第2章連續時間系統的時域分析

引言信號與系統分析的基本任務是在給定系統和輸入的條件下，求解系統的輸出響應。時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統的微分方程，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。連續時間系統可用微分方程表示，因此在時域下分析連續時間系統，實際上就是求解微分方程的過程。而對于離散時間系統可用差分方程表示，因此在時域下分析離散時間系統，實際上就是求解差分方程的過程。系統分析過程經典法:電路分析基礎課里已經討論過，求解微分方程的齊次解和特解，代入初始條件求解系數，得出全響應；卷積積分法:

任意激勵下的零狀態響應可通過沖激響應來求。(新方法)線性系統完全響應的求解；零輸入響應和零狀態響應的求解；沖激響應h(t)

和階躍響應g(t)的求解；卷積的定義；圖解法求卷積；卷積的性質；卷積積分法求系統響應；本章主要內容§2.1系統微分方程的經典求解許多實際系統可以用線性系統來模擬。若系統的參數不隨時間而改變，則該系統可以用線性常系數微分方程來描述。一．物理系統的模型本節復習求解系統微分方程的經典法：物理系統的模型微分方程的列寫n階線性時不變系統的描述求解系統微分方程的經典法根據實際系統的物理特性列寫系統的微分方程。對于電路系統，主要是根據元件特性約束和網絡拓撲約束列寫系統的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。網絡拓撲約束：由網絡結構決定的電壓電流約束關系,以基爾霍夫電流定律KCL，基爾霍夫電壓定律KVL表示。二．微分方程的列寫1.元件約束VAR在電流、電壓取關聯參考方向條件下：(1)電阻R，uR(t)=R·iR(t)；(2)電感L，

(3)電容C，(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關系等。2.結構約束KCL與KVL下面舉例說明。例如圖所示電路，輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為輸出響應變量的方程式。

由KVL，列出電壓方程對上式求導考慮到所以根據KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))

整理上式后，可得三．n階線性時不變系統的描述

一個線性系統，其激勵信號與響應信號之間的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述若系統為時不變的，則a，b均為常數，此方程為常系數的n階線性常系數微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。分析系統的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域經典法就是：齊次解+特解。四．求解系統微分方程的經典法

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，響應為時的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據微分方程右端函數式形式，設含待定系數的特解函數式→代入原方程，比較系數定出特解。2.1.1微分方程的經典解全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。齊次解滿足齊次微分方程

y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0由高等數學經典理論知，該齊次微分方程的特征方程為

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0齊次解

(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解(3)特征根有一對單復根。即λ1,2=a±jb，則微分方程的齊次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt或yh(t)=Aeatcos(bt-θ)

(4)特征根有一對m重復根。即共有m重λ1,2=a±jb的復根，則微分方程的齊次解系統的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為例系統的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為例特征根齊次解yh(t)特征根與相應的齊次解形式單根r重根共軛復根r重共軛復根激勵函數e(t)響應函數y(t)的特解幾種典型激勵函數相應的特解或如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式為使等式兩端平衡，試選特解函數式

將此式代入方程得到

例等式兩端各對應冪次的系數應相等，于是有聯解得到所以，特解為

這里，B是待定系數。代入方程后有：(2)全解將微分方程的齊次解和特解相加可得到全解。全解中的待定系數可由系統的初始條件確定。試求的全解。

給定微分方程式（1）系統特征方程為例由此求的系統特征根為λ1=-2、λ2=-3。其齊次解形式為（2）已知激勵信號為e(t)=2e-tε(t),可設特解將特解與激勵e(t)=2e-tε(t)帶入原微分方程，可得P=1所以（3）微分方程全解為全解一階導數為令y(t)、y’(t)兩式中的t=0+，結合已知初始條件，得故系統微分方程全解為

齊次解（自由響應）

特解（強迫響應）已知激勵信號e(t)=sin2t(t≥0)，初始時刻，電容端電壓均為零，求輸出信號v2(t)。例(1)列微分方程2.1.2關于系統t=0-與t=0+狀態的討論我們來進一步討論的條件。

