第三章 規則金屬波導2/4/2023規則金屬波導及其特點規則金屬波導的特征沿其軸線方向，它的橫截面形狀、尺寸，以及填充媒質的電參數和分布狀態，均不變化的無限長的直波導。規則金屬波導的場論分析金屬波導管內的電磁場分析是典型的邊值問題，屬本征值問題；規則金屬波導僅有一個導體，不能傳播TEM導波；可以傳播TE和TM導波，且存在無限多的模式，這些導模在傳播中存在嚴重的色散現象，并具有截止特性；每種導模都具有相應的截止波長c（或截止頻率fc

），只有滿足條件c>（工作波長）或fc<f才能傳輸。2/4/20233.1矩形波導

矩形波導是橫截面為矩形的空心金屬管，如圖所示。圖中a和b分別為矩形波導的寬壁和窄壁尺寸。由于矩形波導不僅具有結構簡單、機械強度大的優點，而且由于它是封閉結構，可以避免外界干擾和輻射損耗；因為它無內導體，所以導體損耗低，而功率容量大。在目前大中功率的微波系統中常采用矩形波導作為傳輸線和構成微波元器件。

2/4/20231、矩形波導的導模寫出無源區域的Maxwell方程組1）、矩形波導的一般解上式稱Helmholtz方程2/4/2023波導的一般解采用縱向分量法，其流圖如下所示，橫向場用縱向場分量表示縱向分量方程2/4/2023對于如圖所示的矩形波導，由式（1.4－30），可得橫—縱向場關系式有：2/4/2023由式（1.4－23），得縱向場Ez和Hz構成如下邊值問題邊界條件為：TE導波TM導波2/4/2023TEmodes應用分離變量法，可得Hz的基本解為

m和n為任意正整數，稱為波形指數。任意一對m、n值對應一個基本波函數，這些波函數的組合，構成Hz的一般解：2/4/2023最后可得傳輸型TE導模的場分量為2/4/2023式中式中m和n分別代表場強沿x軸和y軸方向分布的半波數。一組m,n值代表一種橫電波波型。由于m=0及n=0時所有場分量才為零，因此矩形波導中存在等波型。若，則模是最低次波型，其余波型為高次波型。2/4/2023TMmodes應用分離變量法，可得Ez的基本解為2/4/2023最后可得傳輸型TM導模的場分量為2/4/2023式中式中m和n分別代表場強沿x軸和y軸方向分布的半波數。一組m,n值代表一種橫磁波波型，記作。由于m=0或n=0時所有場分量均為零，因此矩形波導不存在等波型，所以是最簡單的波型，其余波型為高次波型。2/4/20232、導模的場結構導模的場結構是分析和研究波導問題、模式的激勵以及設計波導元件的基礎和出發點；導模的場結構導模在矩形波導橫截面上的場呈駐波分布，m和n分別表示場量沿矩形波導寬壁和窄壁的半駐波數。整個導模以完整的場結構（場型）沿軸向（z向）傳播。用電力線和磁力線的疏密來表示波導中電場和磁場的強弱，場結構便是波導中電力線和磁力線的形狀與疏密分布；2/4/2023TE10場分布圖所謂場分布圖就是在固定時刻，用電力線和磁力線表示某種波型場強空間變化規律的圖形。TE10模的場分量為

TE10模場強與y無關，場分量沿y軸均勻分布。各場分量沿x軸的變化規律為導模的場結構2/4/2023

矩形波導TE10模場分量的分布規律(a)場分量沿x軸的變化規律；(b)場分量沿z軸的變化規律；(c)矩形波導橫截面上的場分布；(d)矩形波導縱剖面上的場分布.導模的場結構2/4/2023某一時刻TE10模完整的場分布如圖所示，隨時間的推移，場分布圖以相速沿傳輸方向移動。矩形波導TE10模的場分布圖導模的場結構2/4/2023矩形波導中TE和TM模場結構截面圖2/4/20233、管壁電流研究波導管壁電流結構有著重要的意義：波導損耗的計算需要知道波導管壁電流；在實際應用中，波導元件的連接及通過在波導壁上開槽或孔以做成特定用途的元件，此時接頭與槽孔的位置就不應破壞波導管壁電流的通路，否則將嚴重破壞原波導內的電磁場分布，引起輻射和反射，影響功率的有效傳輸；當需要在波導壁上開槽做成裂縫天線時，開槽就應切斷管壁電流。矩形波導TE10模的管壁電流與管壁上的輻射性和非輻射性槽.2/4/2023管壁電流2/4/20234、矩形波導的傳輸特性TE波和TM波的傳播常數1)、導模的傳播條件對于傳播模，應為實數。2)、導模的截止截止時，2/4/2023截止波長

