場論與復變函數通信工程學院場論與復變函數教學團隊課程編號：MS1009-01課程名：場論與復變函數

（FieldTheoryandComplexVariableFunctions）課程性質：必修學分/學時：3/48考核方式：平時成績+作業成績+期末考試成績教材：1.《復變函數》.西安交大高等數學教研室，第四版，北京：高等教育出版社，19962.《矢量分析與場論》.謝樹藝，第三版，北京：高等教育出版社，20053.《場論與復變函數習題冊》.西安電子科技大學場論與復變函數教學團隊，2015.

第一章復數與復變函數1

第八章場論8

第七章矢量分析7

第六章共性映射6

第五章留數5

第四章級數4

第三章復變函數的積分3

第二章解析函數2第一章復數與復變函數第一節復數及其代數運算

第二節復數的幾何表示

第三節復數的乘冪與方根

第四節區域

第五節復變函數

第六節復變函數的極限和連續性第一節復數及其代數運算一、復數的概念二、代數運算三、共軛復數一、復數的概念定義(1)設

x

和

y是任意兩個實數，(或者

)的數稱為復數。(2)x

和

y分別稱為復數

z的實部與虛部，并分別表示為：當y=0時，因此，實數可以看作是復數的特殊情形。(3)當x

=0時，稱為純虛數；就是實數。將形如其中

i

稱為虛數單位，即設與是兩個復數，如果則稱與相等。它們之間只有相等與不相等的關系。相等當且僅當特別地，復數與實數不同，兩個復數(虛部不為零)不能比較大小，注一、復數的概念設與是兩個復數，(1)復數的加減法加法減法(2)復數的乘除法乘法如果存在復數z，使得則除法二、代數運算四則運算(3)運算法則交換律結合律分配律二、代數運算三、共軛復數1.共軛復數的定義設是一個復數，定義稱為

z

的共軛復數，記作。共軛復數有許多用途。注比如2.共軛復數的性質其中，“”可以是(2)(1)性質三、共軛復數解(1)(2)證明復數的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。

附：歷史知識——虛數史話卡爾丹稱它們為“虛構的量”或“詭辯的量”。他還把它

們與負數統稱為“虛偽數”；把正數稱為“證實數”兩數的和是

10

,積是

40

,求這兩數．卡爾丹發現只要把

10

分成和即可

1545

年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數，他在《大術》中求解這樣的問題：卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數學權威韋達和他的學生哈里奧特的責難附：歷史知識——虛數史話整個十七世紀，很少有人理睬這種“虛構的量”。僅有

極少數的科學家對其存在性問題爭論不休。1632

年，笛卡爾在《幾何學》中首先把這種“虛構的量”

改稱為“虛數”，與“實數”相對應。同時，還給出了如

今意義下的“復數”的名稱。附：歷史知識——虛數史話到了十八世紀，虛數才開始被關注起來。1722

年，法國數學家棣莫弗給出棣莫弗定理：

其中

n

是大于零的整數。1748

年，歐拉給出了著名的公式：并證明了棣莫弗定理對

n是實數時也成立。1777

年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文《微分公式》中首次使用

i來表示附：歷史知識——虛數史話十八世紀末，高斯的出現使得復數的地位被確立下來。1797

年，當時年僅20歲的高斯在他的博士論文中證明了代數基本定理。高斯在證明中巧妙地給出了復數的幾何表示，使得人們直觀地理解了復數的真實意義。十九世紀中葉以后，復變函數論開始形成，并逐漸發展成為一個龐大的數學分支。而且

n次多項式恰好有

n個根。任何多項式在復數域里必有根，即附：歷史知識——虛數史話附：人物介紹——高斯許多數學學科的開創者和奠基人。幾乎對數學的所有領域都做出了重大貢獻。享有數學王子的美譽。德國數學家、

