1 9年高考數學復習寶典目錄目錄一、1 9年高考數學全部知識點整理+經典例題詳細解析高中數學必修一、高中數學必修二、高中數學必修三、高中數學必修四、高中數學必修五、高中數學選修高中數學選修二、【內部資料】2 -1 9高考數學模擬壓軸大題總結+詳細解析《《1 9年高考數學總復習系列》——高中數學必修一第一章、集合一、基礎知識（理解去記）定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A屬于，否則稱不屬于。例如，通常用，Q，B，Q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內并用逗號隔開表示集合的方法，如{；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。例如{有理數}，分別表示有理數集和正實數集。定義2子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集記為例如A是B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。便于理解： 包含兩個意思：①A與B相等、②A是B的真子集定義3交集，定義4并集，定義5補集，若 稱為A在I中的補集。定義6集合 記作開區間 ，集合記作閉區間 ，R記作定義7空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。補充知識點 對集合中元素三大性質的理解集合中的元素，必須是確定的．對于集合和元素，要么，要么，二者必居其一．比所有大于0的數”較大的整數”就不能構成一個集合，因為它的對象是不確定的．再如，“較大的樹”、“較高的人”等都不能構成集合．對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何兩個相同的對象在同一集合中時，只能算作這個集合中的一個元素．如：由，組成一個集合則的取值不能是或集合中的元素的次序無先后之分．如：由 組成一個集合，也可以寫成 組成一個集合，它們都表示同一個集合．幫你總結：學習集合表示方法時應注意的問題的區別． 的一個元素，而是含有一個元素 的集合，二者的關系是．的區別． 是含有元素的集合．（在用列舉法表示集合時一定不能犯實數集或來表示實數集 大括號”已包含了“所有”的意思．用特征性質描述法表示集合時，要特別注意這個集合中的元素是什么，它應具備哪些特征性質，從而準確地理解集合的意義．例如：集合中的元素是 的解集，或者理解為曲線上的點組成的點集；集合中自變量的取值范圍；集合中的元素是中函數值的取值范圍；集合中的元素只有一個（方程），它是用列舉法表示的單元素集合．（4）常見題型方法：當集合中有n個元素時，有個子集，有個真子集，有個非空真子集。二、基礎例題（必會）例1，，求 ．正解：，，，，．解析：這道題要注意研究的元素（看豎線前的元素），均是y，所以要求出兩個集合中y的范圍再求交集，A中的y范圍是求表達式的值域、因此此題是表示兩個函數值域的集合．例2，，且，試求實數．正解：∵A∩B=，解得 或 ．當1 時，與元素的互異性矛盾，故舍去；當時，，此時，這與矛盾，故又舍去；當時，，，此時滿足題意，故為所求．解析：此題緊緊抓住集合的三大性質：①確定性②互異性③無序性三、趨近高考（必懂）0 年江蘇高考設集合=-,,}={2,4,A∩={}則實數_ __方法：將集合B兩個表達式都等于.0 .湖北卷.設集合A= = ,則A∩B的子集的個數（ ）A.4 B.3 C.2 1方法：注意研究元素，是點的形式存在，A是橢圓，B是指數函數，有數形結合方法，交于兩個點，說明集合中有兩個元素，還要注意，題目求子集個數，所以是【答案】A集合穿針轉化引線（最新）一、集合與常用邏輯用語，則是的（ ）．（A）充分條件 （B）必要條件解析：∵ 或 ，∴．∵，即或，∴．由集合關系知：，而．∴是的充分條件，但不是必要條件．故選（Ａ）．若 ，則“ ”是“表示雙曲線”的（ ）．（A）充分條件 （B）必要條件解析：方程表示雙曲線或．故選（A）．二、集合與函數已知集合 ，那么 等于（ ）．（D）解析：由代表元素可知兩集合均為數集，又P中的y的取值范圍，故P集合的實質是函數Q的定義域從而易知，選（D）．或（Ｃ）．三、集合與方程，且 ，求實數p的取值范圍．解析：集合A的解集，則由，可得兩種情況：①，則由，得 ；②方程無正實根，因為，則有 ．綜上，實數p．四、集合與不等式，若，求實數m的取值范圍．解析：由不等式恒成立，可得 ， （※），即 時，（※，顯然不符合題意．（）當時，欲使（※）式對任意x均成立，必需滿足即解得 ．集合B的解集，可求得 ，結合數軸，只要即可，解得 ．五、集合與解析幾何例6和，如果，求實數m的取值范圍．解析：從代表元素看，這兩個集合均為點集，又及是兩個曲線方程，故的實質為兩個曲線有交點的問題，我們將其譯成數學語言即為：“拋物線與線段有公共點，求實數m的取值范圍．”由 ，得， ①∵，∴首先，由，得或．當3及知，方程①只有負根，不符合要求；當時，由及知，方程①有兩個互為倒數的正根，故必有一第二章、函數根在區間內，從而方程①至少有一個根在區間［0，2］內．綜上，所求．第二章、函數一、基礎知識（理解去記）定義1映射，對于任意兩個集合A，B，依對應法則fA中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應，則稱f:A→B為一個映射。定義2函數，映射f:A→B中，若A，B都是非空數集，則這個映射為函數。A稱為它的定義域，若x∈A,B，且f(x)=x對應B中的y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函-1的定義域為{x|x≥x∈定義3反函數，若函數f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射fA→B叫原函數的反(函數，通常寫作=f-()這里求反函數的過程是在解析式=f(x)中反解x得x=f-()，然后將x,y互(換得=f-(x)最后指出反函數的定義域即原函數的值域例如函數= 的反函數是1-

