北京首都師范大學附屬延慶中學2022高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是實數，則“且”是“”的

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.下列三個結論：①設為向量，若，則∥恒成立；②命題“若,則x=0”的逆命題為“若x≠0,則”；③“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；其中正確的結論的個數為（

）A．1個 B．2個 C.3個 D．0個參考答案：A試題分析：對于①設為向量，若，從而，即和的夾角是，則∥恒成立，則①對；對于②，命題“若，則”的逆否命題為“若，則”而不是逆命題，則②錯；對于③，命題為真，則，中至少有一個為真，不能推出為真，反之成立，則應為必要不充分條件，則③錯；故選：A．考點：復合命題的真假.3.若實數a、b滿足且，則稱a與b互補，記，那么是a與b互補的

（

）

A．必要而不充分的條件

B．充分而不必要的條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要的條件參考答案：C4.若實數滿足，則函數的零點所在的區間是()A．(－2,－1)

B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)參考答案：B5.設集合，，則的子集的個數是

（

）

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：A6.已知函數的部分圖象如圖所示,則函數的表達式是(

)A.

B.C.

D.參考答案：【知識點】的圖像和性質。C4

【答案解析】A

解析：從圖可知，且，得，故，將點的坐標代入函數，且得所以函數的表達式為.故選A.【思路點撥】先由圖形得到振幅A，然后結合半周期求出周期，故而得到，將點的坐標代入函數，得，所以函數的表達式為。7.設函數f（x）=，則不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（2，+∞） B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）參考答案：B【考點】函數單調性的性質．【分析】先計算f（1）的值，再按分段函數討論求出不等式f（x）＞f（1）的解集．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=1﹣4+6=3；當x≥0時，有x2﹣4x+6＞3，解得x＞3，或x＜1，即0≤x＜1，或x＞3；當x＜0時，x+6＞3，解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜0；綜上，不等式f（x）＞f（1）的解集是：{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}；故選：B．8.已知為虛數單位，若復數，則（

）A．1

B．

C．

D．2參考答案：C

考點：復數的運算與復數的模．9.已知：均為正數，，則使恒成立的的取值范圍是（

） （）

B． C． D．參考答案：A10.在△ABC中，若B、C的對邊邊長分別為，，則等于A．

B．

C．

D．或參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出T的值為

．參考答案：120【考點】程序框圖．【分析】根據已知中的程序框圖可得，該程序的功能是計算并輸出變量T的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：第1次執行循環體后，T=1，不滿足退出循環的條件，故k=3；第2次執行循環體后，T=4，不滿足退出循環的條件，故k=7；第3次執行循環體后，T=11，不滿足退出循環的條件，故k=15；第4次執行循環體后，T=26，不滿足退出循環的條件，故k=31；第5次執行循環體后，T=57，不滿足退出循環的條件，故k=63；第6次執行循環體后，T=120，滿足退出循環的條件，故輸出的T值為：120，故答案為：120【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當程序的運行次數不多或有規律時，可采用模擬運行的辦法解答．12.已知實數，且，那么的最小值為________．參考答案：【知識點】基本不等式．E5【答案解析】﹣1

解析：由于ab=1，則又由a＜0，b＜0，則，故，當且僅當﹣a=﹣b即a=b=﹣1時，取“=”故答案為﹣1．【思路點撥】將整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值．13.已知與的夾角為120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，則在上的投影為

．參考答案：﹣【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】因為向量與的夾角為120°，所以在上的投影為cos120°=﹣，問題轉化為求．【解答】解：∵與的夾角為120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，∴（+）?（﹣2）=0，即﹣﹣22=0，∴4+﹣22=0，解得=，∴在上的投影為cos120°=﹣=﹣×=﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查在上的投影的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．14.已知數列為一個等差數列，，則公差的值為

參考答案：2或－215.已知函數f（x）=，若存在實數a，b，c，d，滿足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，則abcd的取值范圍是

．參考答案：（21，24）【考點】對數函數圖象與性質的綜合應用．【專題】函數的性質及應用．【分析】由題意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．結合函數f（x）的圖象，在區間[3，+∞）時，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4d=6、cd=24．由此求得abcd的范圍．【解答】解：由題意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．結合函數f（x）的圖象，在區間[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案為（21，24）．【點評】本題主要考查對數函數、二次函數的圖象、性質應用，屬于中檔題．16.由直線x=0，x=，y=0與曲線y=2sinx所圍成的圖形的面積等于

．參考答案：3考點：定積分．專題：數形結合；數形結合法；導數的綜合應用．分析：由題意可得S=，計算可得．解：由題意和定積分的意義可得所求面積S==﹣2cosx=﹣2（cos﹣cos0）=﹣2（﹣﹣1）=3故答案為：3【點評】本題考查定積分的求解，屬基礎題．17.如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，則BD的長為．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用誘導公式化簡sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的長．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根據余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3，則BD=．故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）求不等式的解集；（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：(1);(2).19.已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；（Ⅲ）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.參考答案：解：（I）設圓心的坐標為，半徑為由于動圓與圓相切，且與圓相內切，所以動圓與圓只能內切………2分圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，故圓心的軌跡：…………4分（II）設，直線，則直線由可得：，……………6分由可得：………………8分和的比值為一個常數，這個常數為……9分（III），的面積的面積，到直線的距離…………11分令，則（當且僅當，即，亦即時取等號）當時，取最大值……………………13分

略20.

如圖，在直二面角E-AB-C中，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，AB=AF=4,AD=2,點P、Q、G分別是AC、BC、AF的中點；(Ⅰ)求FB與PG所成角的正切值：(Ⅱ)求二面角G-PQ-A，的平面角的正切值。參考答案：解：(I)取AB的中點為M，又G為AF的中點，則所以是FB與PG所成角……………3分由知又二面角E-AB-C是直二面角即中平面平面ABEF，交線是AB，所以平面ABEF，所以于是是直角三角形，

…7分(Ⅱ)延長QP交AD于K，由平面平面知平面ABCD，又而所以是二面角G-PQ-A的平面角…….10分則中，……………….13分

略21.已知橢圓上有n個不同的點P1、P2、……、Pn,其中點,橢圓的右焦點為F,記,數列{an}構成以d為公差的等差數列,.(1)若,求點P3的坐標；(2)若公差d為常數且,求n的最大值；(3)對于給定的正整數,當公差d變化時,求Sn的最大值.參考答案：解析：對于橢圓,有,所以,右準線設,于是由定義知,即…2分(1)∵,所以由,∴故

……4分(2)由橢圓范圍可知,∴

∵是等差數列,且∴,∴,即的最大值為200……9分(3)由(2)知,,∴,∴

由,∵,∴是關于的增函數

∴的最大值為……14分22.（本小題滿分12分）國家環境標準制定的空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表：空氣質量指數0-5051-100101-150151-200201-300