截止波長不僅與波導尺寸a和b有關，而且與決定波型的m和n有關，截止頻率還與介質特性有關。TE波和TM波的截止頻率為截止條件可記為：因此，波導是一只高通濾波器，低頻信號無法通過.矩形波導的傳輸特性2/4/2023當波導尺寸a和b給定時，將不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波長。其分布如圖BJ-100型波導不同波型截止波長的分布圖從圖中可以看出，TE10模的截止波長最長，它右邊的陰影區為截止區。矩形波導的傳輸特性2/4/20233)、模式簡并現象

不同導模的截止波長相同現象

相同的波型指數m和n的TEmn和TMmn的截止波長相同，矩形波導的導模具有雙重簡并。4)、主模模——基模（1）通常矩形波導工作在TE10單模傳輸情況，因為TE10模容易實現單模傳輸。（2）當工作頻率一定時傳輸TE10模的波導尺寸最小.矩形波導的傳輸特性2/4/2023（3）若波導尺寸一定，則實現單模傳輸的頻帶最寬。為了實現TE10單模傳輸，則要求電磁波的工作波長必須滿足下列條件即當工作波長給定時，若要實現TE10單模傳輸，則波導尺寸必須滿足矩形波導的傳輸特性2/4/20235)、波的傳播速度和色散(1)相速和相波長相速是指導波系統中傳輸電磁波的等相位面沿軸向移動的速度。等相位面在一個周期T內移動的距離定義為相波長矩形波導的傳輸特性2/4/2023對于TE波和TM波，相速為相速（介質中的光速），相速并不是能量傳播速度(2)群速這些多種頻率成分構成一個“波群”，又稱為波的包絡，其傳播速度稱為群速。群速的關系式

矩形波導的傳輸特性2/4/2023群速、相速和光速三者的關系為：但，對于TEM波群速的定義式為矩形波導的傳輸特性2/4/2023(3)色散TE波和TM波的相速和群速都隨波長而變化，即是頻率的函數，這種現象稱為“色散”。因此，TE波和TM波統稱為“色散波”；而TEM波的相速和群速相同，且與頻率無關，沒有色散現象，故稱為“非色散波”。

波導色散現象與基于媒質特性產生的色散現象不同。由于我們已假定波導中媒質是線性的，即不隨頻率而變化，所以波導中電磁波產生色散的原因是由波導系統本身的特性(即邊界條件)所引起的。矩形波導的傳輸特性2/4/2023主模的波導波長

6)、波導波長

7)、波阻抗波阻抗定義為相互正交的橫向電場與橫向磁場之比矩形波導的傳輸特性2/4/2023對于TEM波，對于TE波和TM波，

傳輸狀態截止狀態

矩形波導的傳輸特性2/4/2023例某一內部為真空的矩形金屬波導，其截面尺寸為25mm10mm

，當頻率的電磁波進入波導中以后，該波導能夠傳輸的模式是什么？當波導中填充介電常數的理想介質后，能夠傳輸的模式有無改變？

解當內部為真空時，工作波長為截止波長為2/4/2023若填充的理想介質，則工作波長為因此，除TE10波及TE20波外，還可傳輸其它模式。計算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可傳輸。因為，，更高次模的截止波長更短，可見，當該波導中為真空時，僅能傳輸的模式為TE10波。

2/4/2023例若內充空氣的矩形波導尺寸為，工作頻率為3GHz。如果要求工作頻率至少高于主模TE10波的截止頻率的20%，且至少低于TE01波的截止頻率的20%。試求：①波導尺寸a及b；②根據所設計的波導，計算工作波長，相速，波導波長及波阻抗。解

①TE10波的截止波長，對應的截止頻率為TE01波，對應的截止頻率。求得，，取，。題意要求2/4/2023

②工作波長，相速，波導波長及波阻抗分別為

2/4/2023矩形波導TE10波型的等效阻抗TE10波型的波阻抗為：

ZTE10是一個很重要的參數。在同一波導里，應用它在研究波的反射、駐波、匹配，以及波導元件相對電納等問題時，是不會有什么問題的；但在研究不同尺寸波導之間的連接問題時，由于波型阻抗與矩形波導窄壁尺寸b無關，因此，兩個波導管的窄壁尺寸b雖不相同，只要它們的寬壁尺寸相同，則它們的波型阻抗相同；若僅根據波型阻抗相同(b不同)，而把兩個波導管連在一起，在實際上就會產生反射。2/4/2023可見，在研究不同尺寸波導之間的連接問題時，為了把連接后的反射減到最小，而要引入等效阻抗的概念。為了求等效阻抗，應先求出等效電壓U、等效電流I和傳輸功率P。對于TE10波型，通常是將波導橫截面上，兩寬壁中心線之間的電場強度的線積分作為等效電壓；把寬壁內表面上總的縱向電流作為等效電流。即：根據等效電壓U、等效電流I和傳輸功率P，可分為三種情況定義等效阻抗：2/4/2023用等效電壓U和等效電流I定義等效阻抗Ze：用等效電壓U和傳輸功率P定義等效阻抗Ze：2/4/2023對于等效阻抗的三種表示方法，可以任選其中其中的一種，但在同一問題中只能采用一種，否則會帶來很大的誤差。用等效電流I和傳輸功率P定義等效阻抗Ze：2/4/2023在討論波的反射、駐波、匹配等問題時，利用等效阻抗的概念，隨比利用波型阻抗能較好地解決一些問題，但也只能得出一些近似的結果，即這種方法并不是一種嚴格的計算方法。在實際問題中，往往只需要知道阻抗之間的相對值，因此，為了計算方便，常將上述的三種等效阻抗公式中的系數去掉，因此可得等效阻抗為：2/4/20238)、矩形波導中傳輸功率和功率容量(1)傳輸功率在行波狀態下，傳輸的平均功率矩形波導的傳輸特性2/4/2023xzy0abds當傳輸TE10模時，