x補充知識點：定理1互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱。定理2在定義域上為增（減）函數的函數，其反函數必為增（減）函數。定義4函數的性質。f(x)在區間I上滿足對任意的x1,x2∈I并且x1<x2，總有f(x1)<f(x2)(f(x?)>f(x2))，則稱f(x)在區間I上是增（減）函數，區間I稱為單調增（減）區間。y=f(x)的定義域為D，且D是關于原點對稱的數集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數；若對任意的x∈f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數。奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。x(x+T)=f(x)f(x)為周期函數，T稱為這個函數的周期，如果周期中存在最小的正數T0，則這個正數叫做函數f(x)的最小正周期。定義5如果實數x|x<x∈叫做開區間，記作（a,x|x≤x∈記作閉區間[x|x≤x|x<記作半閉半開區間[b)，集合{x|x>記作開區間（a,+∞），集合{x|x≤記作半開半閉區間（-∞,定義6函數的圖象點集(x,)|=f(,)x∈}稱為函數=f(x)的圖象其中D為f(x)的定義域通過畫圖不難得出函數=f(x)的圖象與其他函數圖象之間的關系(,0)；a個單位得到y=f(x-a)的圖象；a個單位得到y=f(x+a)的圖象；b個單位得到y=b的圖象；y=x)的圖象關于y軸對稱；y=-f-(x)的圖象關于原點成中心對稱；同增異減y=f-1(x)的圖象關于直線y=xy=-f(x)的圖象關于x軸對稱。同增異減定理3復合函數=f[()

的單調性，記住四個字：“

”例如= ,2-x-,上是減函數，y= 在（0，+∞）上是減函數，所以y= 在（-∞,注：復合函數單調性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導之后是顯然的。一、基礎知識（初中知識必會）0+c或f(x)=+c稱為關于x，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中，下同。二次函數的性質當0時f(x)的圖象開口向上在區-x]上隨自變量x增大函數值減（簡稱遞減），在[x,）上隨自變量增大函數值增大（簡稱遞增）。當0時，情況相反。．當0時，方程f(x)0即x+x+0…①和不等式x+x+0…②及x+x+0…③與函數f(x)的關系如下（記△=-c）。）當△0時，方程①有兩個不等實根，設x,x(x<x)，不等式②和不等式③的解集分別是{x|x<x1或x>x}和{x|x<x<x}二次函數f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點f(x)還可寫成f(x)=(x-x)x-x)當△0時方程①有兩個相等的實根x=x=x=,不等式②和不等式③的解集分別是{x|x}和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R.f(x)圖象與x軸無公共點。當時，請讀者自己分析。x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區間[上的二次函數f(x)=[時，f(x)在[上的最小值為f(x0);當(x)在[上的最小值為n(x)在[上的最小值為f(n)（以上結論由二次函數圖象即可得出）。定義1能判斷真假的語句叫命題，如“5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題由復合命題。一定注意：“p或復合命題只有當同為假命題時為假，否則為真命題；“p且復合命題只有當同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非即“恰好一真一假。定義2原命題：若p則為條件，q為結論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則若非q則非一定注意：原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。一定注意：反證法的理論依據是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3如果命題“若p則為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則中，如果已知p則p是q的充分條件；如果qpp是q的必要條件；如果pq但q不p是q的充分pq但pqp稱為qpq且qpp是q的充要條件。二、基礎例題（必懂）例（9.江西） 求方程|x|

的正根的個數. y1【解】分別畫出|x-|和= 的圖象由圖象可知兩者有 唯一交點，所以方程有一個正根。 1 x例2（0 .廣西模擬）求函數f(x)=的最大值。【解】 f(x)= ，記點P(x,x則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。因為|A|-|A|≤|B| 立。所以f(x)x=函數性質的應用。

,當且僅當P為延長線與拋物線y=x2的交點時等號成例3（0、全國）設x,∈，且滿足 ，求x+.【解】 設f(t)=t+7 t，先證f(t)在（-，+）上遞增。事實上，若<，則f()-f()=-+7 (-)=(-)(+a++7 )>所以f(t)遞增。由題設f(x-)=-=f(-)，所以x-1-，所以x+=.例4奇函數f(x)在定義域（-1，1）內是減函數，又f(1-a)+f(1-a2)<a的取值范圍。【解】 因為f(x)是奇函數，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設f(1-a)<f(a2-1)。又-a<，解得。例5設2Z,用Ik，已知當x∈I0時，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】 設x∈I，則-<x≤1，所以f(x-)=(x-).又因為f(x)是以2為周期的函數，所以當x∈Ik時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6全國）)+(x-)(+1)=【解】 令3x-,=x-，方程化為( 1)+( 1)0. ①若0，則由①得0，但,n不同時為，所以m0,.ⅰ)若0，則由①得0，設f(t)=t( 1,)則f(t)在（，+）上是增函數。又f()=()，所以=-，所以x-2x-0，所以x=ⅱ)若，且。同理有,x= ,但與矛盾。綜上，方程有唯一實數解x=配方法。例7（經典例題）求函數y=x+ 的值域。1【解】 =x+ = [x2 ]11= ( - .當x=- 時，y取最小值- +2)例+2)

，+∞）。1,)x∈[,]的值域。【解令 + u因為x∈[,]所以≤2 ≤,所以 ≤≤,所以 ≤≤≤≤

，所以= ,∈[ 2，]。所以該函數值域為[+ ，]。例9求函數y=的值域。【解】由函數解析式得(-)x3(1)x4-0.①當1時，①式是關于x的方程有實根。(y-1)2≥≤又當時，存在使解析式成立，所以函數值域為[。例00年寧夏若函數=f(x)定義域值域均為且存在反函數若f(x)在(-,+)上遞增求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數。【證明】設x<x,且=f-(x,)

=f-(x)，則x=f(,)

x2=f(y2)，若f(x)在-(+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設矛盾，所以即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。例1 （經典例題）設函數f(x)= ，解方程：f(x)=f-()【解】首先f(x)定義域為（-∞，- [- x1,x2是定義域內變量，且x1<x2<- ;=所以f(=所以f(x)在（-∞，- ）上遞增，同理f(，+∞）上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y≥f-1(x)=y得f(y)=x≥所以x,y∈∞）.y若xy