當系統用微分方程表示時，系統從到狀態有沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數項。

一般情況下換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于一個具體的電網絡，系統的狀態就是系統中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，狀態就會發生跳變。說明由伏安關系當有沖激電流或階躍電壓作用于電容時：1．電容電壓的突變如果為有限值，沖激電壓或階躍電流作用于電感時：2．電感電流的突變配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數應該平衡(其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例：

3．沖激函數匹配法（沖激平衡法）確定初始條件在中時刻有

中的表示到的相對跳變函數，所以，分析設則代入方程得出所以得即即數學描述（1）將x(t)代入微分方程，得例方程右端的沖激函數項最高階次是，因而有代入微分方程(2)求得因而有例§2.2零輸入響應和零狀態響應

自由響應＋強迫響應

(Natural+forced)零輸入響應＋零狀態響應

(Zero-input+Zero-state)暫態響應+穩態響應

(Transient+Steady-state)

也稱固有響應，由系統本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應于特解。

是指激勵信號接入一段時間內，完全響應中暫時出現的有關成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全響應中減去暫態響應分量即得穩態響應分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態（起始時刻系統儲能）所產生的響應。

不考慮原始時刻系統儲能的作用（起始狀態等于零），由系統的外加激勵信號產生的響應。

(1)自由響應：(2)暫態響應：穩態響應：強迫響應：(3)零輸入響應：零狀態響應：各種系統響應定義2.2.1零輸入響應零輸入響應是在初始狀態不為零而輸入為零時的響應。由于輸入為零，系統微分方程為齊次方程，零輸入響應解的形式與齊次解的形式相同。

某LTI系統微分方程為y’’(t)+5y’(t)+4y(t)=e(t)已知y’(0-)=1,y(0-)=2。試求該系統零輸入響應yzi(t)。例

由微分方程可得特征方程為

λ2+5λ+4=0求得特征根為λ1=-1，λ2=-4。此系統零輸入響應可寫為yzi(t)=C1e-t+C2e-4tt≥0結合系統的初始狀態y’(0-)=1,y(0-)=2，可得故此系統的零輸入響應為此例中，若激勵信號為，求齊次解。有代入微分方程求得因而有結合系統的初始條件y’(0+)=2,y(0+)=2，可得故此系統的齊次解為2.2.2零狀態響應零狀態響應是在系統初始狀態為零，即y(0-)=y’(0-)=y’’(0-)=…=y(n-1)(0-)=0，但激勵不為零時的響應。此時系統的微分方程是非齊次方程，解的本身包含齊次解和特解兩部分。實際上，求解零狀態響應就是求解系統初始狀態為零的條件下的系統全響應。例例

系統零輸入響應，實際上是求系統方程的齊次解，由非零的系統狀態值決定的初始值求出待定系數。

系統零狀態響應，是在激勵作用下求系統方程的非齊次解，由為零決定的初始值求出待定系數。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統的零狀態響應=激勵與系統沖激響應的卷積，即求解過程分析2.3.1沖激響應當系統的激勵信號為單位沖激信號δ(t)時，系統的零狀態響應稱作單位沖激響應，簡稱為沖激響應，常用“h(t)”表示。沖激響應h(t)反映了系統的特性，同時也是利用卷積積分進行系統時域分析的基礎。§2.3沖激響應與階躍響應（1）抽樣性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微積分性質（5）沖激偶

（6）卷積性質

沖激函數的性質總結系統的沖激響應線性時不變系統的單位沖激響應，是指系統初始狀態為零，激勵為單位沖激信號作用下的響應，簡稱沖激響應，且用表示。2.3.2階躍響應當激勵信號e(t)為單位階躍信號ε(t)，系統的零狀態響應稱作單位階躍響應，簡稱階躍響應，常用“g(t)”表示。

例§2.4卷積積分2.4.1卷積的定義例例2.4.2卷積運算的圖形解釋

用圖解法直觀，尤其是對于分段函數，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確。

例兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

0

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限0，上限t

，t

為移動時間;0<t

3t

>3卷積結果例浮動坐標：下限上限t-3t-0t：移動的距離t=0f2(t-)