矩形波導的傳輸特性2/4/2023波導中填充空氣介質時，(2)功率容量波導中最大承受的極限功率稱為波導的功率容量。行波狀態下波導傳輸TE10模的功率容量在空氣中的擊穿場強矩形波導的傳輸特性2/4/2023實際傳輸線上總有反射波存在。在行駐波狀態下，矩形波導傳輸TE10模的功率容量應修正為為了留有余地，波導實際允許傳輸的功率一般取行波狀態下功率容量理論值的25%～30%。矩形波導的傳輸特性2/4/20239)、傳輸功率及損耗導波系統所傳輸的電磁波平均功率

矩形波導的傳輸特性實用矩形波導常以TE10模工作，其2/4/2023于是矩形波導TE10模的傳輸功率為若|E10|以空氣的擊穿場強Ebr=30kv/cm代入,可得矩形波導TE10模的脈沖功率容量為2/4/2023實際中，由于導波系統的電導率是有限的，且所填充的介質也是非理想的，所以實際的導波系統都存在著導體損耗和介質損耗。因而電磁波在傳輸過程中，其振幅會逐漸減小，也就是說存在功率損耗，這種損耗應根據具體情況來計算。2/4/2023矩形波導的傳輸特性衰減是指波在傳輸過程中，其幅值或功率不斷減小的現象。有兩種情況，一是當>c時，傳播常數為實數，波沿軸線方向無相位變化，而幅度則指數規律衰減，波導已不能傳輸能量，此時的場稱為消失(衰減)場。這種損耗不是由于能量損失引起的，而是不滿足傳輸條件的原故，稱為截止式衰減。另一種是，由于波導壁并非理想導體，高頻電流在其上流過時會產生損耗，且波導中介質也有損耗，從而引起導行波的衰減。這里討論的就是指后一種情況的衰減。當考慮損耗時，傳播常數為：衰減和損耗c和d分別表示波導壁和波導中介質引起的衰減常數。2/4/2023矩形波導的傳輸特性

c的計算(導體引起的損耗)設在規則波導中，參考面z=0處的輸入功率為P0，則與該處相距單位長度處橫截面上的輸出功率為：因此單位長度損耗的功率及c的計算式為：2/4/2023

PL的計算

設在波導內壁表面上的微分面元為dS=dldz，dl和dz分別是沿波導橫截面的周界和沿z方向的微元長度。在該微分面元損耗的功率為：由此得到單位長度的損耗功率為：式中是波導壁的高頻表面電阻；H是波導表面的磁場切向分量。2/4/2023由此得到c的計算式：代入相應的場量關系，進過一系列計算后，得到各模式的c：ZW：波形阻抗，定義為與的比值。2/4/20232/4/2023例計算矩形波導中傳輸TE10波時，波導壁產生的衰減。

解已知當矩形波導傳輸TE10波時，波導寬壁上的電流具有x

分量及z

分量，而窄壁上只有y分量。因此，單位長度內，寬壁上的損耗功率為式中單位長度內窄壁上的損耗功率為式中zyx2/4/2023再算出傳輸功率P，即可求得TE10波衰減常數為則單位長度內總損耗功率為2/4/2023在波導中填充的介質造成熱損耗的原因：實際介質并非理想(0)，因而存在傳導電流引起的損耗；由于介質中的電子或原子具有一定質量和慣性，在微波電磁場的作用下，很難隨之同步振蕩，而在時間上有滯后現象，對簡諧場而言，表現為相位滯后，及D與E的關系中不再是純實數，而是一個復數。這兩種情況均可利用復數介電常數來表示，因此，復數傳播常數可寫為：d的計算(介質引起的損耗)2/4/2023實際上大部分介質材料的損耗都很小(損耗正切tan<<1)，所以這個表示可用臺勞級數的前兩項來簡化為：對于無耗介質，由此得到均勻有耗介質的介質衰減常數為：2/4/2023通常波導中填充空氣介質，其損耗極小，因而我們主要考慮波導壁上的損耗。矩形波導TE10波的衰減常數c及各種波型衰減的比較如圖所示。2/4/20235、矩形波導的截面尺寸選擇傳播主模TE10模的波導截面尺寸條件綜合考慮抑制高次模，損耗小和傳輸功率大等條件，一般選擇波導尺寸確定后，不出現高階模，工作波長范圍2/4/2023以矩形波導為例，盡管在z方向它們只可能是入射波加反射波，但是由于橫向邊界條件，它們由TEmn和TMmn波組成并且它們只能由TEmn和TMmn波組成(后者，我們稱之為完備性)，矩形波導中這些波的完備集合——即簡正波。任何情況的可能解，只能在簡正波中去找，具體場合所不同的僅僅是比例和組合系數，事實上，這樣就把求復雜場函數的問題變換成求各個模式的系數。6、關于簡正波的討論2/4/2023