，設x<y，則f(x)=y<f(y)=x，矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化簡得x2x-x-0,即(x-)x5x5x5x1)0,因為x≥，所以.例1經典例題）設方程x-x0 的兩根是αβ求滿足f(α)=β,f(β)=α,f()1的二次函數f()【解】 設f(x)=x+x+(,)則由已知f(α)=β,f(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）+1]0，因為方程x-x+0 中△，所以α β，所以(α+β)+0 .又α+β1,所以+0 .又因為f()=++1，所以-1，所以2.又(-1)，所以f(x)=x-1)x2.再由f(α)=β得α-1)α= β,所以α-α= α+β1，所以α-α0 .即(α-α1)1-0,即-0，所以1,所以f(x)=.例2（0.全國）已知f(x)=x-c滿足-≤f()≤-,【解】 因為-4≤f(1)=所以-f(1)=f(2)≤f(3)的取值范圍。又-≤f()4-≤,f()= f() f(,)所以 ()+ ≤f()≤ ×+ ×,f(3)≤.例3（經典例題）已知二次函數f(x)=x+x+(,,∈,)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無實根。f(x)=xg(x)=x圖象與x對任意的x∈f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x))>f(x)。所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x無實根。注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。0．利用二次函數表達式解題。例4（經典例題）設二次函數f(x)=x+x+(>)，方程f(x)=x的兩根x,x2滿足<x<x<,（Ⅰ）當x∈(,x)時，求證：x<f(x)<x；（Ⅱ）設函數f(x)的圖象關于x=x0對稱，求證：x0<【證明】因為x1,x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（Ⅰ）當x∈(,x)時，x-x0,x-x0,0，所以f(x)>x.其次f()x=(x-x)

(x-x)1]=(x-x)

x-x+ ]0，所以f(x)<x.綜上，x<f(x)<x1.（Ⅱ）f(x)=(x-x)x-x)+x=x+[-(x+x)

x+xx,所以x0= ,所以 ，所以1．構造二次函數解題。例5（經典例題）已知關于x的方程(x1)=(-x,)【證明】 方程化為x2x1-0.構造f(x)2x2x1-,f()=(+)>,f(-)=(-)>,f()=-<,即△>，所以f(x)在區間（-1,即方程的正根比1小，負根比-1大。2．定義在區間上的二次函數的最值。

1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大。例6（經典例題）當x取何值時，函數y= 取最小值？求出這個最小值。【解】1- ,令 ,則u≤。u-5 ,且當 即x=3時，i= .例7設變量x滿足x+x≤-x(<-)，并且x+x的最小值是，求b的值。【解】 由x+x≤-x(<-)，得≤x≤-(+).ⅰ

≤(-1)，即≤-2時，x+x的最小值為- ，所以2，所以 （舍去）。ⅱ)- >-(+)，即>-2時，x+x在[，-(+)]上是減函數，所以x+x的最小值為+,+=-,=-.綜上，=-.3.一元二次不等式問題的解法。例8（經典例題）已知不等式組 ①②的整數解恰好有兩個，求a的取值范圍。【解】 因為方程的兩根為-a,若①的解集為-a，由②得因為所以不等式組無解。若>，ⅰ）當<< 時，x<x,①的解集為<x<-.因為<<x1-1，所以不等式組無整數解。ⅱ）當= 時，1-，①無解。ⅲ）當-a，由②得所以不等式組的解集為x<又不等式組的整數解恰有2個，所以(--)1且(--)≤，所以<≤，并且當<≤2時，不等式組恰有兩個整數解，。綜上，a的取值范圍是<≤.4．充分性與必要性。例9（經典例題）設定數A，B，C使得不等式y-x)+C(z-x()z-y)≥0 ①對一切實數x,y,z應滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）【解】 充要條件為A，B，≥0且A+B+≤(B+C+A)先證必要性，①可改寫為A(x--B-A-)-)x-)+(-)≥0 ②若A0則由②對一切x,,∈R成立則只有B=再由①知B=0若A則因為②恒成立所以A>，△=(B-A-)(-)-C(-)≤0恒成立，所以(B-A-)-C≤，即A+B+≤(B+C+A)同理有B≥再證充分性，若A≥，B≥，≥0且A+B+≤(B+C+A)，）若A0，則由B+≤C得(B-)≤，所以B=，所以△0，所以②成立，①成立。，則由③知△≤綜上，充分性得證。5．常用結論。定理1若,∈,||-||≤|+|≤|| |.——絕對值不等式【證明】 因為-||≤≤|-,||≤≤||，所(-|| |)≤+≤|| |,所以|+|≤|| |（注：若0，則-≤x≤m等價于|x|≤）.又|| +-|≤|+| -|,即|-|≤|.綜上定理1得證。定理2若則；若x,R+,則x+y≥(證略)注 定理2可以推廣到n個正數的情況，在不等式證明一章中詳細論證。第三章、基本初等函數第三章、基本初等函數一、基礎知識（必會）,當1時，y=是減函數，當1時，y=。對數函數及其性質形如l x(>,a )的函數叫做對數函數其定義域+值域為，圖象過定點（，）。當<1，l．對數的性質（0,>）；

x為減函數，當1時，l為增函數。）x=M xll

??()l

?al

?al

?（ ）l

?al

?a；l

?a=l

?aM（萬能恒等式）l

?a =

l

?a；）l

?aM;l

?a= (,,0,,).函數=x+ （0）的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間為 和 。（請同學自己用定義證明）f(x)在[f(a)·，則根。二、基礎例題（必懂）例1已知,,∈(,)，求證：b+cc0 .【證明】設f(x)=(+)x+c1(x∈(,)，則f(x)是關于x的一次函數。所以要證原不等式成立，只需證()0且f()0（因為-<1）.因為f(-)=-(+)+c+=(-)(-)>，f()=++c+=(+)+)0，所以f()>，即b+cc+0.例2（柯西不等式）若…,是不全為0…,（ ）≥( )2，等號當且僅當存在 R，使,i=…,n時成立。)【證明】 令f(x)=（ )因為 0，且對任意x∈,f(x)≥，

