電磁場與電磁波Field

and

Wave

Electromagnetics主講：史琰Review2023/2/3shiyan@2時變電磁場，法拉第電磁感應定律及其推廣形式；位移電流；Maxwell方程組；時變電磁場的邊界條件；坡印廷定理、坡印廷矢量、電磁場的能量密度和能量；正弦電磁場及其復數表示；電磁場的波動方程；時變場的位函數、達朗貝爾方程、亥姆霍茲方程。基本要求時變電磁場這一章是后續電磁波內容的基礎，應熟練掌握教學內容。重點、難點重點：本章教學內容難點：坡印廷定理、坡印廷矢量、電磁場的能量密度和能量第17講平面電磁波(I)2023/2/3shiyan@3平面電磁波無耗無源介質中的均勻平面波均勻平面波的傳播特性均勻平面波的基本參數均勻平面電磁波的能量傳播向任意方向傳播的均勻平面波導電介質中的平面電磁波平面電磁波2023/2/3shiyan@4電磁波是自然界波動現象的一種，具有波動的一般規律，更具有其特殊的性質；電磁波根據其空間等相位面的形狀分三類：平面電磁波柱面電磁波球面電磁波平面電磁波是指電磁波場矢量的等相位面是與電磁波傳播方向垂直的無限大平面。矢量波動方程的一個特解；理想平面電磁波只有無限大波源才能激勵，嚴格的講，這樣的電磁波是不存在的。平面波是所有電磁波的遠場特性，即它是柱面波和球面波的極限。平面電磁波2023/2/3shiyan@5物理背景遠離波源的場點，空間曲面很小的一部分就十分接近平面，這樣的范圍內，波的傳播特性近似為平面波。均勻平面電磁波等相位面無限大平面，且其上各點的場強大小相等、方向相同；即沿某一方向傳播的平面電磁波的場量除隨時間變化外只與波傳播方向的坐標有關，而與其它坐標無關。平面電磁波的一種，最簡單的電磁波。數學背景電磁波均可分解成許多均勻平面電磁波；均勻平面電磁波是麥克斯韋方程組最簡單的解；均勻平面電磁波是許多實際波動方程的近似解。無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@6考慮媒質均勻、線性、各向同性的無源區域(J=0,ρ=0)且σ=0的情況，這時麥克斯韋方程變為無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@7無源無界空間充滿無耗的簡單介質，其場滿足：無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@8直角坐標系中，假設均勻平面電磁波沿z軸方向傳播由均勻平面電磁波定義知，場矢量在XOY面是常數不變化：即電場強度E和磁場強度H只是直角坐標z和時間t的函數空間無外加場源，所以無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@9若t=0時，電磁場為零，那么c(t)=0，從而Ez(z,t)=0,Hz(z,t)=0。因此均勻平面電磁波的電、磁場強度矢量為：根據波動方程的推導可知，只要用波動方程求出了電場強度就可以利用麥克斯韋方程組直接得出磁場強度。矢量波動方程對應三個形式完全一樣的標量波動方程；由疊加原理知可以分別對三個分量進行討論。無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@10以Ex(z,t)為例討論波動方程：此方程的通解為f1，f2是任意二次連續可微函數f1,f2是該波動方程的兩個特解，它們構成了方程的通解定解條件下方程的解具有確定形式，稱之為達朗貝爾公式無耗無源介質中的均勻平面波f1(z-vt)是以速度v向+z方向傳播的波f2(z+vt)是以速度v向-z方向傳播的波2023/2/3shiyan@11特解f1的物理意義對于特定的時刻t1，f1是z的函數對于特定的時刻t2，f1仍是z的函數無耗無源介質中的均勻平面波+z方向傳播2023/2/3shiyan@12無界媒質中，一般沒有反射波，只有單一行進方向的波。假設均勻平面電磁波沿+z方向傳播，且電場強度只有Ex(z,t)分量波動方程式的解為由麥克斯韋方程組：無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@13沿+z方向傳播的均勻平面電磁波的電場強度和磁場強度：均勻平面電磁波的電場強度矢量和磁場強度矢量均與傳播方向垂直，沒有傳播方向的分量；對于傳播方向而言，電磁波只有橫向分量，沒有縱向分量；稱為橫電磁波簡稱TEM波(TransverseElectro-MagneticWave)TEM波的電場強度、磁場強度和能量傳播方向構成右手螺旋正交關系。無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@14正弦電磁場的均勻平面波在無源、無界且無耗的簡單介質中傳播，假設沿z方向傳播，電場強度只有x方向的坐標分量Ex(z)，則波動方程為：其解由麥克斯韋方程求解磁場強度無耗無源介質中的均勻平面波2023/2/3shiyan@15磁場強度η具有阻抗的量綱，單位為歐姆(Ω)η與媒質參數有關，稱為媒質的波阻抗(或本征阻抗)