矩形波導的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有廣義傳輸線功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于邊界條件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上稱之為離散譜。有限邊界構成離散譜。

m—x方向變化的半周期數；

n—y方向變化的半周期數。矩形波導中TE波和TM波的全部集體構成簡正波。

2/4/20231.完備性矩形波導中不論放置什么障礙物和邊界條件，它們里邊存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它們也只能存在TEmn和TMmn模式，具體情況所不同的僅僅是各種模式的比例與組合。2.正交性簡正模中各個模式是相互正交的，也就是說，它們之間沒有功率和能量交換，即各模式相互獨立，在Fourier分析中表明2/4/2023保證了每一模的獨立性。

3.傳輸模和雕落模由于頻率的選擇，每一種模都有可能成為傳輸模或雕落模。2/4/2023截止波數傳輸模凋落模2/4/2023主模TE10模小結2/4/20232/4/2023TE10波表達式，是以為領矢矢量的。然而，在實用上也常有用作領矢矢量2/4/2023最終得到2/4/2023

(2)Pbr與有關設00.50.91.01f(x)x很明顯，x愈接近1則功率容量愈低，且x<0.5會出現其它模式。功率容量2/4/2023在電磁理論中已經講過波導管壁的傳導電流分布是由管內磁場的切向分量所決定。HtJsn2/4/20232/4/2023在波導中凡是切斷電流的都要引起輻射和損耗，所以，波導與法蘭的連接一定要密切配合。2/4/2023一般認為波導空間(AirSpace)是無耗的，所謂衰減是指電流的壁損耗。假定P0是理想導體波導的傳輸功率，則單位長度內的功率損耗在波導內表面壁ds=dldz上衰減功率2/4/2023xzy0dzdlJsm——表面電流密度；Rs——表面電阻2/4/2023而輸入功率0fαb=0.1ab=0.5a2/4/2023［例1］BJ-100波導，a×b=22.86×10.16mm2，求單模傳輸的波長范圍和頻率范圍。［解］已經知道單模傳輸條件是λcmn＜λ＜2a2/4/2023十分明顯，第二模式是λc20=22.86mm。因此，單模傳輸2/4/20233.2圓形波導

圓波導是橫截面為圓形的空心金屬管，如圖所示，其尺寸半徑為R。1.圓波導的提出來自實踐的需要。例如，雷達的旋轉搜索。如果沒有旋轉關節，那只好發射機跟著轉。象這類應用中，圓波導成了必須要的器件。以后要用到的極化衰減器，多模或波紋喇叭，都會應用到圓波導。可以這樣說,幾何對稱性給圓波導帶來廣泛的用途和價值2/4/20232.從力學和應力平衡角度，機加工圓波導更為有利，對于誤差和方便性等方面均略勝矩形波導一籌。

3.根據微波傳輸線的研究發現：功率容量和衰減是十分重要的兩個指標。這個問題從廣義上看引出一個品質因數F很明顯，在相同周長的條件下，圓面積最大。2/4/20234.矩形波導中存在的一個矛盾當我們深入研究波導衰減，發現矩形波導中TE10模頻率升高時衰減上升很快。仔細分析表明，衰減由兩部分組成：一部分稱縱向電流衰減，另一部分是橫向電流衰減。當頻率升高時，橫向電尺寸加大，使橫向電流衰減反而減少。這樣所構成的矛盾因素使衰減有了極小值，極小值之后形成頻率升高時衰減增加。而以后在圓波導中將會發現，有的波型(圓波導中H01波型)無縱向電流，因此，若采用這種波型會使高頻時衰減減小。0fαb=0.1ab=0.5a2/4/2023圓波導H01波衰減矩形波導TE10波衰減0f0fαα縱向電流橫向電流橫向電流αmin2/4/2023圓波導具有軸對稱性，故宜采用圓柱坐標來分析。由于圓波導具有損耗較小和雙極化的特性，所以常用作天線饋線和微波諧振腔，也可作較遠距離的傳輸線。2/4/2023由橫—縱向場方法，可得縱向場分量滿足如下亥姆霍茲方程：