x+ = ,所以△4( ) （ ）( )≤.展開得（ ）( )≥( )等號成立等價于f(x)0有實根，即存在 ，使?=,1,,…,。* 做題。例（0.全國卷） 設x,∈+,x+=,c為常數且∈(,]，求=的最小值。【解】= =y+ ≥y+ 2·=y+ 2.令y=t，則<t=y≤ ,設f(t)=t+,<t≤因為≤f(t)在 上單調遞減。所以f(t)i=f()=+，所以≥ + 2.當x== 時，等號成立.所以u的最小值為 + 2.2．指數和對數的運算技巧。例4（經典例題）設,∈+且滿l

l

2l

6(+)，求 的值。所以9t所以9t2 6 t，即+t記x=，則+x=x，解得又 0所以 =

l

2l

6(+)=t，則9t,2 t,+6t，例5（經典例題）對于正整數,,(≤≤)和實數x,,,，若x==0，且 ，【證明】 由x==0w取常用對數l

y

z

=l

0.所以l

=l0,

l

=l0,

l

=l0，相加得 (l

l

l)=

l0，由題設 ，所l

l

l

l0，所l

l0.所以c2 ××.若=，則因l

=l

0，所以0與題設矛盾，所以1.又≤≤，且,,c為0的正約數，所以只有2,5,7.所以例6（經典例題）已知x,c,,.l

xl

xl

x，求證=(cl .【證明】 由題l

xl

xl

bx，化為以a為底的對數，得因為c0,c ，所l

，l

c，所以=(cl .注：指數與對數式互化，取對數，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3．指數與對數方程的解法。知數范圍的討論。例7（經典例題）解方程：3x+4x+5x=6x.【解】 方程可化為 =f(x)= ,則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數，因為f(3)=x=例8（經典例題）解方程組： （其中x,y∈R+）.【解】 兩邊取對數，則原方程組可化為 ①②把①代入②得(x+)l

=l

，所以[(x+)-l

=l

=0得x=，由(x+)-0(x,∈+)得x+=，代入①l

=l

，即x=，所以+-0.又y>y=x=所以方程組的解為 .222例9已知0,a ，試求使方l

(x-k)l

a(x-a)有解的k的取值范圍。【解】由對數性質知，原方程的解x應滿足 .①②③若①、②同時成立，則③必成立，故只需解 .由①可得k

=(+)， ④當0時，④無解；當0時，④的解是x= ，代入②得 >.若0，則1，所以<-；若0，則1，所以<1.綜上，當(-∞,∪1)時，原方程有解。年高考數學總復習系列》——高中數學必修二立體幾何初步一、基礎知識（理解去記）（一）空間幾何體的結構特征由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。旋轉體——把一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。（2）柱，錐，臺，球的結構特征棱柱1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。2相關棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 關系：① ②四棱柱 底面為平行四邊形 平行六面體 側棱垂直于底 面 直平行六面體底面為矩形 長方體 底面為正方形 正四棱柱 側棱與底面邊長相等 正方體3棱柱的性質：①側棱都相等，側面是平行四邊形；②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；④直棱柱的側棱長與高相等，側面與對角面是矩形。補充知識點 長方體的性質：①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的平 方和；【如圖】②（了解）長方體的一條對角線與過頂點A的三條棱 所成的角分別是，那么，；③（了解）長方體的一條對角線與過頂點A的相鄰三個面所成的角分別是，則，.4側面展開圖：正n棱柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側棱長為鄰邊的矩形.5（其中c為底面周長，h為棱柱的高）注意:大多數省市在高考試卷會給出面積體積公式，因此考生可以不用刻意地去記圓柱1圓柱——余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2軸的截面（軸截面）是全等的矩形.3母線長為鄰邊的矩形.4面積、體積公式：S圓柱側=；S圓柱全=，V圓柱=S底=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）棱錐.1棱錐——有一個面是多邊形其余各 面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成 的幾何體叫做棱錐。是正多邊心，這樣正棱錐——是正多邊心，這樣①平行于底面的截面是與底面相似的正相似比等于頂點到截面的距離與頂點到多邊形，底面的距2①平行于底面的截面是與底面相似的正相似比等于頂點到截面的距離與頂點到多邊形，底面的距離之比；②正棱錐各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；③正棱錐中六個元素，即側棱、高、斜高、側棱在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。）（如上圖： 為直角三角形）成四個直角三角形。）（如上圖： 為直角三角形）3側面展開圖：正n棱錐的側面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。4面積、體積公式：S正棱錐側= ，S正棱錐全= ，V棱錐= .（其中c為底面周長，側面斜高，h棱錐的高）圓錐1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。2圓錐的性質：頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；②②軸截面是等腰三角形；如右圖：③如右圖：.3以母線長為半徑的扇形。4面積、體積公式：S圓錐側= 圓錐全= 圓錐=中r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）棱臺1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱 截面與底面之間的部分稱為棱臺.2正棱臺的性質：①各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是 正多邊形；③都是直角梯 形④棱臺經常補成棱錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.3側 ，，（其中 是上，下 底面面積，h為棱臺的高）圓臺1圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐， 底面與截面之間的部分叫做圓臺.2圓臺的性質：①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；②圓臺的軸截面是等腰梯形；③圓臺經常補成圓錐來研究。如右圖：，注意相似比的應用.3圓臺的側面展開圖是一個扇環；4，V，（其中r，R為上下底面半徑，h為高）球1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.或空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；2球的性質：①球心與截面圓心的連線垂直于截面；②（其中，球心到截面的距離為球的半徑為R、截面的半徑為r）3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長 方體，球與正方體等的內接與外切.注：球的有關問題轉化為圓的問題解決.4球面積、體積公式： （其中R為球的半徑）（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖根據最近幾年高考形式上看，三視圖的考察已經淡化，所以同學只需了解即可投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。三視圖——是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡記為“正、側一樣高，正、俯一樣長，俯、側一樣寬”.（2）正視圖，側視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。直觀圖：1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。2斜二測法：tt

