線是否平行bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。②求出側面投影如何判斷？【例題11】判斷圖中兩條直線是否平行ob’xa’abk’c’d’dckxoBDACKbb’aa’c’cdd’k’k兩直線相交的投影特性：兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影的交點符合點的投影規律。兩直線相交●●cabbacdkkd先作正面投影【例題12】過C點作水平線CD與AB相交Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21

兩直線交叉的投影特性：

既不滿足兩直線平行的投影特性,也不滿足兩直線相交的投影特性，均屬于兩直線交叉.兩直線交叉dbaabcdc’1(2)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？交叉兩直線的投影特性：交叉兩直線重影點投影的可見性判斷(3)41(2)43341212【例題13】判斷兩直線的相對位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ兩直線交叉【例題14】判斷兩直線的相對位置(方法二）cboa′ac′d′db′x1′1=1′d′=1′c′兩直線交叉【例題15】作直線KL與AB、CD相交，且平行于EF直線。d′e′

f′fec′a′abcd(b′)(k′)l′lk作kˊlˊ∥eˊfˊ作kl∥ef【例題16】已知水平線AB的兩面投影及點C的兩面投影，求作直線CD，使其與直線AB相交且與H面成30o夾角。Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影長CD真長α以CD水平投影長為半徑作弧d有兩解dˊAHBCacbcOXb′a′c′ba

直角投影規律：

空間兩直線互相垂直，當其中一條直線為投影面的平行線時，則在該直線所平行的投影面內，兩直線的投影反映直角關系。

5、一邊平行于投影面的直角投影直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線的投影定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。兩直線交叉垂直OXb′a′bamnnmBHACcbaMNnmZZ距離注意：距離直線只有平行于投舉例求作點到直線的距離【例題17】求點K到直線AB的距離。kk′aba′b′ll′垂線KL的實長△ZKL△ZKL【例題18】已知直角三角形ABC，其一直角邊BC在EF線上，長30mm，試完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例題19】求兩直線AB、CD之間的距離。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm兩交叉線間距離(n)ffee

【例題20】過點E作線段AB、CD公垂線EF

兩平行直線的距離投影面垂直線badca(b)c(d)ef距離efabcda(b)c(d)ef投影面平行線

eg'f'e'hgfh'ijk'l'lkj'i'距離實距兩平行直線的距離（e）【例題21】求直線AB和CD間的最短距離。

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。fef分析：ABCDEFabecdfH因為ABH,EFAB,所以EF//H；又因為EFCD,EF//H所以efcd。Xcd（b）baacdo因為EF//H,所以e'f'//OX；EFAB,EFCDABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例題22】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且

BCAB=23。dbbXOaccadABCD有abbc分析：

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。因為ABBC,且ABH根據直角投影定理【例題23】已知長方形ABCD中BC邊的兩投影和AB邊的面

投影（a'b'//OX)，求作長方形的兩投影。【例題24】已知正方形ABCD的對角線位于側平線EF上，試完成該正方形的正面、側面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半對角線長f

0【例題25】已知菱形ABCD的對角線AB的兩投影，另一對角線CD

長為2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的兩投影。e’ef’fZFEZFELc0cc’dd’ABC