第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)§10.1扭轉(zhuǎn)問題中的應力和位移§10.2扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬§10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)§10.4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§10.5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)§10.6扭轉(zhuǎn)問題的差分解§10.1扭轉(zhuǎn)問題中的應力和位移

設(shè)有等截面直桿，體力不計，在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的扭矩M作用。取桿的一端平面為xy平面，z軸沿桿的縱向。假設(shè)

體力為零平衡方程分析：τzx和τzy只是x和y的函數(shù)，并對平衡方程第三式變形根據(jù)微分方程理論，一定存在一個函數(shù)(x，y)，使得則應力分量為函數(shù)(x，y)稱為扭轉(zhuǎn)問題的應力函數(shù)（普朗都提出）。將（10-1）及（10-2）代入相容方程（9-32），得即邊界條件：在桿的側(cè)面上應力邊界條件要求在邊界上有將（10-2）代入得所以邊界條件要求

上式說明：在桿的側(cè)面上（橫截面的邊界曲線上），應力函數(shù)的邊界值應當是常數(shù)。當應力函數(shù)增加或減少一個常數(shù)時，應力分量不受影響，因此在單連截面（實心桿）的情況下應力函數(shù)的邊界值可以取為零s=0（10-4）在多連截面的情況下，雖然應力函數(shù)s在每一邊界上都是常數(shù)，但各個常數(shù)一般并不相同。因此只能把其中某一個邊界上的s取為零，其它邊界上的s，則應根據(jù)位移單值條件來確定。在桿的任一端（上端）l=m=0，n=-1，則要求因面力必須合成扭矩M，所以要求

根據(jù)（b）中的第一式及（10-2），式（c）左邊的積分改寫為

其中B及A是橫截面邊界上B點及A點的值，由圖可知，應當?shù)扔诹悖梢姡╟）、（d）兩式滿足

根據(jù)（b）式及（10-2），式（e）左邊的積分改寫為

利用分部積分，并注意到B=A=0

同理可得

于是（e）式成為為了求得應力，只須求出應力函數(shù)，使之能滿足方程（10-3）~（10-5），然后由（10-2）式求應力分量。

位移公式將應力分量的表達式（10-1）及（10-2）代入物理方程（8-17）得總結(jié)：

將上述表達式代入幾何方程（8-9）得

通過積分，可求得位移分量

積分常數(shù)代表剛體位移，K也是積分常數(shù)。只保留與形變有關(guān)的位移，則

若用柱坐標表示，則為

可見，每個橫截面在xy面上的投影不改變形狀，而只是轉(zhuǎn)動一個角度α=Kz。由此可見，桿的單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角為。

將（10-6）代入（f）中的5、6兩式得

通過以上兩式可以求解w。并將以上兩式分別對y及x求導，然后相減，即得

方程（10-3）中的常數(shù)C應為§10.2扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬

普朗都指出：薄膜在均勻壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應力函數(shù)，在數(shù)學上是相似的。用薄膜來比擬扭桿，可以有助于求得扭轉(zhuǎn)問題的解答。設(shè)有一塊均勻薄膜，張在一個水平邊界上，水平邊界與某一扭桿的橫截面邊界具有同樣的形狀和大小。當薄膜承受微小的均勻壓力，薄膜的各點將發(fā)生微小的垂度。以邊界所在的水平面為xy面，則垂度為z。假定薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，只承受均勻的拉力T。

在薄膜中取微小部分abcd，則有

由平衡條件得簡化得即薄膜在邊界上的垂度等于零，即由于q/T為常量，（10-10）及（10-11）兩式可以改寫為因為扭轉(zhuǎn)問題中的GK也為常量，（10-8）及（10-4）變形為對比（b）、（a）兩式，并注意到薄膜和扭桿橫截面具有相同的邊界，與決定于同樣的微分方程和邊界條件，因而具有相同的解答，即命薄膜及其邊界平面之間的體積為V，則有應用（c）式及（10-5），可得從而有此外，根據(jù)（10-2）及（c），又可得其中為薄膜沿y方向的斜率，上式可以改寫為

