2021-2022學年上海市南匯區第二中學高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.正三棱柱體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為（）A． B． C． D．2參考答案：B【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】設底邊邊長為a，高為h，利用體積公式V=Sh得出h，再根據表面積公式得S=3ah+2?=+，最后利用導函數即得底面邊長．【解答】解：設底邊邊長為a，高為h，則V=Sh=a2×h，∴h=，則表面積為S=3ah+2?=+，則令S′=a﹣=0，解得a=即為所求邊長．故選：B．2.函數f（x）=2x﹣x2的零點所在的一個區間是（）A．（﹣，0） B．（，） C．（，） D．（4，+∞）參考答案：B【考點】函數零點的判定定理．【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】將方程2x﹣x2=0的零點問題轉化成函數y=x2與函數y=2x圖象的交點問題，畫出圖象可得．【解答】解：∵f（x）=2x﹣x2，∴f（x）的零點問題轉化為關于x的方程2x﹣x2=0，可化為2x=x2．

分別畫出函數y=x2和y=2x的圖象，如圖所示：由圖可知，它們的交點情況是：恰有3個不同的交點．f（x）的最小零點在A點處，在區間（﹣1，﹣0.75）內，第二個零點是x=2，d在區間（，）內，第三個零點是x=4．故選：B．【點評】本題考查了根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，解答關鍵是運用數形結合的思想，屬于中檔題．3.設全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，則A∩（?UB）=（）A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．?參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】根據求出B的補集，找出A與B補集的交集即可．【解答】解：全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}={1，2，3，4，5，6}B={x=2k﹣1，k∈Z}，∴?uB={x=2k，k∈Z}，∴A∩（?uB）={2，4，6}，故選：C．【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是（

）A.異面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能參考答案：B∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC．又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB．考點：線面平行的性質.5.在△ABC中，，，E、F分別為BC的三等分點，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由得到，再用表示，最后利用夾角公式計算.【詳解】因為，兩邊平方后可得，所以，故，設，因為、分別為的三等分點則，，所以，而，，所以，故選B.【點睛】向量的數量積有兩個應用：（1）計算長度或模長，通過用；（2）計算角，.特別地，兩個非零向量垂直的等價條件是.6.已知集合，集合,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B7.觀察如圖所示幾何體，其中判斷正確的是（）A．①是棱臺 B．②是圓臺 C．③是棱錐 D．④不是棱柱參考答案：C【考點】L3：棱錐的結構特征．【分析】直接利用柱、錐、臺的定義判斷即可．【解答】解：圖形①，不滿足棱臺的定義，所以①不正確；圖形②，不滿足圓臺的定義，所以②不正確；圖形③滿足棱錐的定義，所以③正確；圖形④是棱柱，所以④的判斷不正確．故選：C．8.函數為增函數的區間是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：C9.某學校高一年級有35個班，每個班的56名同學都是從1到56編的號碼，為了交流學習經驗，要求每班號碼為14的同學留下進行交流，這里運用的是()

A．分層抽樣

B．抽簽抽樣C．隨機抽樣

D．系統抽樣參考答案：D略10.如圖，正方形ABCD中，AB=3，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結論：①點G是BC中點；②FG=FC；③S△FGC=．其中正確的是

（

）

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數與函數在區間上增長較快的一個是

。參考答案：

解析：冪函數的增長比對數函數快12.函數的定義域是．參考答案：（0，1]【考點】函數的定義域及其求法．【分析】由被開方數大于等于0，然后利用對數函數的單調性及真數大于0求出x的范圍，寫出集合區間形式即為函數的定義域．【解答】解：由logx≥0，解得：0＜x≤1∴函數的定義域是（0，1]．故答案為：（0，1]．13.已知集合A＝，則集合A的子集的個數是________．參考答案：814.設等差數列的前項和為，若，則的通項＝

.參考答案：略15.關于平面向量，，，有下列三個命題：①若?=?，則=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，則k=﹣3．③非零向量和滿足｜｜=｜｜=｜﹣｜，則與+的夾角為60°．其中真命題的序號為

．（寫出所有真命題的序號）參考答案：②【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①向量不滿足約分運算，但滿足分配律，由此我們利用向量的運算性質，可判斷平面向量，，的關系；②中，由∥，我們根據兩個向量平行，坐標交叉相乘差為0的原則，可以構造一個關于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若｜｜=｜｜=｜﹣｜，我們利用向量加減法的平行四邊形法則，可以畫出滿足條件圖象，利用圖象易得到兩個向量的夾角；【解答】解：①若?=?，則?（﹣）=0，此時⊥（﹣），而不一定=，①為假．②由兩向量∥的充要條件，知1×6﹣k?（﹣2）=0，解得k=﹣3，②為真．③如圖，在△ABC中，設，，，由｜｜=｜｜=｜﹣｜，可知△ABC為等邊三角形．由平行四邊形法則作出向量+=，此時與+成的角為30°．③為假．綜上，只有②是真命題．答案：②16.設A，B是非空集合，定義A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，

B＝{x|x≥1}，則A*B＝

▲

.參考答案：17.直線過點，斜率為，則直線的方程為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(10分)求在兩坐標軸上截距相等且與點的距離為的直線方程.參考答案：當直線過原點時,設直線的方程為,即

.由題設知,得或.

故所求直線的方程為或.

當直線不經過原點時,設所求直線的方程為,

即.由題意,有,解得或

所求直線的方程為或

綜上所述,所求直線方程為或或

或19.已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求;（2）若，求.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）對等式兩邊同時平方，利用平面向量數量積的定義以及數量積的運算性質，可以求出；（2）根據兩個非零向量互相垂直等價于它們的數量積為零，可以得到方程，解方程可以求出的值.【詳解】解：（1）由得，那么；解得或（舍去）∴；（2）由得，那么因此∴.【點睛】本題考查了求平面向量模的問題，考查了兩個非零平面向量互相垂直的性質，考查了平面向量數量積的定義及運算性質，考查了數學運算性質.20.已知cos（2π﹣α）=﹣，且α為第三象限角，（1）求cos（+α）的值；（2）求f（α）=的值．參考答案：【考點】三角函數的化簡求值．【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系求得sinα的值，再利用誘導公式求得cos（+α）的值．（2）利用誘導公式求得所給式子的值．【解答】解：（1）∵cos（2π﹣α）=cosα=﹣，且α為第三象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴cos（+α）=﹣sinα=．（2）求f（α）=====﹣．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．21.甲、乙二人參加知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題,那么(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙二人中至少有一個抽到選擇題的概率是多少?參考答案：解：(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結果有6個，乙從判斷題中抽到一題的可能結果有4個，又甲、乙依次抽一題的結果共有10×9個，所以甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是：＝

…………5′(2)甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為1-＝.

……………5′或：++＝++