第一篇

力學第3章剛體的定軸轉動第3章剛體的定軸轉動RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1節剛體的平動和轉動第2節剛體定軸轉動定律第3節剛體轉動的功和能第4節剛體的角動量定理和角動量守恒定律第5節滾動與進動TranslationandRotationofaRigidBody第1節剛體的平動和轉動1.剛體（大小和形狀不能忽略）大小和形狀都保持不變的物體。剛體內任意兩質點之間的距離保持不變。剛體可看成是各質點間相對位置保持不變的特殊的質點系。關于質點系的力學規律都可用于剛體。質心ABA'B'A"B"選哪個點來代表？2.剛體的平動質心

連接剛體內任意兩點的一條直線在運動的各個時刻的位置都彼此平行。剛體的這種運動稱為平動。

剛體作平動時，其上各個質點的運動狀態完全相同，故可用任意一點的運動代表剛體整體的運動。通常用質心的運動來代表整個剛體的運動。平動質心：質量分布的中心質心的位矢N個質點質量m1,m2,,mN定義：質心的位矢質心注意密度均勻，形狀對稱的剛體：或質心重心?幾何對稱中心質點系的總質量質點系對應的位矢質心運動定理質心的速度：質心的加速度：設mi受力則：對所有質點求和：0——質心運動定理即：剛體的平動如同一質點，只是將質量全部集中于該點（質心）,承受的所有外力。注意：質心上可能既無質量，又未受力。啞鈴炮彈演示：錐體上滾3.剛體的轉動剛體定軸轉動的描述轉軸剛體轉軸上各點都保持靜止轉動：剛體各點都繞同一直線

(轉軸)

作圓周運動。最簡單的情況是轉軸的位置和方向都固定不變的轉動，稱為剛體的定軸轉動。在同一時間間隔內,各點的位移不同，速度不同；用角量來描述轉動規律較為方便。但對軸的轉角相同，角速度相同！(1)

角位置定軸轉動的運動方程(3)

角速度(4)

角加速度單位：q

：弧度(rad)w：弧度/秒(rad·s-1)b弧度/秒(rad·s-2)2：(2)

角位移描述剛體的定軸轉動的物理量dtdq=22dtddtdqwb==w轉軸剛體qq參考方向xppqrqr定軸轉動中角量與線量的基本關系角量的方向：右手螺旋法則矢量式對于定軸轉動，始終沿轉軸。1.力矩（1）在垂直oo

的平面內（2）不在垂直oo

的平面內oo.P對剛體繞oo軸的轉動無貢獻

總可分解成兩個分量：計算時,只需考慮的力矩,即Mz.第2節剛體定軸轉動定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(參考點在轉軸上)oo.P在軸上任選參考點O,則任一質元A對O的角動量為:質點系的角動量定理:(Z軸)轉軸剛體2.定軸轉動定律

只有力矩的z向分量對定軸轉動有作用!故求此分量Mz的表達式:

——轉動慣量(Z軸)轉軸剛體將Mz改寫為M，則——定軸轉動定律將Lz改寫為L，則——對定軸的角動量——剛體對定軸(z軸)的轉動慣量

由剛體上各質元相對于固定轉軸的分布決定，與外力無關，是表征剛體轉動慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：Jmm反映質點的平動慣性定軸轉動定律:J反映剛體的轉動慣性Jm剛體對定軸的角動量:3.轉動慣量的計算（1）分立的質量元構成的系統（2）質量連續分布的系統(如:剛體)Mrdm在SI制中，J的單位：kg·m2質量元dm

的計算方法如下：質量為線分布：質量為面分布：質量為體分布：線密度面密度體密度例1.

求質量為m、半徑為R的均勻圓環的轉動

慣量。軸與圓環平面垂直并通過環心。解：若是半徑為R的薄圓筒（不計厚度）結果如何？OdmOR在圓環上取質量元dm結果形式不變例2.

求質量為m,

半徑為R,厚為l

的均勻圓盤的

轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：lr取半徑為r寬為dr的薄圓環,其質量為：顯然：轉動慣量與l無關。所以，實心圓柱（面）對其軸的轉動慣量也是mR2/2。例3.如圖所示,一個均勻半圓薄板的質量為m,半徑為R.以其直徑邊為轉軸,它的轉動慣量多大？解:取窄條狀面元dS.設面密度為.dShdhd對應的弧長為Rd?X例4.求長為L、質量為m的均勻細棒

對圖中不同軸的轉動慣量。ABLo解：取如圖坐標dm=dx以質心為轉軸的J：可見：同一物體繞不同的轉軸的轉動慣量不同！ABL/2L/2CXo以棒一端為轉軸的J：（3）平行軸定理

JC是通過質心的軸的轉動慣量，

JA是通過棒端的軸的轉動慣量

兩軸平行，相距L/2。上述結論可以推廣：——平行軸定理

若有任一軸與過質心的軸平行,相距為d,剛體對其轉動慣量為J，則有：ABLC231mLJA=2121mLJC=一些常見剛體的轉動慣量：細棒細棒薄圓環或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體4.剛體定軸轉動定律的應用長的易控些，理由見下頁

長桿哪個易控些？為什么？短鉛筆小實驗小實驗竿子長些還是短些安全？例:已知qqmB()A()LmLL2LOOq

從小傾角處靜止釋放兩勻直細桿地面短桿的角加速度大且與勻質直桿的質量無關求兩者瞬時角加速度之比bb1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122b根據MJbbMJJM解：例5.一根長為L、質量為m的均勻細直棒,其一端

有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平

面內轉動。

最初棒靜止在水平位置，

求它由此下擺角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O

的力矩。XOgdmdmxmmmgC合力矩：

棒上取質元dm,當棒處在

下擺角時,重力矩為：重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質心所產生的力矩一樣。XOgdmdmxmgC又：即：mgCXOxc例6.質量為m、長為L的勻質細桿水平放置,一端為鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時,桿的角加速度以及鉸鏈的支撐力。.解：剪斷時細桿繞O點的力矩為o根據定軸轉動定律質心平動：例7.