(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理學家、天文學家高斯去世后，哥廷根大學對高斯的文稿進行了整理，歷時67年，出版了《高斯全集》，共12卷。在哥廷根大學的廣場上，矗立著一座用白色大理石砌成的紀念碑，它的底座砌成正十七邊形，紀念碑上是高斯的青銅雕像。附：人物介紹——高斯第二節復數的幾何表示一、復數的幾種表示方法二、曲線的復數方程一、復數的幾種表示方法此時，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸。在平面上建立一個直角坐標系，定義用坐標為

的點來表示復數從而將全體復數和平面上的全部點一一對應起來，的平面稱為復平面或者這樣表示復數zz

平面。1.1復平面引進復平面后，復數

z

與點

z

以及向量

z

視為同一個概念。在復平面上，從原點到點所引的向量與該復數z

也構成一一y

實軸虛軸xO對應關系(復數零對應零向量)。

比如，復數的加減法等同于向量的平行四邊形法則。一、復數的幾種表示方法1.1復平面將復數和向量對應之后，除了利用實部與虛部來給定一個復數以外，還可以借y

xOxy定義設

z

是一個不為

0

的復數，(1)向量

z

的長度

r稱為復數

z

的模，記為助向量的長度與方向來給定一個復數。(2)向量

z

的“方向角”稱為復數

z

的輻角，記為P一、復數的幾種表示方法1.1復平面1.2復數的模與輻角向量法:復數的模三角不等式幾何上oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1一、復數的幾種表示方法xy+-

兩點說明(1)輻角是多值的，(2)輻角的符號約定為：逆時針取正號，順時針取負號。相互之間可相差其中

k

為整數。例如對于復數則有復數

0

的模為

0，輻角無意義。注1.2復數的模與輻角一、復數的幾種表示方法由此就有如下關系：主輻角對于給定的復數

設有滿足：且則稱為復數

z

的主輻角，或輻角的主值，記作(z不在負實軸和原點)1.2復數的模與輻角一、復數的幾種表示方法(1)已知實部與虛部，求模與輻角。y

xOxy1.3相互轉換關系一、復數的幾種表示方法解(1)已知實部與虛部，求模與輻角。(2)已知模與輻角，求實部與虛部。

由此引出復數的三角表示式。一、復數的幾種表示方法1.3相互轉換關系y

xOxy稱為復數

z

的三角表示式。y

xOxy如圖，有定義設復數

r

是

z

的模，是z

的任意一個輻角，由一、復數的幾種表示方法2.1復數的三角表示利用歐拉公式得稱為復數

z

的指數表示式。定義設復數

r

是

z

的模，是z

的任意一個輻角，但習慣上一般取為主輻角。在復數的三角表示式與指數表示式中，輻角不是唯一的，注一、復數的幾種表示方法2.2復數的指數表示解復數z的三角表示式為復數z

的指數表示式為設乘法即兩個復數乘積的幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；2.3利用指數表示進行復數的乘除法運算一、復數的幾種表示方法設除法兩個復數的商的幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；即2.3利用指數表示進行復數的乘除法運算一、復數的幾種表示方法正確理解特別注意：由于輻角的多值性，該等式兩端都是由無窮多個數構成的兩個數集，等式兩端可能取的值的全體是相同的。也就是說，對于左端的任一值，右端必有一值和它相等，反過來也一樣。分別從集合中與集合中任取一個元素(即輻角)，相加后，得到集合中的一個元素(即輻角)。也就是說：例計算解由有附一些“簡單”復數的指數形式解由有附：人物介紹——歐拉如今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字：初等幾何的歐拉線多面體的歐拉定理解析幾何的歐拉變換四次方程的歐拉解法數論中的歐拉函數微分方程的歐拉方程級數論的歐拉常數變分學的歐拉方程復變函數的歐拉公式…………附：人物介紹——歐拉瑞士數學家、自然科學家(1707～1783)歐拉LeonhardEuler十八世紀數學界最杰出的人物之一。數學史上最多產的數學家。不但為數學界作出貢獻，而且把數學推至幾乎整個物理領域。(牛頓全集