真空中的波阻抗為均勻平面波的傳播特性2023/2/3shiyan@16沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，電場強度只有x分量，正弦均勻平面電磁波的復場量可以表示為：由于媒質無耗，波阻抗η為實數瞬時值表達式：均勻平面波的傳播特性2023/2/3shiyan@17Eo=Eomejφo是z=0處的復振幅Eom表示電場強度的振幅值，是實常數ωt稱為時間相位

kz為空間相位正弦均勻平面電磁波的電場和磁場在空間上互相垂直由于媒質無耗，因此電場和磁場在時間上同相電場和磁場振幅之比取決于介質的介電常數和磁導率，也即波阻抗均勻平面波的傳播特性2023/2/3shiyan@18均勻平面波的基本參數2023/2/3shiyan@19正弦均勻平面電磁波的等相位面方程等相位面行進的速度稱為相速：在空間相位kz變化2π所經過的距離稱為波長，以λ表示在自由空間中均勻平面波的基本參數2023/2/3shiyan@20在相位2π中所包含的波長λ的個數稱為波數：空間相位kz變化2π相當于一個全波k也稱為電磁波的相位常數，它表示傳播方向上波行進單位距離時相位變化的大小。時間相位變化2π所經歷的時間稱為周期，以T表示:一秒內相位變化2π的次數稱為頻率，以f

表示；電磁波的頻率描述的是相位隨時間變化的特性電磁波的波長描述的是相位隨空間變化的特性均勻平面電磁波的能量傳播2023/2/3shiyan@21均勻平面電磁波的復坡印亭矢量坡印亭矢量的時間平均值平均功率密度為常數，表明與傳播方向垂直的所有平面上，每單位面積通過的平均功率都相同，電磁波在傳播過程中沒有能量損失(沿傳播方向電磁波無衰減)。理想媒質中的均勻平面電磁波是等振幅波。均勻平面電磁波的能量傳播2023/2/3shiyan@22電場能量密度和磁場能量密度的瞬時值為任一時刻電場能量密度和磁場能量密度相等，各為總電磁能量的一半。均勻平面電磁波的能量傳播2023/2/3shiyan@23電磁能量的時間平均值為有電磁波的傳播，就有電磁能流，電磁波的能量傳播的速度簡稱能速：均勻平面電磁波的能量傳播速度等于其相速在自由空間中向任意方向傳播的均勻平面波2023/2/3shiyan@24對于直角坐標系中的無界介質，均勻平面波沿+z方向傳播，電場強度只有x方向的坐標分量Ex(z)，正弦均勻平面電磁波的復場量可以表示為：利用矢量恒等式▽×(ΨA)=Ψ▽×A+▽Ψ×A▽·(ΨA)=Ψ▽·A+▽Ψ·A由麥克斯韋方程，可以得到向任意方向傳播的均勻平面波2023/2/3shiyan@25由麥克斯韋方程，可以得到因此，沿+z方向傳播的平面波復場量表示滿足：同理，沿+z’傳播的平面波復場量可以表示為：向任意方向傳播的均勻平面波2023/2/3shiyan@26全局坐標系為O-XYZ以傳播方向z’建立局部坐標系 O-X’Y’Z’直角坐標系中，上式即為沿任 意方向傳播的均勻平面波全局坐標系中：向任意方向傳播的均勻平面波2023/2/3shiyan@27cosα、cosβ、cosγ是傳播方向單位方向矢量在坐標系O－XYZ中的方向余弦任意方向z’傳播的平面波相位因子可以改寫為：矢量稱之為傳播矢量(波矢量)波矢量的方向是波傳播的方向，大小是波數在不同的坐標系下，相同的矢量會有不同的表示形式向任意方向傳播的均勻平面波2023/2/3shiyan@28在全局坐標系下，電磁場矢量可以寫成：同理，無耗介質中均勻平面電磁波也可用磁場強度來表示平面電磁波電場、磁場和傳播方向矢量相互垂直，滿足右手螺旋關系，即大拇指指向波矢量方向，四指從電場旋轉到磁場對于，該結論也成立向任意方向傳播的均勻平面波例1已知無界理想媒質(ε=9ε0,μ=μ0，σ=0)中正弦勻 平面電磁波的頻率f=108Hz，電場強度