：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，（即取 ）；：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；s ：在坐標系 中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或結論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的 倍.在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y結論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的 倍.解決兩種常見的題型時應注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”.（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。二 點、直線、平面之間的位置關系平面的基本性質平面——無限延展，無邊界1三個定理與三個推論公理1：如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么直線在平面內。用途：常用于證明直線在平面內.圖形語言： 符號語言：公理2：不共線的三點確定一個平面. 圖形語言：推論1：直線與直線外的一點確定一個平面. 圖形語言：推論2：兩條相交直線確定一個平面. 圖形語言：推論3：兩條平行直線確定一個平面. 圖形語言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.用途：常用于證明線在面內，證明點在線上.圖形語言： 符號語言：形語言，文字語言，符號語言的轉化：（二）空間圖形的位置關系等角定理：異面直線：平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：等角定理：異面直線：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線——異面直線；異面直線所成的角：圖形語言：符號語言：異面直線所成的角：常把一條異上，形成異（）范圍：；（2）作異面直線所成的角：平移法.O則所 角為常把一條異上，形成異異面直線面直線所成的角.直線與平面的位置關系：圖形語言：平面與平面的位置關系：（三）平行關系（包括線面平行，面面平行）線面平行：②判定定理③性質定理②判定定理③性質定理：（線線平行 線面平行）【如圖】：（線面平行 線線平行）【如圖】④判定或證明線面平行的依據定義反證用于判斷ii判定定理：“面面平行 線面平“線線平行 面面平行”（用于證明）ii）“面面平行 線面平行行”（用于判斷）；線面斜交：①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則 平面的于是在平面 就是直線與平面 所成的角。范圍與平面 所成的角為 與平面所成的角。面面平行：①定義：；②判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；符號表述：【如下圖①】圖① 圖②推論：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行符號表述： 【如上圖②】判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：.【如右圖】理及推論（常2④面面平行的性質） 面面平行線 面平行）；（面面平行線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。【如圖】（四）垂直關系（包括線面垂直，面面垂直）線面垂直①定義：若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號表述：若任意都有，且，則.②判定定理：（線線垂直 線面垂直）③性質：（）（線面垂直 ；（較（面面垂直 線面垂直）常用；⑤三垂線定理及逆定理：（I）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線 段 中 ，（）斜線相等射影相等；（）斜線越長射影 越長；（3）垂線段最短。【如圖】； II三垂線定理及逆定理已知斜線A在平面 內的射影為A，，①若 ，則 ——垂直斜線，此為三垂線定理；②若則——線定理的逆定理；三垂線定理及逆定理的主要應用證明異面直線垂直（） 作證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段；【如圖】2面面斜交①二面角：（1）定義：【如圖】范圍：法.3面面垂直（）定義：若二面角的平面角為，則；個平面互相垂直.（線面垂直面面垂直）（3）性質：①若，二面角的一個平面角為，則；②（面面垂直線面垂直）；③.④二、基礎題型（必懂）（1）此題型一般出現在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。（2）對于判斷線線關系，線面關系，面面關系等方面的問題，必須在熟練掌握有關的定理和性質的前提必須找出反例。（3）相關例題：課本和輔導書上出現很多這樣的題型，舉例說明如下：例：（09年北京卷）設是三個不同的平面，給出下列四個說法：①；②；③④ ，說法正確的序號是： _2、證明題。證明平行關系，垂直關系等方面的問題。平行與垂直關系可互相平行與垂直關系可互相平行關系垂直關系平面幾何知識平面幾何知識線線平行線線垂直線面平行面面平行線面垂直面面垂直判定性質性質判定推論判定性質面面垂直定義判定判定三、趨近高考（必懂）.0全國卷2理已知正四棱錐中那么當該棱錐的體積最大時它的高為（A）1 【答案】C【解析】設底面邊長為所以體積，設y取最值時， 或此時，故選.（0陜西文若某空間幾何體的三視圖如圖所示則該幾何體的 體積是[B]（A）2 （B）1（）（）【答案】B【解析】如圖，該立體圖形為直三棱柱，所以其體積為是球表上點，，，，，則球的表面積等于（A）（B）（）（D）【答案】A【解析】選A.的直徑為， 表面積是（A）2 （B）0（）2 （）0【答案】B下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。.【方法技巧】把三視圖轉化為直觀圖是解決問題的關鍵.【方法技巧】把三視圖轉化為直觀圖是解決問題的關鍵.又三視各個棱的長度.把幾何體的表面積轉化為下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。重慶文）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（A）只有1個 （B）恰有3個（C）恰有4個 （D）有無窮多個【答案】D【解析】放在正方體中研究,、的中點到兩垂直異面直線的距離都相等，所以排除A、B、C，選D亦可在四條側棱上找到四個點到兩垂直異面直線的距離相等.（0 浙江文）若某幾何體的三視圖（單位c何體的體積是（A） c3（B）（）【答案】B

）如圖所示，則此幾【解析】選B，本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題福建文）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側面積等于( )A．B．2．D．6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為1 的正三棱柱，所以底面積為，側面積為 ，選全國卷12的球面上有,則四面體的體積的最大值為(A)(B)((D)【答案】B【解析】過作平面，使⊥平面,交與P,設點P到的距離為,則有平面解析幾何初步一、基礎知識（理解去記）

,當直徑通過與的中點時, ,故1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實質是用代數的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關系，即如果一條曲線上的點構成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如是以原點為圓心的單位圓的方程。列出方程；(4)化簡方程并確定未知數的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應點都在曲線上，且曲線上對應點都滿足方程（實際應用常省略這一步）。x軸正方向所成的小于的正角，叫做它的傾斜角。規定平行于x軸的直線的傾斜角為及斜率可求直線方程。4．直線方程的幾種形式：【必會】【必考】（）一般式：A0 ；（）點斜式：-k(x-x)；（）斜截式：b ；（）截距式：；（）兩點式：；（）法線式方程：sθy θ=（其中θ為法線傾斜角，||為原點到直線的距離）；（）參數式： （其中θ為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點0（0,y）到動點P（x,）的有向線段的數量（線段的長度前添加正負號，若P 方向向上則取正，否則取負）。

的斜率分別為k,kl

重合所轉過的最

的角l

所成的角中不超過0 的正角叫兩者的夾角。若記到角為θ，夾角為α，則t

θ= ,t

α= .