8

卷，高斯全集

12

卷)彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。整理出他的研究成果多達74卷。歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家。以每年平和論文。均800

頁的速度寫出創造性論文。一生共寫下886本書籍分析、代數、數論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，其中附：人物介紹——歐拉歐拉極其頑強的毅力！可以在任何不良的環境中工作。常常抱著孩子在膝上完成論文。在雙目失明以后，也沒有停止對數學的研究。在失明后的17年間，還口述了400篇左右的論文。附：人物介紹——歐拉其中，N為北極，S

為南極。這樣的球面稱作復球面。對復平面上的任一點用直線將

點

相反的，球面上除

N

點外的任意點，用一直線段把點

和

N

連接起來，這條線的延長線與復平面相交于一點p。即與

N點相連，與球面相交于點。p如圖，作一球面與復平面在坐標圓點相切pp3.1復球面一、復數的幾種表示方法定義在復數中與復平面上的無窮遠點相對應的唯一復數，稱為無窮大，記為。定義當z點無限遠離原點時，或當無限變大時，點P

就無

限接近于N，即。與復球面上點N對應的復平面上的唯一點，稱為無窮遠點。3.2無窮遠點與無窮大一、復數的幾種表示方法(2)(3)

法則(1)均無意義。無意義。

實部虛部是多少?問題

模與輻角是多少?3.2無窮遠點與無窮大一、復數的幾種表示方法(2)不包括無窮遠點在內的復平面稱為有限復平面，或者簡稱為復平面。(1)包括無窮遠點在內的復平面稱為擴充復平面；定義3.3擴充復平面一、復數的幾種表示方法二、曲線的復數方程

如何相互轉換？(1)(2)在直角平面上在復平面上考察以原點為圓心、以

R

為半徑的圓周的方程。(2)在復平面上(1)在直角平面上例1指出下列方程表示的曲線解:法1.法2.解:解:解:由向量的性質解:由幾何意義，圓的方程為?例4指出滿足下列條件的點z的全體所構成的圖形.解:解:解:如圖:另解:第三節復數的乘冪與方根一、復數的乘冪二、復數的方根復數z的乘冪，設

z

是給定的復數，

n為正整數，n個

z相乘的積稱為定義一、復數的乘冪設則法則

利用復數的指數表示式可以很快得到乘冪法則。即記為定義由以及復數的三角表示式可得在上式中令r=

1，則得到棣莫弗(DeMoivre)公式：

棣莫弗(DeMoivre)公式一、復數的乘冪例復數求方根是復數乘冪的逆運算。設z是給定的復數，n是正整數，求所有滿足的復數w，稱為把復數z

開n次方，或者稱為求復數z的n

次方根，定義記作或

復數z的

n

次方根一般是多值的。二、復數的方根

利用復數的指數表示式可以很快得到開方法則。設推導即得——正實數的算術根。由有二、復數的方根描述在復平面上，這

n

個根均勻地為半徑的圓周上。根的輻角是分布在一個以原點為中心、以其中一個當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數時，這些根又會重復出現。二、復數的方根例求解具體為：例求解方程解具體為：第四節區域一、區域的概念二、連通域設為復平面上的一點，定義dz0dz0(1)稱點集為點的鄰域；(2)稱點集為點的去心鄰域。一、區域的概念1.1

鄰域M設實數

M

>

0，定義(1)包括無窮遠點在內且滿足的所有點的集合，稱為無窮遠點的鄰域。(2)不包括無窮遠點在內且滿足的所有點的集合，稱為無窮遠點的去心鄰域，也可記為1.2無窮遠點的鄰域一、區域的概念內點1.3內點、外點與邊界點(1)內點外點邊界點考慮某平面點集

G

以及某一點，(2)有外點(1)(2)有邊界點(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點的全體稱為

