材料力學(II)Friday,February3,2023中國地質大學工程學院力學課部第11章動荷載·交變荷載§11.1概述§11.2構件有加速度時動應力計算§11.3構件受沖擊時動應力計算§11.4交變應力疲勞極限§11.5鋼結構構件疲勞計算§11.1概述動荷載：隨時間作急劇變化的荷載以及作加速運動或轉動的系統中構件的慣性力。構件在交變應力作用下，其內部裂紋形成并擴展，直至構件斷裂的過程稱為疲勞。構件破壞所經歷的應力循環次數稱為疲勞壽命。交變應力：隨時間作重復交替變化的應力。3.疲勞破壞是突然發生的，構件破壞前無明顯的塑性變形，不易為人們察覺。疲勞破壞比靜荷破壞較為危險的原因:1.疲勞破壞所需的應力較小,通常不及靜荷破壞應力的一半。2.疲勞破壞是一種局部現象,材料組織不均勻、缺口、腐蝕、殘余應力、構件表面光潔度等因素對疲勞破壞影響較靜荷破壞大許多。因此，處于交變應力下的構件應進行疲勞強度校核。動荷載問題通常仍使用靜荷載問題的計算公式，但需作相應的動荷修正，即式中:d是動荷應力,st為靜荷應力,Kd為動荷因數。故處理動荷問題的關鍵是尋找正確的Kd。§11.2構件有加速度時動應力計算在構件運動的某一時刻，將分布慣性力加在構件上，使原來作用在構件上的外力和慣性力假想地組成平衡力系，然后按靜荷作用下的問題來處理。計算采用動靜法例題：勻加速起吊一根桿件（圖a），桿的長度為l，橫截面面積為A,材料的密度為，加速度為a。試求距桿下端為x的橫截面上的動應力d。解：取距下端為x的一段桿為分離體，作用于這段桿上的重力沿桿軸均勻分布，其集度為Ag，慣性力也沿桿軸均勻分布，其集度為Aa，指向與a指向相反。于是，可按靜荷問題求得橫截面上的軸力FNd。mm例題圖xla(a)mmx(b)得從而可得橫截面上的動應力為由分離體平衡方程是動荷因數是靜應力式中mmx(b)例題：一平均直徑為D的薄壁圓環，繞通過其圓心且垂直于環平面的軸作等速轉動（圖a)。已知環的角速度、環的橫截面面積A和材料的密度，試求圓環橫截面上的正應力。解：因環壁很薄，可認為環內各點的向心加速度都與環軸線上各點的向心加速度相等。根據動靜法，作用于環上的慣性力必然為沿環軸線均勻分布的線分布力，其指向遠離轉動中心（圖b)。(b)D(a)沿環軸線均勻分布的慣性力集度qd為將環沿一直徑假想地截分為二，并研究留下的半環（圖c)的平衡。半環上的慣性力沿y軸方向的合力為其作用線與y軸重合。Fdy(c)mmnn由于環壁很薄，可認為在環的橫截面m-m或n-n上各點處的正應力相等；又由對稱關系可知，兩側橫截面上的正應力必組成相等的合力FNd。于是，橫截面上的正應力d為由平衡條件，求得FNd為Fdy(c)mmnn解：飛輪的慣性力矩為(1)式中，I0為飛輪的轉動慣量，為角加速度。(a)例題：直徑d=100mm的圓軸，一端有重量P=0.6kN、直徑D=400mm的飛輪，以均勻轉速n=1000r/min旋轉（圖a)。現因在軸的另一端施加了掣動的外力偶矩Me，而在t=0.01s內停車。若軸的質量與飛輪相比很小而可以略去不計，試求軸內最大動切應力d,max。Adn在掣動時，若為勻減速旋轉，則，(3)沿與相反的轉向，將Md作用于軸上（圖b），得到一個假想的平衡力偶系。可得軸橫截面上的扭矩Td為而，故代入式(1)，得(2)A(b)naBMd軸的最大動切應力d,max為(4)飛輪的轉動慣量將已知數據代入式（4），得例題：一長度l=12m的16號工字鋼，用橫截面面積為A=108mm2