一、圓形波導的導模1.圓形波導一般解如圖所示,在圓柱坐標2/4/2023以TE波作為例子，這時Ez=02/4/2023

有限條件：有限性

周期性：

理想導體條件：切向分量為零其解分別是其中c1，c2，c3，c4為常數。m=0，1，2，…為整數。邊界條件：m階諾依曼函數2/4/2023本征解2.縱向分量法利用縱向分量表示橫向分量2/4/20232/4/2023邊界條件TE導波TM導波2/4/2023令為貝賽爾函數導數的根，本征值二、TE波場分量表達式2/4/2023圓波導中TE波截止波長值波型H11H21H01

1.8413.0543.832

3.41a2.06a1.64a

2/4/2023應用分離變量法，并考慮到邊界條件及Bessel函數的漸進性質，可得各TE模式的縱向場分量分別為：TE模(TEModes)2/4/2023

式中，為的根。第一類貝塞耳函數及其導函數曲線如圖所示。結果表明，圓波導中可以存在無窮多種TE導模，以TEmn表示。場量沿圓周和半徑方向都呈駐波分布，而且，沿圓周按三角函數規律分布，沿半徑按貝塞耳函數或其導數規律分布。m除表示貝塞耳函數的階數2/4/2023

之外，同時還表示場量沿圓周分布的整駐波個數；n除表示貝塞耳函數或其導數的根的序號之外，同時還表示場量沿半徑分布的半駐波個數(即場量出現最大值的個數)。截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數：2/4/2023完全類似，用邊界條件確定kc在r=a處,Ez=0也即設第一類Bessel函數m階第n個根為umn，則即可得到

三、TM波場分量表達式2/4/2023其中是的根。b.TM模(TMModes)2/4/2023結果表明，圓波導中可以存在無窮多種TM導模，以TMmn表示。波形指數m、n的意義與TEmn相同。截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數：2/4/2023圓波導TM波截止波數kc

波型E01E11E212.4053.8325.1352.62a1.64a1.22a2/4/2023基本結論：圓波導中導模的傳輸條件是c>或fc<f；導模的截止也是由于消失模的出現。圓波導中的導模存在兩種簡并現象：一種是TE0n模與TM1n模簡并，即有cTE0n=cTM1n;另一種是m0的TEmn或TMmn模的極化簡并。圓波導的主模是TE11模，其截止波長最長，cTE11＝3.14a；幾種典型波型截止波長分布如圖所示.2/4/2023

1.圓波導中TE波和TM波有無限多個n=0表示第0個根，也即，也即TEm0，TMm0波不存在。但是它卻可以存在TE0n，TEmn，TM0n和TMmn波，其中m=0表示在圓周方向不變化。2.TE波截止波長取決于m階Bessel函數導數第n個根

TM波截止波長取決于m階Bessel函數第n個根四、圓形波導的簡并2/4/20233.圓波導中的兩種簡并1)極化簡并——即和兩種，相互旋轉90°

圓波導波型的極化簡并，使傳輸造成不穩定，這是圓波導應用受限制的主要原因。0a2a3a4alcHE0111H21E01H11Cut-offRegion圓波導的截止與傳播區域2/4/2023即對同一

n、i而言，場沿

j方向(圓周方向)分別存在著sinnj和cosnj兩個線性無關的獨立成分，但其lc相同，傳播特性相同,只是極化面旋轉了90°，這種簡并稱為極化簡并。當n=0時，sin

nj

=0,其模式在j

方向(圓周方向)無變化。故而，在園波導中，除TE0i、TM0i模外，其余模都存在極化簡并。這種簡并在園波導中很難避免，給實際應用帶來一些困難。當n時，2/4/20232）E1n和H0n（簡并）（截止波長λc相同）這是因為Bessel函數有遞推公式取n=0，有和矩形波導不同，由于TE，TM截止波長的不同物理意義，TEmn和TMmn不發生簡并4.波型指數m，n的含義

m代表沿圓周φ分布的整駐波數n代表沿半徑r分布場的最大值個數;因為Hon是的第n個根，E1n是J1的第n個根，很顯見，這兩類波型將發生簡并。2/4/2023

TE11模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電場分布；圖(c)為圓波導壁上的壁電流分布。圓波導中三種主要波型，即TE11模，TM01模TE01模。