未移動t>0f2(t-)右移t<0f2(t-)左移-11浮動坐標兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-1，上限t

，t

為移動時間;-1<t

1即1<t21<t

2即2<

t42<t

4即t>4t-3>1t

>4卷積結果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般規律：-1+1卷積結果區間的確定例兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-2，上限t-1，t

為移動時間;-1<t

11<t

33<

t

5t

>5卷積結果2.4.3借助沖激響應與疊加原理求解系統的零狀態響應1、連續信號的時域分解2、利用卷積積分求解零狀態響應

當系統在任意波形信號x(t)激勵下的零狀態響應y(t)。對于線性時不變系統來說，若系統的沖激響應為h(t)，則以下推理成立：將上式與卷積積分的定義式比較可以看出，系統在激勵信號x(t)作用下的零狀態響應為x(t)與系統沖激響應h(t)的卷積積分，即在一般情況下，由于激勵信號與沖激響應都為因果信號，所以上式可寫為這樣對于一個系統（微分方程），它的零輸入響應為微分方程的齊次解。而零狀態響應可以通過求輸入信號與沖激響應卷積的方法得到，這樣可以避免當輸入信號較復雜時，通過微分方程直接求解的困難。同時這種求解思想也是變換域系統分析的基礎。例§2.4卷積積分的性質卷積的代數運算卷積的微分與積分函數與沖激函數的卷積卷積的時移特性1．交換律1、卷積的代數運算

交換律表明兩函數在卷積積分時的次序是可以任意交換的。在圖解法求卷積時，無論f1(t)和f2(t)中的那一個倒置都可以。對于不同情況，倒置不同的信號對解題的難度會有影響。n個信號相加作用于系統所產生的零狀態響應，等于這n個信號分別作用于系統所產生的零狀態響應之和。2．分配律系統并聯，框圖表示：

結論：子系統并聯時，總系統的沖激響應等于各子系統沖激響應之和。系統并聯3．結合律系統級聯，框圖表示：

結論：時域中，子系統級聯時，總的沖激響應等于子系統沖激響應的卷積。

系統級聯圖(a)系統由三個子系統構成，已知各子系統的沖激響應如圖(b)所示。求復合系統的沖激響應，并畫出它的波形。(a)(b)例2、卷積的微分與積分例

試求f(t)=ε(t)*ε(t)(1)根據卷積微積分性質，有(2)根據卷積積分的定義，有推廣：3.函數與沖激函數的卷積——重現特性例例已知f1(t)與f2(t)波形如圖，求f1(t)*f2(t)f1(t)*f2(t)=f1

(t)*[δ(t+2)+δ(t-2)]=f1

(t+2)+f1

(t-2)

也就是說，只需在每個沖激信號出現的位置處重畫信號f1

(t)即可，卷積結果。例例例已知某系統激勵信號x(t)=e-tε(t)，系統沖激響應h(t)=ε(t)-ε(t-2)，試求該系統的零狀態響應。根據卷積的微分性質yzs(t)=x(t)*h(t)=x(-1)(t)*h’(t)=x(-1)(t)*[ε(t)-ε(t-2)]’=x(-1)(t)*[δ(t)-δ(t-2)]=x(-1)(t)-x(-1)(t-2)卷積的重現特性設單個脈沖信號f0(t)的波形如圖a所示。另一個周期為T的周期性單位脈沖序列δT(t)如圖b所示，其表達式為計算f0(t)與δT(t)的卷積積分，得例

已知一個周期信號fT(t)的波形如圖所示，試寫出fT(t)的函數表達式。周期信號fT(t)的周期為T=5，可將周期信號表示為常用信號的卷積公式4.卷積的時移特性例例例已知某線性非時變(LTI)系統的數學模型為y”(t)+7y’(t)+12y(t)=2x’(t)+3x(t)

已知：激勵x(t)=2e-2tε(t)，初始狀態：y(0-)=1，y’(0-)=2，試求：(1)系統零輸入響應；

(2)系統的沖激響應；

(3)系統的零狀態