的鋼索起吊，如圖a所示，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考慮工字鋼的重量而不計吊索自重，試求吊索的動應力，以及工字鋼在危險點的動應力d,max欲使工字鋼中的d,max減至最小，吊索位置應如何安置？Aa4mB2m2mCyz4m(a)于是，工字鋼上總的均布力集度為解：將集度為qd=Aa的慣性力加在工字鋼上，使工字鋼上的起吊力與其重量和慣性力假想地組成平衡力系。若工字鋼單位長度的重量記為qst，則慣性力集度為引入動荷因數則Aa4mB2m2mCyz4m(a)由對稱關系可知，兩吊索的軸力（參見圖b）相等，其值可由平衡方程，求得吊索的靜應力為故得吊索的動應力為(b)ABFNNFqst由型鋼表查得qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知數據代入上式，即得同理，工字鋼危險截面上危險點處的動應力由工字鋼的彎矩圖(圖c)可知，Mmax=6qstN·m，并由型鋼表查得Wz=21.210-6m3以及已知數據代入上式，得欲使工字鋼的最大彎矩減小，可將吊索向跨中移動，使梁在吊索處的負彎矩與梁跨中點處的正彎矩值相等，即得工字鋼梁的最大彎矩減至最小時的吊索位置。2qstM圖（N·m)q6st(c)yzAa4mB2m2mC4mAB2.484m2.484m7.032m§12.3構件受沖擊時動應力計算計算采用能量守恒定律要精確計算沖擊應力和變形，就應該考慮彈性體內應力波的傳播，計算較為復雜。實際工程中，常采用簡化計算方法。假設：1.沖擊物變形與回彈可忽略。2.AB桿質量可忽略。3.沖擊過程的能量耗散可忽略。設重量為P的重物，從高度h自由落下，沖擊到等截面直桿AB的B端。桿AB長度為l，橫截面面積為A。B(c)PA(b)BAFdA(a)PBhl沖擊物在沖擊過程中減少的動能Ek和勢能Ep等于被沖擊構件所增加的應變能Vd，即(a)則當沖擊物速度降為零時，桿AB發生最大伸長d，則沖擊物減少的勢能為(b)而沖擊物的初速與終速均為零，故(c)桿內應變能(d)BAFdhl將(b)(c)(d)代入(a)得解出d的兩個根，取其中大于st的那個根，即得引用記號則(e)注意，即在靜載P下AB桿的伸長，則上式可簡化成將上式兩邊乘以E/l

后得(1)當h0時，相當于P驟加在桿件上，這時對于實際情況，以上計算是偏于安全的。引用記號則(e)例題：鋼吊索AC的下端掛一重量為P=20kN的重物(圖a)，并以等速度v=1m/s下降。當吊索長度為l=20m時，滑輪D突然被卡住。試求吊索受到的沖擊荷載Fd及沖擊應力d。已知吊索內鋼絲的橫截面面積A=414mm2，材料的彈性模量E=170GPa，滑輪的重量可略去不計。若在上述情況下，在吊索與重物之間安置一個剛度系數k=300kN/m的彈簧，則吊索受到的沖擊荷載又是多少？C(a)DlAFd(b)PACD因此，重物在沖擊過程中所減少的總能量為解：由于滑輪突然被卡住，所以重物下降的速度也由降到零，其動能的減少為，其勢能的減少為其中滑輪被卡住前，吊索內應變能滑輪被卡住后，吊索內的應變能其增量為根據機械能守恒定律，并利用可得將上式兩端乘以，并利用，可簡化為由此解出的兩個根，并取其中大于的一個，得動位移為于是，可得將已知數據及g=9.81m/s2代入上式，可得Kd為于是，吊索受到的沖擊荷載Fd為吊索內的沖擊應力為PACD(c)彈簧考慮：在吊索與重物間安置一個剛度系數k=300kN/m的彈簧(圖c),當吊索長度l=20m，滑輪被突然卡住前瞬間，由重物P所引起的靜伸長應為吊索的伸長量與彈簧沿重物方向的位移之和，即吊索受到的沖擊荷載Fd為于是便可得安置有彈簧時的動荷因數Kd為例題：彎曲剛度為EI的簡支梁如圖a所示。重量為P的沖擊物從距梁頂面h處自由落下，沖擊到簡支梁跨中點C處的頂面上。試求C處的最大撓度d。若梁的兩端支承在剛度系數為k的彈簧上，則梁受沖擊時中點處的最大撓度又是多少？(不計梁和彈簧的自重)l2l2CAB(a)hPABC(b)Fd重物P落至最大位移位置(h+d)時所減少的勢能(2)(3)當梁在線彈性范圍時，Vd=Fdd/2。而梁的d與Fd間關系為或(4)即(5)解：重物P落至最大位移位置時所減少的勢能Ep，將等于積蓄在梁內的應變能Vd，即(1)ABC(b)Fd從而或(6)將式(6)左端的用替代，可將式(6)改寫為(7)P(c)ABC由此解得d的兩個根，并取其中大于st的一個，得(8)于是得動荷因數Kd為(9)(10)若梁的兩端支承在兩個剛度相同的彈簧上，則梁在沖擊點沿沖擊方向的靜位移為(11)將st代入式(9)，即得動荷因數Kd為(12)將式(11)和(12)代入式(10)，得(13)設P=2kN,h=20mm,EI=5.25103kNm2，k=300kN/m，l=3m。將已知數據代入上式，可分別求得該梁的沖擊動荷因數為無彈簧支承時有彈簧支承時解：當在A端被驟然剎車卡緊時，可以認為B端飛輪的動能全部轉變為軸的應變能而使軸受到扭轉沖擊，即由此得AdnB例題：若前例中的AB轉軸在A端被驟然剎車卡緊，試求軸內的最大切應力。已知軸長=2m，軸的切變模量G=80GPa，軸的質量可略去不計。將已知數據代入上式，可得與前例相比較，可見驟停時軸內最大沖擊切應力d,max為前例的5.7倍。軸截面上的最大切應力為例題：一下端固定、長度為的鉛直圓截面桿AB，在C點處被一物體G沿水平方向沖擊（圖a）。已知C點到桿下端的距離為a，物體G的重量為P，物體G在與桿接觸時的速度為v。試求桿在危險點的沖擊應力。

