湖南省岳陽市華容第一中學2022年度高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數的圖象在上恰有一個極大值和一個極小值,則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D2.函數在[－2,2]上的圖象大致為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據函數的特點，結合選項的圖象特征，利用特殊值進行驗證排除確定.【詳解】因，排除B，D.又因為，排除C.故選：A【點睛】本題主要考查函數的圖象，還考查了理解辨析，特殊法應用的能力，屬于中檔題.3.已知則（

）高考資源網A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.已知二次函數的導函數為，且＞0，的圖象與x軸恰有一個交點，則的最小值為()參考答案：C略5.已知向量，，則是的（

）條件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：B因為向量中有可能為零向量，所以時，推不出。若，所以，所以是的必要不充分條件.6.（5分）若x，y滿足約束條件：；則x﹣y的取值范圍為（）A．[0，3]B．[0，]C．[﹣，0]D．[﹣3，0]參考答案：D【考點】：簡單線性規劃．【專題】：不等式的解法及應用．【分析】：由約束條件作出可行域，令z=x﹣y，化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標，代入目標函數得答案．解：由約束條件作出可行域如圖，令z=x﹣y，則y=x﹣z，聯立，得．∴B（1，1），又C（0，3），由圖可知，當直線過B時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為0；當直線過C時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為﹣3．∴x﹣y的取值范圍為[﹣3，0]．故選：D．【點評】：本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．7.設則以線段AB為直徑的圓的方程是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.8.若p、q為兩個命題，則“pq”為真是“pq”為真的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B9.能夠把圓:的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓的“和諧函數”，下列函數不是圓的“和諧函數”的是

A．B．

C．

D.參考答案：D略10.設復數Z滿足（2+i）·Z=1－2i3，則復數對應的點位于復平面內

（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數

．參考答案：012.已知，，則的值為

參考答案：略13.直線截圓所得的劣弧所對的圓心角為，則實數

．參考答案：14.某學生對函數的性質進行研究，得出如下的結論：①函數在上單調遞增，在上單調遞減；②點是函數圖象的一個對稱中心；③函數圖象關于直線對稱；④存在常數，使對一切實數均成立．其中正確的結論是__________.(填寫所有你認為正確結論的序號)參考答案：【知識點】函數的單調性與最值函數的奇偶性與周期性B3B4

【答案解析】④

f（x）=2x?cosx為奇函數，則函數f（x）在[-π，0]，[0，π]上單調性相同，所以①錯．由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以②錯．再由f（0）=0，f（2π）=4π，所以③錯．|f（x）|=|2x?cosx|=|2x|?|cosx|≤2|x|，令M=2，則|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，所以④對．故答案為：④．【思路點撥】由函數是奇函數可得函數f（x）在[-π，0]，[0，π]上單調性相同，所以①錯；通過給變量取特殊值，舉反例可得②③不正確；令M=2，則|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，所以④對．15.已知函數，若關于x的方程有且只有四個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是__ __．參考答案：（，）略16.命題p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是命題（選填“真”或“假”）．參考答案：真．【分析】舉出正例x0=﹣1，可判斷命題的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在?x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命題p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命題，故答案為：真．17.（選修4-1：幾何證明選講）如圖所示，圓的直徑，為圓周上一點，，過作圓的切線，過作的垂線，垂足為，則

▲

．參考答案：30o

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知函數.(Ⅰ)當時，求函數的單調區間和極值；（Ⅱ）若在上是單調增函數，求實數a的取值范圍.參考答案：解析：(I)易知，函數的定義域為.

………1分當時，.

………3分當x變化時，和的值的變化情況如下表：

x（0,1）1（1，+∞）－0＋遞減極小值遞增………5分由上表可知，函數的單調遞減區間是（0,1）、單調遞增區間是（1，+∞）、極小值是.

………7分(II)由，得.

………9分若函數為上的單調增函數，則在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.………11分令，則.當時，，在上為減函數，.

………………13分所以.∴的取值范圍為.19.如圖所示的“相鄰塔”形立體建筑，已知P﹣OAC和Q﹣OBD是邊長分別為a和的兩個正四面體，底面中AB與CD交于點O，試求出塔尖P，Q之間的距離關于邊長a的函數，并求出a為多少時，塔尖P，Q之間的距離最短．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算．【分析】過點P作底面OAC的垂線交底面OAC于點O1，過點Q作底面OBD的垂線交底面OBD于點O2，連結O1O2，則四邊形PO1O2Q是直角梯形，由此能求出當a=時，塔尖P，Q之間的距離最短．【解答】解：如圖，過點P作底面OAC的垂線交底面OAC于點O1，過點Q作底面OBD的垂線交底面OBD于點O2，連結O1O2，則O1，O2，O三點共線，且PO1∥QO2，則四邊形PO1O2Q是直角梯形，在Rt△OPO1中，OP=a，OO1==，則PO1=，同理，得OO2=，QO2=，則PQ===，PQ=≥=（，當a=時，等號成立），則當a=時，塔尖P，Q之間的距離最短．20.（本小題滿分14分）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是BC的中點．

（1）求證：A1C∥平面AB1D；

（2）設M為棱CC1的點，且滿足BM⊥B1D，

求證：平面AB1D⊥平面ABM．參考答案：證明：(1)記A1B∩AB1＝O，連接OD.∵四邊形AA1B1B為矩形，∴O是A1B的中點，又∵D是BC的中點，∴A1C∥OD.

………2分又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.

………6分注意：條件“A1C平面AB1D，OD平面AB1D”少寫一個扣除2分，兩個都不寫本小步4分扣完！(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC.

………8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，

平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.

【或利用CC1⊥平面ABC證明AD⊥平面BB1C1C.】

………10分∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM.

………12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D平面AB1D，

∴BM⊥平面AB1D.又∵BM平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．

………14分21.等腰△ABC，E為底邊BC的中點，沿AE折疊，如圖，將C折到點P的位置，使二面角P﹣AE﹣C的大小為120°，設點P在面ABE上的射影為H．（I）證明：點H為BE的中點；（II）若AB=AC=2，AB⊥AC，求直線BE與平面ABP所成角的正切值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【分析】（I）證明：∠CEP為二面角C﹣AE﹣P的平面角，則點P在面ABE上的射影H在EB上，即可證明點H為EB的中點；（II）過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，則有三垂線定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影為NB，∠HBN為直線BE與面ABP所成的角，即可求直線BE與平面ABP所成角的正弦值．【解答】（I）證明：依題意，AE⊥BC，則AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP為二面角C﹣AE﹣P的平面角，則點P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）∴EH=EP=EB．∴H為EB的中點．…（6分）（II）解：過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，則有三垂線定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影為NB．∴∠HBN為直線BE與面ABP所成的角．…（9分）依題意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=，tan∠HBN=．…（12分）【點評】本題考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.已知函數f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）當a=﹣3時，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（1）不等式等價于，或，或，求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍．【解答】解：（1）當a=﹣3時，f（x）≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、