第13章時間序列分析和預測學習目標時間序列及其分解原理時間序列的描述性分析時間序列的預測程序平穩序列的預測方法有趨勢成分的序列的預測方法有季節成分的序列的預測方法復合型序列的分解預測時間序列分析最早的時間序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。古埃及人把尼羅河漲落的情況逐天記錄下來，就構成所謂的時間序列。對這個時間序列長期的觀察使他們發現尼羅河的漲落非常有規律。由于掌握了尼羅河泛濫的規律，使得古埃及的農業迅速發展，從而創建了埃及燦爛的史前文明。

按照時間的順序把隨機事件變化發展的過程記錄下來就構成了一個時間序列。對時間序列進行觀察、研究，找尋它變化發展的規律，預測它將來的走勢就是時間序列分析。我國GDP1978~1999年度數據上證指數月度數據香港恒生指數周線圖描述性時序分析案例德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有11年左右的周期研究意義1、能夠描述社會經濟現象的發展狀況和結果

2、能夠研究社會經濟現象的發展速度、發展趨勢和平均水平，探索社會經濟現象發展變化的規律，并據以對未來進行統計預測；3、能夠利用不同的但互相聯系的時間數列進行對比分析或相關分析。時間序列分析已經用在國民經濟宏觀控制、區域綜合發展規劃、企業經營管理、市場潛量預測、氣象預報、水文預報、地震前兆預報、農作物病蟲災害預報、環境污染控制、生態平衡、天文學和海洋學等方面。時間序列分析方法與其它統計分析方法（回歸分析）的主要區別1.時間序列分析方法明確強調變量值順序的重要性，而其它統計分析方法則不必如此。2.時間序列各觀察值之間存在一定的依存關系，而其它統計分析一般要求每一變量各自獨立3.時間序列分析根據序列自身的變化規律來預測未來，而其它統計分析則根據某一變量與其它變量間的因果關系來預測該變量的未來。4.時間序列是一組隨機變量的一次樣本實現，而其它統計分析的樣本值一般是對同一隨機變量進行N次獨立重復實驗的結果。5.二者建模思路不同。時間序列

(timesseries)1. 同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數列2. 形式上由現象所屬的時間和現象在不同時間上的觀察值兩部分組成3. 排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式平穩序列(stationaryseries)

沒有趨勢的序列，各觀察值在某個固定的水平上波動，但并不存在某種規律，而其波動是隨機的.非平穩序列(non-stationaryseries)

包含趨勢、季節性或周期性的序列，分為有趨勢的序列，或有趨勢、季節性和周期性的復合型序列.

含有不同成分的時間序列平穩趨勢季節季節與趨勢時間序列的成分時間序列的成分趨勢T季節性S周期性C隨機性I線性趨勢非線性趨勢平穩序列非平穩序列1.趨勢(trend)呈現出某種持續向上或持續下降的狀態或規律.2.季節性(seasonality)也稱季節變動，是時間序列在一年內重復出現的周期性波動.3.周期性(cyclity)

也稱循環波動，不是持續變化，而是一種上下波動，周期在一年以上，且周期長短不一.4.隨機性(random)也稱不規則波動，是除趨勢、周期性和季節性之后的隨機波動.時間序列的描述性分析圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)線性指數三階曲線隨機波動描述性時序分析案例德國業余天文學家施瓦爾發現太陽黑子的活動具有11年左右的周期增長率分析增長率

(growthrate)也稱增長速度報告期觀察值與基期觀察值之比減1，用百分比表示由于對比的基期不同，增長率可以分為環比增長率和定基增長率由于計算方法的不同，有一般增長率、平均增長率、年度化增長率1、環比增長率 報告期水平與前一期水平之比減12、定基增長率

報告期水平與某一固定時期水平之比減13、平均增長率

序列中各逐期環比值(也稱環比發展速度)的幾何平均數減1后的結果。描述現象在整個觀察期內平均增長變化的程度環比和定基發展速度的聯系環比發展速度的乘積等于相應的定基發展速度，相鄰兩期的定基發展速度之商等于后期的環比發展速度平均增長率