的斜率分別為k,k且兩者不重合ll

的充要條件是k

ll的充要條件是k．兩點．兩點1(1,y)與2(2,y)間的距離公式|．點(0,y)到直線l:0的距離公式：

：0 l

。：0 ，則l

交點的直線方程為+ λ(0 ；l

組成的二次曲線方程為（1 ）（2 ）0；l平行的直線方程為0 (0．二元一次不等式表示的平面區域，若直線l方程為0 .若0，則0 表示的區域為l上方的部分，0 表示的區域為l下方的部分。1．解決簡單的線性規劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標函數；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優解。2．圓的標準方程：圓心是點(,)，半徑為r的圓的標準方程為(x-)+(-)r ，其參數方程為（θ為參數）。3圓的一般方程0 (2 -0 )其圓心為 3圓的一般方程若點(0,y)為圓上一點，則過點P的切線方程為①14．根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：i ,1,,. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F0。不難證明這三條直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、基礎例題（必會）例1（經典例題）在ΔAC中，AC ，∠A0 ，過A引中線BD的垂線與BC交于點E，求證：∠A=∠E。[證明] 見圖-以A為原點AC所在直線為x軸建立直角坐標系設點BC坐標分別（,,(,)，則點D坐標為（,）。直線D方程為 ， ①直線C方程為a ， ②設直線D和E的斜率分別為k,k則k

-因為DE 所以k

-.所以 所以直線E方程為 ，由 解得點E坐標為 。所以直線E斜率為因為0 .所以∠+ ∠0 ，即∠= ∠C。例2（經典例題）半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為。[證明] 以A為原點，平行于正三角形C 的邊C的直線為x軸，建立直角坐標系見圖0-，設⊙D.的半徑等于C邊上的高并且在B能上能下滾動到某位置時與BC的交點分別為EF設半徑為r，.則直線的方程分別為 ,

設⊙D的方程為(x-)r

.①設點E，F的坐標分別為(1,(,)2,y)則 ，分別代入①并消去y得所以1,2是方程2-2 0 的兩根。由韋達定理，所以|| (x-x)+(-)=(x-x)3(x-x)2=(x2 )-2 -(-r)r.所以|r 。所以∠E0 。例3設雙曲線1 的兩支為正ΔR三頂點在此雙曲線上求證R不可能在雙曲線的同一支上。[證明] 假設P，Q，R在同一支上，不妨設在右側一支上，并設P，Q，R三點的坐標分別為且3 .記∠=θ，它是直線R到Q的角，由假設知直線，由到角公式所以θ為鈍角，與Δ為等邊三角形矛盾。所以命題成立。3．代數形式的幾何意義。例4的最大值。[解] 表示動點P(x,x2)到兩定點A(3,B(,)的距離之差見圖0-當B延長線與拋物線2 的交點C與點P重合時f(x)取最大|例5

:x0 l

:y -(1)0l:

1)x0 圍成ΔC求m為何值時，ΔC 的面積有最大值、最小值。[解]

的方程分別為①，②，③。在①，③中取=-,0，知等式成立，所以(,)l與l的交點在②③中取0,1 等式也成立所以B(,1)l

斜率分別為k,k,若0，則k?

k

,SΔ= ，由點到直線距離公|| 。所以Δ= 因為m≤1所以ΔC≤ 又因為-2-≤m，所以，所以ΔC≥當1時，（ΔC）= ；當=-1時，（ΔC）i .例6設x,y滿足不等式組（1）求點(x,y)所在的平面區域；f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。[解]或解得點(x,)所在的平面區域如圖-4所示其中各直線方程如圖所示ABx-=-1A：x1 ；B：x4 .()f(x,)是直線l:-k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因為>-，所以它過頂點C時，f(x,)最大C點坐標-于是f(x,)的最大值為7.如果-a≤則l通過點-時f(x,)最小，此時值為-a-；如果2，則l通過B（，）時，f(x,)取最小值為-1.例7如圖0-5所示過原點引直線交圓+(-)1于Q點在該直線上取P點使P到直線2的距離等|，求P點的軌跡方程。[解]設直線（t參數）。代入已知圓的方程得t

-t?s

α=所以t0s所|

-s

α。所|α|，|

α|，t .α|.

-s

α|

α|.化簡得2 或t

-2

α=-1.當t=±2時，軌跡方程為x4 ；當i

α=1時，軌跡方程為x0.例8點ABC依次在直線l上且C 過C作l的垂線M是這條垂線上的動點以A為圓心，B為半徑作圓，1與2是這個圓的切線，確定Δ2 垂心的軌跡。[解] 見圖0-，以A為原點，直線B為x軸建立坐標系，H為M與圓的交點，N為2 與M的交點，記1 。以A為圓心的圓方程為6，連結。因為，H2 ，所以1，同理2 ，又2，所以2是菱形。所以H。又因為M 2 ，11 ，所以 N?M。設點H坐標為（x,）。點M坐標為(,)，則點N坐標為，將坐標代入 N?M，再由得在B上取點，使= ，所求軌跡是以K為圓心，K為半徑的圓。例9已知圓x1 和直線m 相交于A，B，且A，B與x軸正方向所成的角是α和β，見圖-，求證i(α+β)是定值。[證明] 過D作OD于OD的傾斜角為 OD,所以。所以例0 已知⊙O是單位圓，正方形D 的一邊B是⊙O的弦，試確| 的最大值、最小值。[解]以單位圓的圓心為原點AB的中垂線為x軸建立直角坐標系設點AB的坐標分別為A(sα,iα),B(sα,i

α)，由題設|s

α，這里不妨設A在x軸上方，則α∈π).由對稱性可設點D在點A的右側（否則將整個圖形關于y軸作對稱即可），從而點D坐標為(sαs所| =因為，所以當時|= 1 ；當時|i

