第2章采樣過程與信號重構

由于數字計算機具有離散時間性質，因此采樣是數字控制系統的基本特征。本章將對采樣過程的機理進行深入地分析。采樣理論包含不同采樣類型：單速率采樣、多速率采樣。本書僅討論單速率采樣系統，即采樣周期T為常數的情況。基本概念：

采樣過程(Sample)：連續信號經采樣開關轉換為離散時間信號的過程。在數控系統中，是連續偏差信號e(t)

經采樣開關轉換為離散時間信號e*(t)的過程；信號重構(Signalreconstruction)：離散時間信號轉換為連續信號的過程。在數控系統中，是離散時間信號u*(t)經保持器轉換為連續控制信號u(t)的過程。本章重點：采樣過程、信號重構機理及其數學描述。采樣定理及采樣周期T的選擇。2.1引言數控系統信號轉換示意圖及其簡化圖2-1-1數控系統信號轉換示意圖A/D數字控制器保持器對象或過程r(t)e(t)u(t)y(t)e*(t)[e(kT)][u(kT)]u*(t)D/A2.2采樣過程——連續信號f(t)通過采樣開關后，轉變為脈沖序列f*(t)的過程。圖2-2-1

采樣過程2.2.1時域描述

采樣周期T(單位s)閉合時間(s)采樣角頻率采樣頻率由圖2-2-1可得理想單位脈沖函數圖2-2-2理想采樣過程當T

，且T遠小于系統連續部分慣性時間常數時，可將采樣開關視為理想的，0。則理想采樣過程的時域描述為：理想采樣過程的時域描述———這個過程相當于模擬信號f(t)被T(t)調制。加權函數為理想采樣開關產生的脈沖序列。理想采樣開關相當于一個理想脈沖發生器。式中2.2.2采樣過程的頻域描述

——求f*(t)的Fourier變換F*(j)，也即f*(t)的頻譜對于周期信號f(t)，當滿足狄里赫利Dirichlet條件時，f(t)可以用一個Fourier級數來表示，其頻譜F(j)是離散的。例：tω對于非周期信號f(t)，T，其頻譜F(j)在

（-，+）上都是連續的，不存在Fourier級數，只能利用Fourier變換求F(j)。例如：00例：t1采樣信號f*(t)的Fourier變換F*(j)—即采樣過程的頻域描述

求法一：求法二：——采樣過程的頻域描述表達式圖2-2-3理想采樣過程頻域分析假設：信號f(t)的頻譜F(j)為有限帶寬，最高頻率為m此時，高低頻率之間不發生混頻(混疊)現象。此時，高低頻率之間發生了混頻現象。采樣過程中存在時域信息損失，T越小，采樣信號越接近連續信號。F*(j)可分為主頻譜（n=0）和高頻（n≠0）兩部分，比原信號頻譜F(j)派生周期為s倍數的無限個高頻頻譜分量。當

s

>2m時，在F*(j)頻譜中高低頻不發生混頻現象；否則出現混頻現象。分析：0246810121416-1-0.500.51時域上的兩信號及其采樣點例時域分析頻域分析原信號采樣信號0000不發生混頻現象發生混頻現象2.3香農（Shanon）采樣定理

在信號不混疊情況下，也即s>2m時，采用如下低通濾波器可無失真地再現原信號。若m是模擬信號f(t)上限頻率，

s為采樣頻率，則當

s

>2m時，經采樣得到的信號能無失真地再現原信號。采樣定理給出了采樣頻率下限，N=s

/2

稱為奈奎斯特（Nyquist）頻率。注意：理想的低通濾波器G(s)是不存在的。注意：信號經過采樣后只取采樣點上的值。當s≤2m

，信號發生混頻，不同的連續信號可以得到相同的采樣信號，f(t)的高頻信號有可能混疊在低頻處，因此不再能不失真地恢復原信號。2.4信號重構——采樣的逆過程上式成立的條件：需要信號為有限帶寬；采樣周期滿足采樣定理；需要k=-∞→+∞的數據（過去和未來的數據），物理不可實現，因此不能應用于實際的數控系統。

兩類信號重構法：2.4.1

香農重構法：信號完全重構的條件為2.4.2信號保持法（Signalhold）僅由原來時刻的采樣值實現信號重構的方法，即因果重構，就是信號保持（signalhold）法，在工程上用保持器實現。從數學上說，保持器是解決各采樣點之間的插值問題，用外推方法——由過去時刻輸入的采樣值[f(kT)，k≤t/T]外推現時刻f(t)。

若，則實現上式的保持器稱為n階保持器。參數可由前n+1個時刻的采樣值唯一確定。1零階保持（Zero-orderhold）時域描述圖2-4-1零階保持器輸入、輸出特性u*(t)u(t)tt0T2T3T4T0T2T3T4T保持器

其不足是具有多個截止頻率，能通過高頻分量，其相頻特性具有相位遲后。

零階保持器的頻率特性：T理想濾波器零階保持器-180°2一階保持器f(t)t圖2-4-4一階保持器輸出特性H1(t)12-1-T0T2Tt圖2-4-5一階保持器脈沖響應零階與一階保持器比較如圖所示：

對兩種保持器來說，隨著采樣周期的減小，相對誤差隨之減小。用零階保持器重構要獲得1%的相對誤差，每周期需采樣300個點。當采樣點大于20之后，采用一階保持器優于零階保持器。在數字控制中，零階保持器容易實現，是應用最廣泛的一種信號重構法。對一階保持器，若f(t)具有平滑的二階導數f”(t)，采樣后重構誤差可用下式估計:從時域角度分析，用兩種保持器重構信號均會產生誤差。對零階保持器，若f(t)具有平滑的一階導數f’(t)，采樣后重構誤差可用下式估計:2.5采樣周期的選擇香農采樣定理給出了T的上限；數控系統實時性給出了T的下限；采樣頻率越高，系統控制越及時，對系統動態性能有利。但T選得過小，計算機負擔過重，且不利于滿足實時性要求。靠經驗選擇：如伺服系統中選擇ωs

≥6~10ωc。提示：實際應用中，為防止采樣過程中出現混