試求：(1)均勻平面電磁波的相速度vp、波長λ、相 移常數k和波阻抗η；

(2)電場強度和磁場強度的瞬時值表達式；

(3)與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過 的平均功率。

[解]（1）相速2023/2/3shiyan@29向任意方向傳播的均勻平面波(2)波長波數波阻抗2023/2/3shiyan@30向任意方向傳播的均勻平面波（3）復坡印廷矢量：坡印延矢量的時間平均值：與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率：2023/2/3shiyan@31導電介質中的平面電磁波等效復介電常數的引入使得導電介質(有耗介質)中的Maxwell方程組和無耗介質中的Maxwell方程組具有完全相同的形式2023/2/3shiyan@32無源區域導電介質中的麥克斯韋方程組導電介質中的平面電磁波2023/2/3shiyan@33因此，電磁波在導電介質中的傳播而言，可以把導電介質等效地看作一種理想介質，其等效介電常數為復數。無源、無界、有耗介質中的波動方程：其中γ2=ω2μεc直角坐標系中，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，如果假定電場強度只有x分量Ex，那么上式的一個解為導電介質中的平面電磁波2023/2/3shiyan@34令，則電場強度的復振幅以因子e-αz隨z的增大而減小α說明每單位距離衰減程度的常數，稱為電磁波衰減常數β表示每單位距離落后的相位，稱為相位常數稱為傳播常數。電場強度的瞬時值可以表示為Em、φ0分別表示電場強度的振幅值和初相角，即導電介質中的平面電磁波2023/2/3shiyan@35衰減常數及相位常數導電介質中的平面電磁波2023/2/3shiyan@36由電場強度以及麥克斯韋方程組可知：導電介質中的平面電磁波2023/2/3shiyan@37ηc稱為導電媒質的波阻抗導電媒質的本征阻抗是一個復數模小于理想介質的本征阻抗，幅角在0~π/4之間變化，具有感性相角。因此，電場強度和磁場強度在空間上雖然仍互相垂直，但在時間上有相位差，二者不再同相電場強度相位超前磁場強度相位導電介質中的平面電磁波2023/2/3shiyan@38磁場強度可以重寫為其瞬時值為顯然，磁場強度的相位比電場強度滯后，電導率越大滯后越多，其振幅也隨z的增加按指數衰減導電介質中的能量傳播2023/2/3shiyan@39導電介質中的電磁場瞬時值導電介質中均勻平面電磁波的相速為導電介質中的能量傳播2023/2/3shiyan@40均勻平面電磁波在導電介質中傳播時的相速比介電常數和磁導率相同的理想介質中波的相速慢導電介質中均勻平面電磁波的波長比同樣介電常數和磁導率介質中波的波長短電導率越大，相速越慢，波長越短頻率越低，相速越慢攜帶信號的電磁波不同頻率分量將以不同相速傳播，它們的相位關系將在傳播過程中發生變化，導致信號失真，這種現象稱之為色散導電介質