α,s

α)，例1 當m變化且0的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。[證明] 由消去m得-0 .故這些圓的圓心在直線x-0 上。設公切線方程為b ，則由相切有

|

，對一切m≠ 0成立。即(k-)2(k-)b-)+(b-)0 對一切≠0成立所以 即 當k不存在時直線為1。所以公切線方程y三、趨近高考【必懂】

和1..（0 江西理）.直線 與圓 相交于,N兩點，若 ，則k的取值范圍是A.B.【答案】A【解析】考查直線與圓的位置關系、點到直線距離公式，重點考察 數形結合的運用.解法y軸相切.， 由點到直線距離公式，解得；解法2：數形結合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可，不取 ，排除B，考慮區間不對稱，排除C，利用斜率估值，選A.（0 安徽文）（）過點（，）且與直線x-y-0 平行的直線方程是（A）x--0 (B)x-0 ()y-0 （）xy-0【答案】A【解析】設直線方程為 ，又經過 ，所求方程為 .【方法技巧】因為所求直線與與直【方法技巧】因為所求直線與與直線x-y-0 平行，所以設平行直線系方程為，代入此直且與直線x-y-0 平行.（ ）有兩個不同的公共點，則的取值范圍為（A）（B）（）（）【答案】D解析：化為普通方程 ，表示圓，因為直線與圓有兩個不同的交點，所以解得法2：利用數形結合進行分析得同理分析，可知.（0 重慶理）()直線y兩點，則直線D與D的傾斜角之和為

與圓心為D的圓 交與A、BA. B. 【答案】C解析：數形結合 由圓的性質可知故.（0 廣東文）全國卷1O的半徑為為兩切點那么的最小值為(A)(B)(().0 安徽理動點在圓繞標點逆針向速轉2秒旋轉一周。已知時間 的縱坐標 關于函數的單調遞增區間是A、B、、、和【答案】D【解析】畫出圖形，設動點A與 軸正方向夾角為 ，則 ，每秒鐘旋轉，在 上，在 ，動點 的縱坐標 關于都是單調遞增的。【方法技巧】由動點【方法技巧】由動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，可知與三角函數的定義類似由2秒旋轉一周能求每秒鐘所轉的弧度畫出單位圓很容易看出當t在的縱坐標 關于（單位：秒）的函數的單調性的變化，從而得單調遞增區間..（2 江蘇卷8）（本小題滿分6分）在平面直角坐標系中，已知圓和圓.且被圓截得的弦長為，求直線的方程；P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。【解析】 的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心 到直線，結合點到直線距離公式，得：化簡得：求直線的方程為： ，即 或設點P，直線、的方程分別為：，即：因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。故有： ，化簡得：關于 的方程有無窮多解，有：解之得：點P或。年高考數學總復習系列》——高中數學必修二立體幾何初步一、基礎知識（理解去記）（一）空間幾何體的結構特征由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。旋轉體——把一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。（2）柱，錐，臺，球的結構特征棱柱1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。2相關棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 關系：① ②四棱柱 底面為平行四邊形 平行六面體 側棱垂直于底 面 直平行六面體底面為矩形 長方體 底面為正方形 正四棱柱 側棱與底面邊長相等 正方體3棱柱的性質：①側棱都相等，側面是平行四邊形；②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；④直棱柱的側棱長與高相等，側面與對角面是矩形。補充知識點 長方體的性質：①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的平 方和；【如圖】②（了解）長方體的一條對角線與過頂點A的三條棱 所成的角分別是，那么，；③（了解）長方體的一條對角線 與過頂點A的相鄰三個面所成的角分別是 ，則，.4側面展開圖：正n棱柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側棱長為鄰邊的矩形.5（其中c為底面周長，h為棱柱的高）注意:大多數省市在高考試卷會給出面積體積公式，因此考生可以不用刻意地去記圓柱1圓柱——余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2軸的截面（軸截面）是全等的矩形.3母線長為鄰邊的矩形.4面積、體積公式：S圓柱側=；S圓柱全=，V圓柱=S底=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）棱錐.1棱錐——有一個面是多邊形其余各 面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成 的幾何體叫做棱錐。是正多邊心，這樣正棱錐——是正多邊心，這樣①平行于底面的截面是與底面相似的正相似比等于頂點到截面的距離與頂點到多邊形，底面的距2①平行于底面的截面是與底面相似的正相似比等于頂點到截面的距離與頂點到多邊形，底面的距離之比；②正棱錐各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；③正棱錐中六個元素，即側棱、高、斜高、側棱在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。）（如上圖： 為直角三角形）成四個直角三角形。）（如上圖： 為直角三角形）3側面展開圖：正n棱錐的側面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。4面積、體積公式：S正棱錐側=，S正棱錐全=，V棱錐=.（其中c為底面周長，側面斜高，h棱錐的高）圓錐1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。2圓錐的性質：頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；②②軸截面是等腰三角形；如右圖：③如右圖：.3以母線長為半徑的扇形。4面積、體積公式：S圓錐側= 圓錐全= 圓錐=中r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）棱臺1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱 截面與底面之間的部分稱為棱臺.2正棱臺的性質：①各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是 正多邊形；③都是直角梯 形④棱臺經常補成棱錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.3側 ，，（其中 是上，下 底面面積，h為棱臺的高）圓臺1圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐， 底面與截面之間的部分叫做圓臺.2圓臺的性質：①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；②圓臺的軸截面是等腰梯形；③圓臺經常補成圓錐來研究。如右圖：，注意相似比的應用.3圓臺的側面展開圖是一個扇環；4，V，（其中r，R為上下底面半徑，h為高）球1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.或空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；2球的性質：①球心與截面圓心的連線垂直于截面；②（其中，球心到截面的距離為球的半徑為R、截面的半徑為r）3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長 方體，球與正方體等的內接與外切.注：球的有關問題轉化為圓的問題解決.4球面積、體積公式： （其中R為球的半徑）（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖根據最近幾年高考形式上看，三視圖的考察已經淡化，所以同學只需了解即可投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。三視圖——是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡記為“正、側一樣高，正、俯一樣長，俯、側一樣寬”.（2）正視圖，側視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。直觀圖：1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。2斜二測法：st