G的邊界。一、區域的概念1.4開集與閉集開集如果

G

的每個點都是它的內點，則稱

G為開集。閉集如果

G的邊界點全部都屬于

G

，則稱

G為閉集。一、區域的概念1.5區域與閉區域區域平面點集

D

稱為一個區域，如果它滿足下列兩個條件:(1)D

是一個開集；(2)D是連通的，閉區域區域

D

與它的邊界一起構成閉區域或閉域,記作

D。不連通的一條折線連接起來。即

D

中任何兩點都可以用完全屬于

D連通有界區域:稱D為有界區域。一、區域的概念區域1-

2

+

i閉區域(角形)區域2.1平面曲線連續曲線:稱為復變量實參數曲線方程。光滑曲線:有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線。二、連通域考慮連續曲線簡單曲線當時，簡單閉曲線簡單曲線且簡單、不閉簡單、閉不簡單、閉不簡單、不閉或稱為若爾當(Jardan)曲線,即無重點曲線即起點與終點重合2.1平面曲線二、連通域任一條簡單閉曲線

C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：有界區域，稱為C的內部；一個是無界區域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。有向曲線：設

C

為平面上一條給定的光滑(或分段光滑)曲線，指定

C的兩個可能方向中的一個作為正向，則

C為帶有方向的曲線，稱為有向曲線，仍記為

C。代表與

C的方向相反(即

C的負方向)的曲線。如果相應地，

則2.1平面曲線二、連通域逆時針方向。

簡單閉曲線的正向一般約定為：當曲線上的點

P順此方向沿曲線前進時,曲線所圍成的

區域邊界曲線的正向一般約定為：當邊界上的點

P順此方向沿邊界前進時,所考察的區域有界區域始終位于

P點的左邊。始終位于

P

點的左邊。注意區域可以是多連域。2.1平面曲線二、連通域2.2單連通域與多連通域定義復平面上的一個區域B，如果B內的任何簡單閉曲線的內部總在B內，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。單連通域B，屬于B的任何一條簡單閉曲線，在B內可以經過連續的變形而縮成一點，而多連通域不具備這個特征。特征單連通域（無洞）多連通域（有洞）B二、連通域第五節復變函數一、復變函數的定義二、映射的概念基本概念定義—與實變函數定義相類似一、復變函數的定義一般情形下，所討論的“函數”都是指單值函數。比如

多值函數對每個有多個

w

與它對應；比如對每個有唯一的

w

與它對應；

單值函數一、復變函數的定義例如:基本概念——復變函數與實變函數之間的關系

一個復變函數對應兩個二元實變函數——

轉化為對實變函數的研究一、復變函數的定義分開實部與虛部即得代入得解記G*映射復變函數在幾何上被看作是

z平面上的一個平面z平面w點集變到

w

平面上的一個點集的映射(或者變換)。其中，點集稱為像，點集稱為原像。

函數、映射以及變換可視為同一個概念。Gzxywuv圖形表示——復變函數的幾何意義二、映射的概念反函數與逆映射一一映射為

w

平面上的點集

，設函數的定義域為z平面上的點集,函數值集合一個(或幾個)點z，函數它稱為函數

的反函數，也稱為映射的逆映射。若映射

與它的逆映射都是單值的，則稱映射是一一映射。則

中的每個點

w

必將對應著

中的按照函數的定義，在

上就確定了一個二、映射的概念解(1)點對應的點為(2)

區域D

可改寫為：令則可得區域D

的像(區域)G

滿足即函數對應于兩個二元實變函數例因此，它把

z

平面上的兩族雙曲線分別映射成

w

平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20解法1.Z法287第六節復變函數的極限和連續性一、復變函數的極限二、復變函數的連續性定義設函數在的去心領域

內有定義

,若存在復數當時，有記作或(1)

函數在點可以無定義；(2)

趨向于的方式是任意的；則稱A為函數當z趨向于z0時的極限，使得(3)若f(z)

在處有極限,其極限是唯一的一、極限注xyz0d幾何意義uvAef

(z)z

當變點z

一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中一、極限定理一設證明如果則當時，則必要性一、極限充分性則當時，如果證明定理一設則一、極限意義：此定理的意義在于，復變量