1.傳輸主模——TE11模在圓波導中，H11模截止波長最長，λc=3.412a，是最低型波也即傳輸主模。五、圓形波導中三種主要波型2/4/2023H11模中的m=1，n=1，=1.8412/4/2023m=1n=1090180270360ooooojErEj0RrJ`1rEraE==ˉ==00

jjmaxjjjj=°==°?=°==°?-00901800270

EEEErrrrmaxmax2/4/2023與矩形波導TE10模場結構相似，因此圓波導TE11模可由矩形波導TE10模來激勵。如圖所示。存在極化簡并，所以一般情況下不宜采用TE11模來傳輸微波能量和信號。利用TE11模的極化簡并可以構成一些雙極化元件。TE11模特點2/4/20232、低損耗TE01模()TE01場結構具有軸對稱性，在波導內表面上只有表面電流J,而沒有縱向電流，因此導體損耗較小，使其適宜于作微波長距離低損耗傳輸與高Q值圓柱諧振腔的工作模式。由于TE01模不是圓波導的主模，而且又與TM11互為簡并波型，因此使用時需設法抑止其它的低次模傳輸。半徑為25mm的銅質圓波導的衰減常數曲線：2/4/2023

TE01模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場分布；圖(c)為壁電流的分布。

TE01模常作為高Q諧振腔和遠距離的毫米波傳輸線的工作模式。另外由于它是圓電模，也可作為連接元件和天線饋線系統的工作模式。但由于它不是主模，因此該模式作為工作模式時，必須設法抑制其它模式。2/4/2023場方程是截止波長2/4/2023m=0

圓對稱在方向不變n=1EHrJxxRrraarj,()......沿方向有一最大值在有極大值116413832164116413832048===?E,Hjr0r0.48aaHz0r0.48a

2/4/2023可見電流只有—φ方向分量，也即H01模壁電流只有橫向分量，衰減α隨f上升而下降為了揭示H01的小衰減特點，讓我們考察其壁電流2/4/20233、圓對稱TM01模（）圓波導的最低橫磁模，是圓波導的次主模，沒有簡并。由于TM01的場結構具有軸對稱性，而且易于與矩形波導中的TE10模發生耦合，因此，在具有旋轉連接的饋線中常用到這種型。如圖所示。2/4/2023TM01模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場分布；圖(c)為壁電流的分布。TM01模適用于微波天線饋線旋轉鉸鏈的工作模式。由于它具有Ez分量，便于和電子交換能量，可作電子直線加速器的工作模式。但由于它的管壁電流具有縱向電流，故必須采用抗流結構的連接方式。2/4/2023其場方程為2/4/2023E01模的m和nm=0軸對稱型沿方向場分量不變n=10jE,HrjEz00rr0.765RRJ`(x)0J(x)0R

2/4/2023旋轉關節(RatationJunction)由于E01波的特點，常作雷達的旋轉關節，見圖所示2/4/2023作為比較所以，H01波可以做高Q諧振腔和毫米波遠距離傳輸。2/4/20230faE01H11H012/4/2023為TE11波的截止頻率TE11波衰減極值點：TM01波衰減極值點：0faE01H11H012/4/2023圓波導波型設計H11模E01模H01模lllllllCECHRaaa0111341262262a34113＜＜＜＜＜＜一般選

....?llllllCHCEaaa2101206262262206＜＜＜＜＜＜....

llllllCECHaaa2101122164164122＜＜＜＜＜＜....

2/4/20232/4/2023圓波導復習圓波導具有軸對稱性，故宜采用圓柱坐標來分析。1.圓形波導一般解橫—縱向場方法2/4/2023以TE波作為例子，這時Ez=0本征解2/4/2023

有限條件：有限性

周期性：

理想導體條件：切向分量為零邊界條件：2/4/2023TE波場分量表達式截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數：2/4/2023TM波場分量表達式截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數：2/4/2023基本結論：圓波導中導模的傳輸條件是c>或fc<f；導模的截止也是由于消失模的出現。圓波導中的導模存在兩種簡并現象：一種是TE0n模與TM1n模簡并，即有cTE0n=cTM1n;另一種是m0的TEmn或TMmn模的極化簡并。圓波導的主模是TE11模，其截止波長最長，cTE11＝3.14a.由于場的極化方向具有不確定性使波導在Ф方向可能存在cos或sin兩種可能的分布。二者獨立存在，相互正交，具有相同的截止波長—極化簡并。2/4/2023圓形波導中三種主要波型2/4/20232/4/20232/4/20232/4/2023 同軸線是一種典型的雙導體傳輸系統,是最常見的TEM模傳輸線。它分為硬、軟兩種結構。硬同軸線是以圓柱形銅棒作內導體,同心的銅管作外導體,內、外導體間用介質支撐,這種同軸線也稱為同軸波導。 軟同軸線的外導體是銅絲網,在內、外導體間用介質填充,外導體網外有一層橡膠保護殼,這種同軸線又稱為同軸電纜。 早先認為同軸線是TEM傳輸模式，研究業已結束。當我們把精力轉向矩形波導、圓波導時，人們又突然想到既然在波導中可以存在無窮多種模式，那么同軸線為什么就不行呢？于是，又對同軸線打——“回馬槍”。同軸線與波導不同，它有著中心導體，其主模均是TEM模。3.3同軸線2/4/2023a、同軸線為圖示雙導體系統，因而其中既可存在TEM波，又可存在TE、TM波。b.TEM波是工作波型，它沒有截至現象，其傳輸不受頻率限制。當同軸線的橫向尺寸過大時，同軸線中除了傳輸TEM