：在已知圖形中取互相垂直的軸，（即取 ）；：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；s ：在坐標系 中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或結論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的 倍.在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y結論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的 倍.解決兩種常見的題型時應注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”.（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。二 點、直線、平面之間的位置關系平面的基本性質平面——無限延展，無邊界1三個定理與三個推論公理1：如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么直線在平面內。用途：常用于證明直線在平面內.圖形語言： 符號語言：公理2：不共線的三點確定一個平面. 圖形語言：推論1：直線與直線外的一點確定一個平面. 圖形語言：推論2：兩條相交直線確定一個平面. 圖形語言：推論3：兩條平行直線確定一個平面. 圖形語言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.用途：常用于證明線在面內，證明點在線上.圖形語言： 符號語言：形語言，文字語言，符號語言的轉化：（二）空間圖形的位置關系等角定理：異面直線：平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：等角定理：異面直線：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線——異面直線；異面直線所成的角：圖形語言：符號語言：異面直線所成的角：常把一條異上，形成異（）范圍：；（2）作異面直線所成的角：平移法.O則所 角為常把一條異上，形成異異面直線面直線所成的角.直線與平面的位置關系：圖形語言：平面與平面的位置關系：（三）平行關系（包括線面平行，面面平行）線面平行：②判定定理①定義：直線與平面無公共點②判定定理：（線線平行 線面平行）【如圖】③性質定理： 線線平行）【如圖】③性質定理④判定或證明線面平行的依據定義反證用于判斷ii判定定理：“面面平行 線面平“線線平行 面面平行”（用于證明）ii）“面面平行 線面平行行”（用于判斷）；線面斜交：①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則 平面的于是在平面 就是直線與平面 所成的角。范圍與平面 所成的角為 與平面所成的角。面面平行：①定義：；②判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；符號表述：【如下圖①】圖① 圖②推論：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行符號表述：【如上圖②】判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：.【如右圖】理及推論（常2面平行線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。【如圖】（四）垂直關系（包括線面垂直，面面垂直）線面垂直①定義：若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號表述：若任意都有，且，則.②判定定理：（線線垂直 線面垂直）③性質：（）（線面垂直 ；（較（面面垂直 線面垂直）常用；⑤三垂線定理及逆定理：（I）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線 段 中 ，（）斜線相等射影相等；（）斜線越長射影 越長；（3）垂線段最短。【如圖】； II三垂線定理及逆定理已知斜線A在平面 內的射影為A，，①若，則——垂直斜線，此為三垂線定理；②若則——線定理的逆定理；三垂線定理及逆定理的主要應用證明異面直線垂直（） 作證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段；【如圖】2面面斜交①二面角：（1）定義：【如圖】范圍：3面面垂直（）定義：若二面角的平面角為，則；個平面互相垂直.（線面垂直面面垂直）（3）性質：①若，二面角的一個平面角為，則；②（面面垂直線面垂直）；③.④二、基礎題型（必懂）（1）此題型一般出現在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。（2）對于判斷線線關系，線面關系，面面關系等方面的問題，必須在熟練掌握有關的定理和性質的前提必須找出反例。（3）相關例題：課本和輔導書上出現很多這樣的題型，舉例說明如下：例：（09年北京卷）設是三個不同的平面，給出下列四個說法：①；③④，說法正確的序號是： _2、證明題。證明平行關系，垂直關系等方面的問題。平行與垂直關系可互相平行與垂直關系可互相平行關系垂直關系平面幾何知識平面幾何知識線線平行線線垂直線面平行面面平行線面垂直面面垂直判定性質性質判定推論判定性質面面垂直定義判定判定三、趨近高考（必懂）.0全國卷2理已知正四棱錐中那么當該棱錐的體積最大時它的高為（A）1 【答案】C【解析】設底面邊長為所以體積，設y取最值時， 或此時，故選.（0陜西文若某空間幾何體的三視圖如圖所示則該幾何體的 體積是[B]（A）2 （B）1（）（）， ，【答案】B， ，【解析】如圖，該立體圖形為直三棱柱，所以其體積為是球的表面積等于（A）（B）（）（D）【答案】A【解析】選A.的直徑為， 表面積是（A）2 （B）0（）2 （）0【答案】B下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。.【方法技巧】把三視圖轉化為直觀圖是解決問題的關鍵.【方法技巧】把三視圖轉化為直觀圖是解決問題的關鍵.又三視各個棱的長度.把幾何體的表面積轉化為下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。重慶文）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（A）只有1個 （B）恰有3個（C）恰有4個 （D）有無窮多個【答案】D【解析】放在正方體中研究,、的中點到兩垂直異面直線的距離都相等，所以排除A、B、C，選D亦可在四條側棱上找到四個點到兩垂直異面直線的距離相等.（0 浙江文）若某幾何體的三視圖（單位c何體的體積是

）如圖所示，則此幾（A）（B）

33（）【答案】B【解析】選B，本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題福建文）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側面積等于( )A．B．2．D．6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為1的正三棱柱，所以底面積為，側面積為 ，選全國卷12的球面上有,則四面體的體積的最大值為(A)(B)((D)【答案】B【解析】過作平面，使⊥平面,交與P,設點P到的距離為,則有平面解析幾何初步一、基礎知識（理解去記）

,當直徑通過AB與的中點時, ,故1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實質是用代數的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關系，即如果一條曲線上的點構成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如是以原點為圓心的單位圓的方程。列出方程；(4)化簡方程并確定未知數的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應點都在曲線上，且曲線上對應點都滿足方程（實際應用常省略這一步）。x軸正方向所成的小于的正角，叫做它的傾斜角。規定平行于x軸的直線的傾斜角為0及斜率可求直線方程。4．直線方程的幾種形式：【必會】【必考】（）一般式：0 ；（）點斜式：k (x-0)；