(例題分析)【例】計算1990-2004年的平增長率，并預測2005、2006年人均GDP。見人均GDP數據

年平均增長率為2005年和2006年人均GDP的預測值分別為增長率分析中應注意的問題當時間序列中的觀察值出現0或負數時，不宜計算增長率例如：假定某企業連續5年的利潤額分別為5，2，0，-3，2萬元，對這一序列計算增長率，要么不符合數學公理，要么無法解釋其實際意義。在這種情況下，適宜直接用絕對數進行分析在有些情況下，不能單純就增長率論增長率，要注意增長率與絕對水平的結合分析

13.3時間序列預測的程序確定時間序列的類型找出適合此類時間序列的預測方法對預測方法進行評估，確定最佳預測方案利用最佳預測方案進行預測確定時間序列的成分1、確定趨勢成分

(例題分析)【例】一種股票連續16周的收盤價如下表所示。試確定其趨勢及其類型

確定趨勢成分

(例題分析)直線趨勢方程回歸系數檢驗P=0.000179R2=0.645確定趨勢成分

(例題分析)二次曲線方程回歸系數檢驗P=0.000047R2=0.7841確定趨勢成分

(例題分析)對數方程回歸系數檢驗P=0.0000025R2=0.8046y=-3.2442Ln(t)+14.15SPSS分析SPSS結果2、確定季節成分

(例題分析)【例】下面是一家啤酒生產企業2000～2005年各季度的啤酒銷售量數據。試根據這6年的數據繪制年度折疊時間序列圖，并判斷啤酒銷售量是否存在季節性年度折疊時間序列圖

(foldedannualtimeseriesplot)將每年的數據分開畫在圖上若序列只存在季節成分，年度折疊序列圖中的折線將會有交叉若序列既含有季節成分又含有趨勢，則年度折疊時間序列圖中的折線將不會有交叉，而且如果趨勢是上升的，后面年度的折線將會高于前面年度的折線，如果趨勢是下降的，則后面年度的折線將低于前面年度的折線選擇預測方法是否時間序列數據是否存在趨勢否是是否存在季節是否存在季節否平滑法預測簡單平均法移動平均法指數平滑法季節性預測法季節多元回歸模型季節自回歸模型時間序列分解是趨勢預測方法線性趨勢推測非線性趨勢推測自回歸預測模型均方誤差MSE(meansquareerror)評估預測方法13.3平穩序列的平滑和預測

一、簡單平均法二、移動平均法三、指數平滑法1、簡單平均法(simpleaverage)

簡單平均法是根據過去已有的t

期觀察值來預測下一期的數值的一種預測方法.設時間序列已有的其觀察值為則t+1期的預測值為有了t+1的實際值，便可計算出的預測誤差為于是t+2期的預測值為

(1)適合對較為平穩的時間序列進行預測，即當時間序列沒有趨勢時，用該方法比較好.如果時間序列有趨勢或有季節變動時，該方法的預測不夠準確.(2)簡單平均法將遠期的數值和近期的數值看作對未來同等重要，從預測角度看，近期的數值要比遠期的數值對為來有更大的作用.因此簡單平均法預測的結果不夠準確.2、移動平均法

(movingaverage)對簡單平均法的一種改進方法通過對時間序列逐期遞移求得一系列平均數作為預測值(也可作為趨勢值)有簡單移動平均法和加權移動平均法兩種簡單移動平均法

簡單移動平均法將最近k

期的數據加以平均作為下一期的預測值.設移動間隔為k(1<k<t)，則t

期的移動平均值為t+1期的簡單移動平均預測值為預測誤差用均方誤差(MSE)

來衡量

移動平均法奇數項移動平均:原數列移動平均新數列移動平均移正平均新數列原數列移動平均法偶數項移動平均:簡單移動平均法的特點(1)將每個觀察值都給予相同的權數.只使用最近期的數據，在每次計算移動平均值時，移動的間隔都為k.應用時，關鍵是確定合理的移動間隔長.可通過試驗的辦法，選擇一個使均方誤差達到最小的.(2)主要適合對較為平穩的時間序列進行預測.不能完整地反映原數列的長期趨勢，不便于直接根據修勻后的數列進行預測。(3)由移動平均數組成的趨勢值數列，較原數列的項數少，N為奇數時，趨勢值數列首尾各少項；N為偶數時，首尾各少項；例13.7