在半徑為R,質量為m，J=mR2的滑輪上掛一細繩，細繩兩端各掛兩物m1>m2。m2m1解：m1、m2作為質點處理滑輪作剛體處理,m1gT1m2gT2T1T2根據牛頓定律：y由定軸轉動定律：聯立解得：

求:兩物的加速度a及滑輪的角加速度.動畫第3節剛體轉動的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.剛體的轉動動能wOviviri

mi多個質點組成的質點系的動能定義為:所以，轉動的剛體的動能為:2.力矩的功力在這段元位移中所做的功是:即:力對轉動剛體所做的功用力矩的功來計算!所以，3.

剛體繞固定軸轉動的動能定理在剛體的轉動過程中,合外力矩M對剛體所做的功為:即：

合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量——剛體繞固定軸轉動的動能定理4.剛體的重力勢能yhihcxOMCmi質元mi的勢能：整個剛體的勢能：剛體的重力勢能5.機械能守恒定律

對于含有剛體的系統,如果在運動過程中只有保守內力做功,則此系統的機械能守恒。它的全部質量都集中

在質心時所具有的勢能XOmgC例10.一根長為L,質量為m的均勻細直棒,一端有一

固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內轉

動。

最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：（用機械能守恒定律重解P20例5)在棒擺動過程中系統的機械能守恒。設棒在水平位置時重力勢能為零，由機械能守恒知:與前面解得的結果一致!1.剛體的角動量剛體上的任一質元繞固定軸做圓周運動時相對于轉軸上任意一點O的角動量在軸上的分量的大小均為：故，剛體對此軸的角動量為：即：剛體對定軸的角動量L,等于它對該軸的轉動

慣量J和角速度的乘積。簡寫為：第4節剛體的角動量定理和角動量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis質點的角動量定理為對質點系任意一質點定軸方向0對質點系:由上可得：定軸轉動定律——剛體繞定軸的角動量定理2.

剛體繞定軸的角動量定理內外J不變J變化合外力矩M

對剛體繞定軸的沖量矩為：即:對某一定軸的外力矩在某段時間內的累積效果為剛體對同一轉動軸的角動量的增量。(微分形式)剛體繞定軸的角動量定理：(積分形式)簡寫為當合外力矩則——角動量守恒討論（1）當L=常量，若J=常量，則

=常量，即：剛體保持恒定的角速度轉動。當L=常量，若J常量，J=常量，則

常量。或J（2）此定律可推廣到含多個質點、多個剛體的系統3.

角動量守恒定律旋轉演示：直升機模型演示：離心節速器例11.

如圖，質量為

M

半徑為

R

的轉臺初始角速度為0,有一質量為m

的人站在轉臺的中心,若他相對于轉臺以恒定的速度u沿半徑向邊緣走去,求人走了t

時間后,轉臺轉過的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計）解：人與轉臺系統對軸角動量守恒設t

時刻人走到距轉臺中心r=ut

處，轉臺的角速度為

.OOuvmm碰前碰后例12.勻質細棒質量為m,長為2l,可在鉛直平面內繞通過其中心的水平軸O自由轉動.開始時棒靜止于水平位置,一質量為m'的小球,以速度u垂直落到棒的端點,且與棒作彈性碰撞,

碰撞時間極短.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球為系統.在碰撞過程中,對軸O的外力矩只有小球的重力矩mgl.因碰撞時間極短,此重力矩對時間的累積可忽略不計.

于是,系統對轉軸O的角動量守恒:以順時針轉動時的角動量方向為正,則由角動量守恒得:因作彈性碰撞,故在碰撞過程中機械能守恒:

于是,系統對轉軸O的角動量守恒OOuvmm碰前碰后由(1)(2)解得:m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸勻質圓盤（水平）R例13.如圖示，一黏土塊從高處落下打到一剛體圓盤上，與圓盤一起運動，接觸點為P，圓盤可繞過中心垂直于紙面的轉軸轉動。已知：h，R，M=2m，=60.求：碰撞的瞬間盤的

P點轉到x軸時,盤的解：m由靜止下落：(1)mPhv

對(m+盤)系統,碰撞中重力對O軸力矩可忽略,系統角動量守恒：(2)小球對定軸的角動量的大?。?3)對（m+M+地球）系統，mmg·OMR令P與x軸重合時EP=0，則：(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：(4)只有重力做功，機械能守恒.(1)(2)例14、一人手持長為的輕棒的一端打擊巖石，使棒由運動變為靜止，為了避免手受到劇烈的沖擊。請問：此人應當用棒的哪一點去打擊巖石才會受力最?。拷猓捍驌羟?，棒的運動可看成繞手握端的定軸轉動，為滿足打擊時手受力最小，即手受力為零。于是打擊過程中棒只受巖石的反作用力，該力使棒的質心速度降為零，棒的轉動速度也降為零。設打擊時間為，打擊點與手握端的距離為（動量定理）（角動量定理）解得：剛體的非定軸的運動1.滾動S=2RAcccRAA0可看成軸平動剛體繞定軸轉動合成運動方程質心平動定軸轉動注意：10角量是對質心而言的，可以證明：b=w=RaRvcc30S=R20切點的速度v0=0

！是瞬時靜止的。這個點稱為瞬心。2.進動：陀螺在繞本身的對稱軸線轉動的同時，對稱軸還將繞豎直軸OZ轉動,這種回轉現象稱為進動。進動產生的原因：重力對O點的力矩為，的方向：的方向與一致L