波之外，還將出現高次模，通常這是不希望的。因此，為了保證TEM波的單模傳輸，必須確定高次模中截止波長最長的模。2/4/20231、同軸線傳輸主模—TEM模(1)TEM模的場分量和場結構

同軸線傳輸的主模是TEM模，這種模將TEM模橫向分布函數滿足的二維拉普拉斯方程：同軸線中TEM模的場結構如圖2/4/2023TEM模的場分量和場結構從，引入位函數又2/4/2023勢滿足拉普拉斯方程邊界條件令2/4/2023不隨φ變化2/4/20232/4/2023(2)同軸線中TEM模的特性參量對于同軸線中的TEM模，

相移常數為:相速與光速的關系為:特性阻抗為:波導波長為：2/4/20232、E波的截止波長

由橫—縱向場方法，可得縱向場分量滿足如下亥姆霍茲方程：邊界條件為：應用分離變量法，并考慮到邊界條件，可得各模式的縱向場分量分別為：在同軸線中，除傳輸TEM主模外，還可能傳輸高次模—TE模和TM模。但在實際應用中，同軸線是以TEM模工作的。2/4/2023

（1）式稱為同軸線E波的特征方程。由此可解出kc。kc的解有無窮多個，每個對應一個波型和一個截止波長。（1）式是超越方程，嚴格求解很困難，一般用圖解法或數值法或解析近似法求解。以解析近似法為例，當宗量|x|>>1時，由Bessel函數和Neuman函數的漸進性質，可得2/4/2023由此可得：3、H波的截止波長用類似的方法可得H波的特征方程為：最低次E01模的截至波長對m=0的情況，利用Bessel函數的導數關系，有：2/4/2023此式與m=1時E波的關系式相同，于是：對m0的情況，要用數值方法求解，其近似解為：最低次H11模的截至波長：2/4/20234、單模傳輸條件由以上可以看出，同軸線中截止波長最長的波是H11波。因此，為了保證同軸線單模傳輸，必須使H11波截止，即使工作波長2/4/2023設計同軸線需選擇它的內、外導體半徑a和b。并考慮以下幾個因素：在工作頻帶內，保證工作波型TEM的單模傳輸；功率容量要大；損耗要小。5、同軸線尺寸選擇同軸線只傳播TEM模，最低次導模為TE11模，截止波長最大，應滿足6、同軸線的應用問題2/4/2023

同軸線的功率容量受介質材料擊穿電場強度的限制，為此先求出極限功率Pbr和介質的擊穿場強Ebr之間的關系。設同軸線內、外導體之間的電壓幅度為Vm，則傳輸功率為：計算極限功率Pbr

Vm可通過同軸線中TEM的電場強度的幅度Em來計算：代入同軸線的特性阻抗，得2/4/2023

當同軸線中的最大電場強度達到擊穿場強Ebr時，功率P達到極限值。由最后得若填充介質為空氣，則在介質一定的情況下，Pbr與a和b有關。如果，令b不變，只改變a令若填充介質為空氣，則相應于該尺寸的同軸線的特性阻抗約為2/4/2023

R為同軸線單位長度的電阻：同軸線的衰減常數為：

計算同軸線的衰減常數

最后得由上面可以看出，獲得最大功率容量和最小衰減的條件并不相同，如果兩者兼顧，可取b/a=2.303。此時衰減比最佳值約大10％，功率容量比最大值約小15％。這時的特性阻抗為50（以空氣填充為例，硬同軸線）。在微波波段，同軸線的特性阻抗常取50和75兩種。由

可得2/4/2023 實際使用的同軸線的特性阻抗一般有50Ω和75Ω兩種。50Ω(b/a=2.3)的同軸線兼顧了耐壓、功率容量和衰減的要求,是一種通用型同軸傳輸線；75Ω的同軸線是衰減最小的同軸線,它主要用于遠距離傳輸。2/4/2023用同軸線作傳輸能量的傳輸線時，高次模有害，應當避免。但同軸線中的高次模有時是有用的。圖示為一種應用了同軸線中高次模的復合饋源，其內導體是傳輸TE11模的圓波導管，同時它又與外導體一起構成了一端短路的同軸線。該饋源用圓波導中的H11模激勵，只要短路同軸線的長度l、同軸線內、外導體直徑1、2選擇得合適，口面處圓波導的H11模疊加形成的口徑場，可使饋源的方向圖形狀和張角十分接近拋物面天線所需要的理想饋源方向圖。2/4/20232/4/2023正規模的定義： 均直無耗金屬波導中的TE模 和TM模。 包括無窮多個結構不同的TEmn和TMmn模式，彼此相互獨立，單獨存在，也可同時并存→麥克斯韋方程的兩套基本的獨立解。波導正規模的重要特性對稱性正交性完備性3.4波導正規模的特性2/4/2023對稱性： 正規模的電場和磁場對時間和距離具有對稱函數和反對稱函數a.正規模的電場和磁場波函數對時間t分別為對稱函數和反對稱函數，即有：

