山西省忻州一中等四校2023屆高三下學期第三次聯考數學（文科）臨汾一中忻州一中長治二中康杰中學【滿分150分，考試時間為120分鐘】一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，，，則A.B.C．D．2.若，其中,是虛數單位，則的值A．－3B．－1C．1D．33.設為等差數列的前項和，，則=A.B.C.D.4.已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為A.B.C.D.5.執行圖中的程序框圖（其中表示不超過的最大整數），則輸出的值為A.5B.7C.9D.126.以下四個命題中，真命題的個數是①若，則，中至少有一個不小于；②是的充要條件；③；④函數是奇函數，則的圖像關于對稱.A.0B.1C.2D.37.定義矩陣，若，則的圖象向右平移個單位得到函數，則函數解析式為A.B.C.D.8.在半徑為2的圓內的一條直徑上任取一點，過這個點作垂直該直徑的弦，則弦長超過圓內接正三角形邊長的概率是A.B.C.D.9.若點P在拋物線上，點Q（0,3），則|PQ|的最小值是A.B.C.D.10.已知一個幾何體的三圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.B.C.D.11.已知函數，且，則A.50B.60C.70D.8012.若函數的導函數在區間（1，2）上有零點，則在下列區間上單調遞增的是A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上）13.已知,若，則與的夾角的余弦值為.14.已知變量滿足，則的最大值為.15.在四棱錐中，,若四邊形為邊長為2的正方形，,則此四棱錐外接球的表面積為.16.若定義在區間上的函數滿足：對使得恒成立，則稱函數在區間上有界.則下列函數中有界的是：.①；②；③；④；⑤，其中.三、解答題(解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)．17.（本小題滿分12分）在中，角的對邊分別為,已知；（I）求證：成等差數列；（II）若的面積為，求.3010152025次數o0.050.01183010152025次數o0.050.01分組頻數頻率[10,15)200.25[15,20)50n[20,25)mp[25,30)40.05合計MN（I）n估計該校高一學生寒假參加社區服務次數的中位數；（II）如果用分層抽樣的方法從樣本服務次數在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再從這6人中選2人，求2人服務次數都在[10,15)的概率.19.（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，底面為菱形，（I）證明：（II）若求四棱錐的體積.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，以橢圓的長軸的兩個端點及短軸的一個端點為頂點的三角形的面積為6.（I）求橢圓的方程;（II）若斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、又點，求面積最大時對應的直線的方程.21.（本小題滿分12分）已知函數.（I）討論函數的單調性；（II）若對任意不相等的，恒有成立，求非負實數的取值范圍.請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．22.(本題滿分10分)選修4-1：幾何證明與選講已知是的外角的平分線，交的延長線于點，延長交的外接圓于點，連接，.（I）求證：；（II）若是外接圓的直徑，，，求的長.23.(本題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數）.（I）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓的極坐標方程;（II）已知，圓上任意一點，求面積的最大值.24.（本題滿分10分）選修4－5：不等式選講設（I）解不等式（II）若不等式在上恒成立，求實數k的取值范圍.數學（文科）參考答案（滿分150分，考試時間為120分鐘）BABCCDACBDAD13.14.1015.16.①④⑤三、解答題(解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)．17.解（1）證明：由正弦定理得：即……2分……4分……5分成等差數列.……6分（2）……8分……10分得……12分18.解：（1）因20÷=0.25，所以=80,所以，,………3分中位數位于區間，設中位數為(15+x),則0.125x=0.25,所以x=2,所以學生參加社區服務次數的中位數為17次。……6分（2）由題意知樣本服務次數在[10,15)有20人，樣本服務次數在[25,30)有4人.如果用分層抽樣的方法從樣本服務次數在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，則抽取的服務次數在[10,15)和[25,30)的人數分別為：和-------------------8分記服務次數在[10,15)為在[25,30)的為.從已抽取的6人中任選兩人的所有可能為：共15種.設“2人服務次數都在[10,15)”為事件，則事件包括共10種.-------------------10分,所以-------------------12分19.(1)證明：取的中點連接，底面為菱形，為正三角形，又為的中點，側面為正三角形，為的中點面，.……6分（2）由（1）面得：面面，作于面;由側面為邊長等于2的正三角形、為正三角形、為的中點得：,又設的中點為……8分……10分……12分20.(1)設1由拋物線的焦點是橢圓的一個焦點得：，即即，，，……4分(2)設與聯立得：得：，……6分到的距離……10分當=9即時，最大，對應的直線的方程為……12分21.解：(Ⅰ)……4分(Ⅱ)不妨設，又，恒成立，等價于恒成立，即就是恒成立令，則為單調遞增函數即就是恒成立……8分令……12分請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．22.(本題滿分10分)選修4-1：幾何證明與選講已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交ABC的外接圓于點F，連接FB，FC.（I）求證：FB＝FC；（II）若AB是ABC外接圓的直徑，EAC＝1200，BC＝，求AD的長.（1）證明：AD平分EAC，EAD＝DAC四邊形AFBC內接于圓DAC＝FBC.EAD＝FAB＝FCBFBC＝FCBFB＝FC.……5分（2）AB是圓的直徑ACB＝ACD＝900，EAC＝1200，DAC＝600，D＝300,在RtABC中，BC＝，BAC=600，AC＝3在RtACD中，D＝300，AC＝3AD＝6.……10分23.(本題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，圓C的參數方程為（為參數）.（I）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓C的極坐標方程;（II）已知A（-2,0），B（0,2），圓C上任意一點M(x,y)，求ABM面積的最大值.解：（1）圓C的參數方程為（為參數），圓C的普通方程為，所以圓C的極坐標方程為……5分（2）易求直線AB方程為點M(x,y)