解：桿內的應變能為由此得(b)AGCB(a)AlBCGav由機械能守恒定律可得由此解得d為式中，于是，可得桿內的應變能為AFCB(c)當桿在C點受水平力F作用時，桿的固定端橫截面最外緣（即危險點）處的靜應力為于是，桿在危險點處的沖擊應力d為v自由落體沖擊以速度v水平沖擊§11.4交變應力疲勞極限實踐表明：金屬材料若長期處于交變應力下，則在最大工作應力遠低于材料的屈服極限，且不產生明顯的塑性變形情況下，也有可能發生聚然的斷裂。這種破壞，稱為疲勞破壞。疲勞破壞的機理（疲勞破壞過程的三個階段）：疲勞裂紋源的形成（產生）；疲勞裂紋的擴展；構件的斷裂交變應力的基本參量：在交變荷載作用下應力隨時間變化的曲線，稱為應力譜。隨著時間的變化，應力在一固定的最小值和最大值之間作周期性的交替變化，應力每重復變化一次的過程稱為一個應力循環。一個應力循環tO通常用以下參數描述循環應力的特征應力比r

r=－1：對稱循環；r=0：脈動循環。

r<0：拉壓循環；r>0：拉拉循環或壓壓循環。(2)應力幅(3)平均應力一個非對稱循環應力可以看作是在一個平均應力m上疊加一個應力幅為的對稱循環應力組合構成。一個應力循環tO疲勞極限將若干根尺寸、材質相同的標準試樣，在疲勞試驗機上依次進行r=－1的常幅疲勞試驗。各試樣加載應力幅均不同，因此疲勞破壞所經歷的應力循環次數N（疲勞壽命）各不相同。以為縱坐標，以N為橫坐標（通常為對數坐標），便可繪出該材料的應力—壽命曲線即-N曲線注：由于在r=－1時，

max=/2，故-N曲線縱坐標也可以采用

max。從圖中可以得出三點結論：(1)對于疲勞，決定壽命的最重要因素是應力幅。(2)材料的疲勞壽命N隨應力幅的增大而減小。(3)存在這樣一個應力幅，低于該應力幅，疲勞破壞不會發生，該應力幅稱為疲勞極限，記為-1。104105106107108550650750850應力循環次數Nsmax/MPa如圖（以40Cr鋼為例）對低碳鋼，其其彎曲疲勞極限拉壓疲勞極限對于鋁合金等有色金屬，其-N曲線沒有明顯的水平部分，一般規定時對應的稱為條件疲勞極限，用表示。104105106107108550650750850應力循環次數Nsmax/MPa§11.5鋼結構構件疲勞計算當交變應力幅小于材料疲勞極限，構件具有無限疲勞壽命。當交變應力幅大于材料疲勞極限，構件具有有限疲勞壽命。常幅有限壽命疲勞：

—校核點處的應力幅[]—許用應力幅

N—構件在服役期內預計承受的疲勞循環次數C,—兩個參數，由書中本章表1和表2查出如應力循環中無拉應力，則不必驗算疲勞強度。上述計算公式的理論基礎是疲勞壽命曲線對焊接部位=max－min對非焊接部位=max－0.7min常幅有限壽