第十三章氣體動理論安徽大學出版社ANHUIUNIVERSITY大學物理學

13－1氣體分子熱運動與統計規律

13－2理想氣體壓強公式

13－3麥克斯韋速率分布律第十三章氣體動理論

*13－4麥克斯韋-玻耳茲曼分布律

13－5溫度的微觀解釋理想氣體定律的推證

13－6能量按自由度均分定理理想氣體的內能

*13－7實際氣體的范德瓦爾斯方程

13－8氣體分子的平均自由程和平均碰撞頻率

*13－9氣體內的遷移現象

13－10熱力學第二定律的統計意義和熵的概念

13－1

氣體分子熱運動與統計規律

一、氣體分子熱運動

分子間存在相互作用力.它屬于電磁作用的范疇.宏觀上任何大小的物體都包含大量的微觀粒子.

例如，在標準狀態下，1cm3的空氣中就約有個分子.斥力引力如圖，當時，分子力主要表現為斥力；當時，分子力主要表現為引力.(10nm)

當時，分子間作用力可以忽略不計.(1nm)組成宏觀物體的大量分子都在做無規則的永不停息的運動，分子的這種運動叫做分子熱運動.如圖，布朗運動是個典型的例子.統計規律——在大量的偶然的、無序的分子熱運動中，包含的一種規律性，這種規律性來自大量偶然事件的集合.熱現象是大量分子熱運動的集體表現，遵從統計規律.

二、氣體分子熱運動遵從統計規律

三、統計規律的特征...................................

.........................

..........................................小球在伽爾頓板中的分布統計規律有以下兩個重要特征

（1）統計規律是大量偶然事件整體所遵從的規律.

（2）統計規律和漲落現象是分不開的.漲落：系統處于熱力學平衡態時，作為統計平均值的宏觀物理量如能量、壓強、分子數密度等在其真值附近有微小變動的現象

13－2理想氣體壓強公式

一、理想氣體的分子模型

1.分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計，分子可以看做質點.

2.除碰撞外，分子力可忽略.

3.分子間的碰撞是完全彈性的.

二、平衡態氣體的統計假設

（1）分子數密度處處相等(均勻分布).

（2）分子沿各個方向運動的概率相同.

a.任一時刻向各方向運動的分子數相同.

b.分子速度在各個方向分量的各種平均值相等.自由質點的完全彈性碰撞設氣體分子總數為N,根據統計平均值的定義，有對任意一個分子，有三、理想氣體壓強公式推導壓強公式的出發點氣體壓強是大量分子不斷碰撞容器壁的結果.考慮到分子數目巨大，碰撞非常頻繁，可以認為器壁受到持續力的作用.設任意形狀容器體積為V，其中貯有分子數為N

，分子質量為μ，并處于平衡態的一定量理想氣體.dAxvividt設想把N個分子分成若干組，每組內分子的速度大小和方向都相同，則總的分子數密度為：考慮器壁上任意面積元dA所受的壓強，單個分子遵循力學規律，其速度為：碰撞前后，x方向動量增量為：由牛頓第三定律知，分子施于器壁的沖量為上圖中柱體內速度為的分子數目為速度為的分子的總沖量所有分子dt

時間內施予dA的總沖量為：向各方向運動的分子數目相同，故取一半所有與dA相碰撞的分子施予dA的合力為因此,氣體對容器壁的壓強為由于代入可得：上式還可寫成：其中分子平均平動動能理想氣體壓強公式宏觀可測量微觀量壓強是大量分子對時間、對面積的統計平均結果.壓強與分子密度（1/V）和平均平動動能（T）成正比，可與V、T兩個宏觀量聯系起來密度

13－3麥克斯韋速率分布律

一、速率分布函數設處于平衡態的理想氣體系統總分子數為

N.速率分布函數dN

——速率在v

~v+v

區間內分子數.——分子速率處在v

~v+v

區間的概率.物理意義

速率在附近單位速率區間內的分子數占總分子數的百分比.歸一化條件兩個速率1.平均速率2.方均根速率

二、麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布函數平衡態下理想氣體分子玻耳茲曼常量v2v1f(v)

vvv+dvvp曲線下總面積等于1.（歸一化條件）最概然速率vp利用麥克斯韋速率分布函數和積分公式，可得請牢記！三種速率的相對大小關系討論分子速率分布時用最概然速率；討論分子平均平動動能時用方均根速率；討論分子碰撞頻率和平均自由程時用平均速率.

例1某種氣體分子在溫度

T1

=300K時方均根速率等于溫度T2時的平均速率,求T2.