或b.正規模的電場和磁場的波函數關于縱坐標z的對稱性。橫向電場Et與縱向磁場Hz是坐標z的對稱函數；橫向磁場Ht與縱向電場Ez是坐標z的反對稱函數，即有下標1為＋t的場，下標2為－t的場，2/4/2023如果時間t和傳播方向（即坐標z）同時變換符號，則電場和磁場應同時滿足以上幾式，對稱性則變成：下標1為＋z方向的場，下標2為－z方向的場，下標i為模式指數，i＝{m,n}2/4/2023結論：正規模的電場和磁場的橫向分量或縱向分量相互同相，而橫向分量與縱向分量成90°相位差。故對于正規模，是傳輸能量。c.對于截止模，不存在變換z的符號問題，只有時間對稱關系：

可見Ei是實數，而Hi是虛數，兩者相位差90°。故對于截止模或消失模，不是傳輸能量，而是虛功，是儲能。正規模的對稱性是麥克斯韋方程對稱性和規則波導本身對稱性的必然結果。

2/4/2023正交性：正交性是正規模的一種基本特性。在確定組成波導中的電磁場各模式的系數時，都必須應用正規模的正交特性。兩個模式之間有能量交換稱為“耦合”，沒有能量交換為“無耦合”或“正交”。本征函數具有正交特性本征函數表征波導的正規模也就具有正交特性。2/4/2023

定理1：設i和j是規則波導中第i個和第j個TE模或TM模的縱向場分量，其kc值分別為kci和kcj，當kcikcj時，恒有

式中S是規則波導的橫截面。該定理表明，兩個非簡并的TE或TM模的縱向場分量正交。如果兩個模簡并，即kci＝kcj，則應取上述模簡模的適當線性組合，例如取i＝i、j＝j＋j，形成亞模i和j

，只要取待定常數為：則亞模i和j

正交。因此，在一般討論中，假定kcikcj，并不影響最后結論。2/4/2023

定理2：編號為i和j的兩個不同的TE模或TM模的橫向電場分量，以及一個TM模和一個TE模的橫向電場分量相互正交。即

式中上角標e表示TM波、m表示TE波2/4/2023

定理3：編號為i和j的兩TE模或TM模的橫向磁場分量，以及一個TM模和一個TE模的橫向磁場分量相互正交。即

式中上角標e表示TM波、m表示TE波

定理4：在無耗波導中，若存在幾個非簡并的傳輸模，則這些傳輸模所傳輸的總功率等于每個模單獨存在時傳輸的功率之和。即非簡并的模之間沒有功率耦合，具有功率正交性。

2/4/2023(5)模式間正交(6)模式函數正交性 推廣為 （歸一化）2/4/2023完備性 如前所述，波導正規模是本征函數的乘積，而本征函數系是完備的，所以正規模必然是完備的。

波導中的任意電磁場都可以用正規模疊加來代表，即用正規模的展開式來表示。2/4/2023波導中的任意電磁場的橫向場可以表示為（沿正z方向傳播情況）：系數和可用正交關系像確定傅立葉級數的系數那樣來確定。和可以屬于TE模或TM模。

令2/4/2023則上式還可寫為式中和稱為第i模式的模式電壓和模式電流。當波導中傳輸任意場時，所傳輸的總功率為2/4/2023結果表明，波導中傳輸任意場時的總功率等于每個正規模所攜帶功率之總和，而各模式之間沒有能量耦合。正如前面所討論的色散導波系統，如矩形波導或圓波導.其TE和TM模的場解為：而場解的分量可能存在的完備形式為：2/4/2023具體TEmn和TMmn的場分量2/4/20233.5不均勻性引起模式耦合正交性→只存在于均直無耗傳輸系統中不均勻性→引起模式之間的能量耦合。不均勻性→z方向上橫截面發生變化→截面邊界條件的改變，或者局部引入介質等。矩形波導為例，其交叉功率2/4/2023或，有I＝0→三角函數的正交性三角函數在積分區間取波導截面的整個區域和時才成立→均勻波導→正交性不均勻性，假設寬邊兩側種插入一片金屬薄片，在不均勻區即a→a‘a‘2/4/2023

因為交叉功率的積分I中對的積分區域由a變為a’，這樣，即使模式標號的兩個不同模式，I中對x的積分也不一定等于零了，因此，m1≠m2，n1≠n2的不同模式之間就不一定正交。→由于金屬片的插入，使得模式標號m不同的模式之間可能發生能量的交換→原來邊界條件下的正交本征函數對于新的邊界條件不再正交了，因此就出現了模式之間的耦合。 在均勻區，導波系統