對居民消費價格指數數據，分別取移動間隔k=3和k=5，用Excel計算各期的居民消費價格指數的平滑值(預測值)，計算出預測誤差，并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較.解：采用Excel進行移動平均的步驟.第1步：選擇【工具】下拉菜單第2步：選擇【數據分析】選項第3步：在分析工具中選擇【移動平均】第4步：當對話框出現時在【輸入區域】方框內鍵入時間序列的數據區域,在【間隔】方框內鍵入移動項數.圖13-10消費價格指數移動平均趨勢3、指數平滑法

(exponentialsmoothing)是加權平均的一種特殊形式對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法觀察值時間越遠，其權數也跟著呈現指數的下降，因而稱為指數平滑有一次指數平滑、二次指數平滑、三次指數平滑等一次指數平滑法也可用于對時間序列進行修勻，以消除隨機波動，找出序列的變化趨勢一次指數平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一個平滑系數觀察值離預測時期越久遠，權數變得越小以一段時期的預測值與觀察值的線性組合作為第t+1期的預測值，其預測模型為

Yt為第t期的實際觀察值

Ft

為第t期的預測值為平滑系數(0<<1)一次指數平滑在開始計算時，沒有第1期的預測值F1，通常可以設F1等于第1期的實際觀察值，即F1=Y12期的預測值為3期的預測值為4期的預測值為預測精度，用誤差均方來衡量

可見，Ft+1是第t期的預測值Ft加上用調整的第t期的預測誤差(Yt-Ft)一次指數平滑

(的確定)不同的會對預測結果產生不同的影響當時間序列有較大的隨機波動時，宜選較大的，以便能很快跟上近期的變化當時間序列比較平穩時，宜選較小的

選擇時，還應考慮預測誤差誤差均方來衡量預測誤差的大小確定時，可選擇幾個進行預測，然后找出預測誤差最小的作為最后的值一次指數平滑

(例題分析)第1步：選擇【工具】下拉菜單第2步：選擇【數據分析】，并選擇【指數平滑】，然后【確定】第3步：當對話框出現時

在【輸入區域】中輸入數據區域

在【阻尼系數】(注意：阻尼系數=1-)輸入的值

選擇【確定”】【例】對居民消費價格指數數據，選擇適當的平滑系數，采用Excel進行指數平滑預測，計算出預測誤差，并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較一次指數平滑

(例題分析)一次指數平滑

(例題分析)13.5趨勢序列及其預測方法趨勢(trend)持續向上或持續下降的狀態或規律有線性趨勢和非線性趨勢方法主要有線性趨勢預測非線性趨勢預測自回歸模型預測幾種趨勢的適用范圍1、線性趨勢線：適合于增長/降低速率較穩定的數據。2、對數趨勢線：適合于增長/降低速率開始較快，后逐漸趨于平緩的數據。3、多項式趨勢線：適合于增長/降低速率波動較多的數據。CPI指數4、乘冪趨勢線：適合于增長/降低速率持續增加，且增加幅度恒定的數據。5、指數趨勢線：適合于增長/降低速率持續增加，且增加幅度越來越大的數據。1、線性趨勢

(lineartrend)現象隨著時間的推移而呈現出穩定增長或下降的線性變化規律由影響時間序列的基本因素作用形成時間序列的成分之一預測方法：線性模型法時間序列以幾何級數遞增或遞減一般形式為2、指數曲線

(exponentialcurve)b0，b1為待定系數

若b1

>1，增長率隨著時間t的增加而增加若b1

<1，增長率隨著時間t的增加而降低，以0為極限y=aebxy=aebx若a>0，則lny=lna+bx令y'=lny，b0=lna，得：y'=b0+bxab<0x0yb>0yx0aa>0y=aebx指數曲線(例題分析)【例】根據轎車產量數據，確定指數曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的轎車產量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較

指數曲線趨勢方程：預測的估計標準誤差：

2005年轎車產量的預測值

b1=1.27286表示1990—2004年轎車產量的年平均增長率為27.286%指數曲線

(例題分析)1.雙曲線函數:

-b/aa>0b<0xy01/ay0x1/a-b/aa>0b>0令y'=1/y,x'=1/x,，得：y'=a+bx'二.非線性函數的線性化方法2.冪函數：

y=axb若a>0，則lny=lna+blnx令y'=lny，b0=lna，x'=lnx，得：y'=b0+bx'b>10<b<1b=1a>00xya1a>0yx0b<0a13.指數函數：y=aebx若a>0，則lny=lna+bx令y'=lny，b0=lna，得：y'=b0+bxab<0x0yb>0yx0aa>04.對數函數：y=a+b

lnx令x'=lnx，得：y=a+bx'b>0x0y0yxb<0有些現象的變化形態比較復雜，它們不是按照某種固定的形態變化，而是有升有降，在變化過程中可能有幾個拐點。這時就需要擬合多項式函數當只有一個拐點時，可以擬合二階曲線，即拋物線；當有兩個拐點時，需要擬合三階曲線；當有k-1個拐點時，需要擬合k階曲線k階曲線函數的一般形式為線性化后，根據最小二乘法求多階曲線多階曲線

(例題分析)【例】根據的金屬切削機床產量數據，擬合適當的趨勢曲線，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的金屬切削機床產量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較三階曲線方程：

2005年的預測值預測的估計標準誤差：多階曲線

(例題分析)趨勢線的選擇觀察散點圖根據觀察數據本身，按以下標準選擇趨勢線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對數的一次差大體相同，配合指數曲線一次差的環比值大體相同，配合修正指數曲線對數一次差的環比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數一次差的環比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計標準誤差在一般指數曲線的方程上增加一個常數項K一般形式為修正指數曲線

(modifiedexponentialcurve)K，b0，b1

為待定系數

K>0，b0

≠0，0<b1

≠1用于描述的現象：初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低，最終則以K為增長極限修正指數曲線

(求解k，b0，b1的三和法)

趨勢值K無法事先確定時采用將時間序列觀察值等分為三個部分，每部分有m個時期令預測值的三個局部總和分別等于原序列觀察值的三個局部總和修正指數曲線

(求解k，b0，b1的三和法)

根據三和法求得設觀察值的三個局部總和分別為S1，S2，S3修正指數曲線

(例題分析)【例】我國1990—2004年城鎮新建住宅面積數據如右表所示。試確定修正指數曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的城鎮新建住宅面積，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較

修正指數曲線

(例題分析)修正指數曲線

(例題分析)解得K，b0

，b1如下修正指數曲線

(例題分析)新建住宅面積的修正指數曲線方程2005年的預測值預測的估計標準誤差修正指數曲線

(例題分析)以英國統計學家和數學家B·Gompertz

的名字而命名一般形式為Gompertz曲線

(Gompertzcurve)描述的現象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當達到一定程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為YK,下漸近線為Y=0K，b0，b1為待定系數

K>0，0<b0

≠1，0<b1≠1Gompertz曲線

(求解k，b0，b1的三和法)

仿照修正指數曲線的常數確定方法，求出lg

b0、lg

K、b1取

lg

b0、lg

K的反對數求得b0

和K

則有：將其改寫為對數形式：令：Gompertz曲線

(例題分析)【例】我國1990—2004年城鎮新建住宅面積數據如右表所示。試確定修正指數曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的城鎮新建住宅面積，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較

Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線計算過程Gompertz曲線

(例題分析)新建住宅面積的Gompertz曲線方程2005年的預測值預測的估計標準誤差Gompertz曲線

(例題分析)有些現象的變化形態比較復雜，它們不是按照某種固定的形態變化，而是有升有降，在變化過程中可能有幾個拐點。這時就需要擬合多項式函數當只有一個拐點時，可以擬合二階曲線，即拋物線；當有兩個拐點時，需要擬合三階曲線；當有k-1個拐點時，需要擬合k階曲線k階曲線函數的一般形式為線性化后，根據最小二乘法求多階曲線多階曲線

(例題分析)【例】根據的金屬切削機床產量數據，擬合適當的趨勢曲線，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的金屬切削機床產量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較三階曲線方程：

2005年的預測值預測的估計標準誤差：多階曲線

(例題分析)趨勢線的選擇觀察散點圖根據觀察數據本身，按以下標準選擇趨勢線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對數的一次差大體相同，配合指數曲線一次差的環比值大體相同，配合修正指數曲線對數一次差的環比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數一次差的環比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計標準誤差確定并分離季節成分計算季節指數，將季節成分從時間序列中分離出去，以消除季節性建立預測模型并進行預測對消除季節成分的序列建立適當的預測模型，并根據這一模型進行預測計算出最后的預測值用預測值乘以相應的季節指數，得到最終的預測值13.7復合型序列的分解預測確定并分離季節成分季節指數

(例題分析)【例】下表是一家啤酒生產企業2000—2005年各季度的