解:

常溫下，看為理想氣體根據已知條件，得解得

例2設導體中自由電子數為N,電子速率最大值為費米速率

，且已知電子速率在v—v+dv

區間概率為：(1)畫出速率分布函數曲線.(2)確定常數A.(3)

求

解:

(1)Ovf(v)

(2)由歸一化條件可知(3)顯然由圖可知

三、麥克斯韋速率分布律的實驗驗證

1934年我國物理學家

葛正權用實驗測定了分子的速率分布

1、空心圓筒R不動，粒子通過S進入圓筒，并打在R內壁彎曲玻璃片P處。2、R以一定的速率旋轉，粒子通過S，打在彎曲玻璃片的P’處。3、設P與P’之間的弧長為l，圓筒直徑為D，則速率為v的粒子從S到達玻璃片所需時間為t=D/v4、圓筒在此時間間隔轉過的弧度為5、由上兩式，可得速率6、較長一段時間后，取下玻璃片，并測l處粒子厚度。從粒子厚度與l的關系中能得到粒子數按速率的分布規律。

13－5溫度的微觀解釋理想氣體定律的推證

一、溫度的微觀解釋從理想氣體分子的方均根速率出發,可得：理想氣體的分子平均平動動能只與氣體溫度有關，并與熱力學溫度T成正比.1.溫度是分子平均平動動能的量度（反映熱運動的劇烈程度）物理意義

2.溫度是大量分子的集體表現，個別分子無意義.

二、理想氣體定律的推證

例1

電子伏特（eV）是近代物理中常用的能量單位，求在多高溫度下，理想氣體的分子平均平動動能等于1eV？

解:已知由得

例2

計算標準狀態下，任何氣體在1m3體積中含有的分子數.解:標準狀態下，Loschmidt數

13－6能量按自由度均分定理理想氣體的內能

一、自由度

定義：確定一個物體在空間的位置所必需的獨立坐標數目.剛性單原子分子：i=3氦、氬等剛性雙原子分子：氫、氧、氮等i=5剛性多原子分子：水蒸汽、甲烷等i=6球坐標系可以較為方便的說明，剛性雙原子分子的轉動自由度為2。Theta和Phi是兩個獨立的坐標，Theta和Phi一旦確定，M方位唯一確定（M的集合為通過原點的一條直線）。對多原子分子，多一個以兩原子連線為軸線，轉動的自由度

二、能量均分定理單原子分子

303雙原子分子325多原子分子336剛性分子能量自由度分子自由度平動轉動i理想氣體分子平均平動動能

在溫度為T

的平衡態下,物質分子的每一個自由度都具有相同的平均動能,等于.單個分子的平均總動能理想氣體分子模型

三、理想氣體的內能分子間無相互作用無相互作用勢能剛性分子

無振動自由度剛性分子理想氣體內能：所有分子平均動能之和1molm/Mmol理想氣體的內能是溫度的單值函數.

四、氣體的摩爾熱容根據理想氣體定體摩爾熱容的定義，結合熱力學第一定律及理想氣體內能公式，有：再由邁耶公式，有：比熱容比為：均只與氣體分子的自由度有關,與溫度無關.

例

指出下列各式所表示的物理意義.分子在每個自由度上的平均動能;分子的平均平動動能;分子的平均動能;1mol氣體的內能;質量為m的氣體內所有分子的平均平動動能之和;質量為m的氣體的內能.

13－8氣體分子的平均自由程和平均碰撞頻率1.自由程

：分子兩次相鄰碰撞之間運動通過的路程.2.平均自由程

：每兩次連續碰撞之間，一個分子自由運動的平均路程.3.平均碰撞頻率：單位時間內一個分子和其它分子碰撞的平均次數.引入分子平均相對運動速率

.表示分子的平均速率.分子模型1.分子為剛性小球2.分子有效直徑為d（分子間距平均值）3.其它分子皆靜止,某一分子以平均速率相對其他分子運動.如圖,圓柱體內的總分子數就是A分子與其他分子的碰撞次數.所以,平均碰撞頻率為:圖示圓柱體內所有分子數目，即為分子A與其它分子碰撞次數，圓柱體之外的分子不會與A發生碰撞。分子在圓柱體內還是外，看質心是否在圓柱體內，因為理想氣體的分布還是看作質點。但是在碰撞時要考慮大小圓柱體底面積為，高度為，體積為，故，圓柱體內分子數目為相對運動速率與平均速率之間的關系，統計物理中有證明，此處不詳述。正是因為考慮分子大小，所以圓柱體底面半徑為d平均自由程為:對于理想氣體:

一定時

一定時

解:以電子運動的軌跡為軸線、以氣體分子的有效半徑d/2為半徑作一個曲折的圓柱體，凡是在該圓柱體內的氣體分子都會與電子相碰撞.由題意,△t

時間內，相應的曲折圓柱體體積為：

例

在氣體放電管中，電子不斷與氣體分子碰撞.因電子的速率遠大于氣體分子的平均速率，所以氣體分子可以認為是不動的.假定電子的有效直徑比起氣體分子的有效直徑d來可以忽略不計，試證明電子與氣體分子碰撞的平均自由程為,n

為氣體分子數密度.曲折圓柱體內的氣體分子數為：于是電子與氣體分子的碰撞頻率為：電子的平均自由程為：

13－10熱力學第二定律的統計意義和熵的概念

一、熱力學第二定律的統計意義如圖,以理想氣體向真空自由膨脹為例，說明宏觀不可逆過程的微觀本質:BA假設在容器中有4個分子，研究其分布情況:如圖，有五種宏觀態每個宏觀態對應的微觀態數:1每個微觀態出現的概率相同(等概率原理)，包含微觀態越多的宏觀態出現的概率越大.4416N個分子全部集中在A或B室中的概率為：對于1mol氣體,這個概率趨于0,實際上不可發生.熱力學第二定律的統計意義

孤立系統中，自發進行的過程是不可逆的，總是由概率小的宏觀態向概率大的宏觀態進行，也就是由包含微觀態數目少的宏觀態向包含微觀態數目多的宏觀態的進行.

二、熵和熵增加原理1.熱力學概率

：某一宏觀態對應的微觀態數目

.2.熵

：用于定量說明自發過程運動方向的宏觀物理量

.玻耳茲曼熵公式*熵是系統狀態的單值函數.*熵是系統無序程度的量度.(平衡態熵最大)不難看出，孤立系統中的一切實際過程，都是熵的增加過程

.從1到2的系統狀態變化過程，熵增為:熵增加原理孤立系統的熵永不會減少,即:等號適用于可逆過程.

例.試用玻耳茲曼熵公式計算理想氣體自由膨脹過程中的熵變,設氣體的質量為m,摩爾質量為M,初態體積為V1,末態體積為V2.

解:質量為m

的理想氣體含有的分子數為分析可知，氣體膨脹前后兩種宏觀態所包含的微觀態數目之比是：微觀狀態數分析假設V1中含有n個小體積，則V2中含有V2/(V1/n)=nV2/V1個相同小體積一個分子在V1中可能分布在n個小體積空間內，即微觀狀態數為n。據此，該分子在V2中的微觀狀態數為nV2/V1。對一個分子而言,微觀狀態數增加V2/V1倍，N個分子微觀狀態數增加(V2/V1)N所以，膨脹過程中，理想氣體的熵變為:注意1、熵的改變與過程無關，只與始末狀態有關.2、以上討論的前提是孤立系統.3、通常不要求大家求某個狀態的熵4、值得感興趣的是兩個狀態之間的熵變（不管中間過程如何）

三、熵的熱力學表示我們進一步尋求熵在熱力學中的宏觀定義:可以設想上式表示的熵變是通過可逆等溫過程實現的,該過程吸收的熱量為對于無限小的可逆等溫過程,則有上式具有普適意義。對于一個孤立系統，這就是熵增加原理.一個熱力學系統從1到2的有限可逆過程中對于任何系統的任何過程,一般都有“>”表示不可逆過程此式用于討論任意過程的熵變，見后例

例1.設有兩種質量均為1mol的氣體,其摩爾定體熱容分別為CV1,m

和CV2,m,溫度分別為T1

和T2.假定他們之間有極短時間的熱傳導發生,試求熱傳導過程中熵的改變，并用熵增加原理判定過程進行的方向.

解:假定有微小熱量從1→2,溫度分別改變為T1-dT1和T2+dT2,它們分別吸熱：在無限小變化過程中，氣體溫度可視為不變，熵變為:將兩種氣體合起來組成一個大的孤立系統，系統熵變為:由于所以當由此可見，熱傳導過程自發進行的方向是熱量從高溫氣體傳向低溫氣體.當T2>T1時，ds<0,

熱量從1→2傳遞的過程無法實現即熱傳導不能自發的由低溫物體向高溫物體進行

例2.設在恒壓下將1kg水從T1=273.15K加熱到T2=373.15K,氣體,已知水在此溫度變化范圍內的定壓熱容為Cp=4.18×103J·k