調(diào)整薄膜所受的壓力q，使得薄膜的q/T的值等于扭桿的2GK值，由（c）、（d）、（e）可得如下結(jié)論：（1）該扭桿的應力函數(shù)，等于該薄膜的垂度z；（2）該扭桿所受的扭矩M，等于該薄膜及其邊界平面之間的體積的兩倍，即2V；（3）該扭桿橫截面上某一點處的剪應力τzx，等于該薄膜上對應點處的斜率。討論：因為x軸和y軸可以取在扭桿橫截面上任意兩個相互垂直的方向，所以第三個結(jié)論可以推廣為：在扭桿橫截面上某一點處、沿任一方向的剪應力，等于該薄膜在對應點處的、沿垂直方向的斜率。

扭桿橫截面上的最大剪應力等于該薄膜的最大斜率。

最大剪應力的方向和最大斜率的方向相互垂直。§10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

設(shè)有等截面直桿，它的橫截面具有一個橢圓邊界，橢圓的半軸分別為a和b。橢圓的方程為應力函數(shù)在邊界上為零，故設(shè)為將（b）代入（10-3），得應力函數(shù)的形式為將（c）代入（10-5）得由材料力學知代入（d）可得再回代（c）可得應力函數(shù)應力分量的表達式任一點的合剪應力最大剪應力單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角位移分量的表達式不計剛體位移，則結(jié)論：

扭桿的橫截面并不保持為平面，而將翹成曲面。曲面的等高線在xy面上的投影是雙曲線，這些雙曲線的漸近線是x軸和y軸。只有當a=b時，才有w=0，橫截面才保持為平面。設(shè)矩形的邊長分別為a和b，如圖所示狹長矩形，a>>b。應力函數(shù)在絕大部分橫截面上幾乎不隨x變化，因為對應的薄膜幾乎不受短邊的影響，于是可以近似取1.狹長矩形§10.4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)（10-3）成為

積分，并利用邊界條件將（a）代入（10-5）得解得應力函數(shù)的表達式應力分量的表達式最大剪應力單位長度內(nèi)扭轉(zhuǎn)角2.任意矩形應力函數(shù)滿足應力函數(shù)也可表示為邊界條件滿足

根據(jù)對稱條件，應力函數(shù)應該是x及y的偶函數(shù)。

取應力函數(shù)為

F為修正項，并注意邊界條件（f），所以F應是調(diào)和函數(shù)，并滿足邊界條件

根據(jù)對稱條件，F(xiàn)也應該是x及y的偶函數(shù)。

經(jīng)過分析，F(xiàn)可以取如下形式代入（j）中的第一式，得將上式右邊展成級數(shù)，并比較系數(shù)從而得修正項的表達式應力函數(shù)的最終表達式最大剪應力

扭矩M與扭角K的關(guān)系扭角K的表達式最大剪應力的計算公式（m）及（n）可以寫成因子β和β1只與比值a/b有關(guān)。兩個因子的數(shù)值如下a/bββ1a/bββ11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2305.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258很大0.3330.333當a/b很大時，β和β1都趨于1/3,退化為狹長矩形。§10.5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)

工程上通常使用的薄壁桿，它們的橫截面大都是由等寬度的狹長矩形組成。

如果有兩個狹長矩形截面的扭桿，它們的扭角K相同，剪切彈性模量G相同，則兩個扭桿的扭矩M及剪應力τ差別不大。因此，一個曲的狹矩截面，可以用一個同寬同長的直的狹矩截面來代替，而不致引起多大的誤差。

用ai及bi分別代表扭桿橫截面的第i個狹矩形的長和寬，Mi代表該矩形面積上承受的扭矩（整個橫截面上扭矩M的一部分），τi代表矩形長邊中點附近的剪應力，K代表扭桿的扭角，根據(jù)公式（10-19）及（10-20），則有由式（b）可得扭桿整個橫截面上的扭矩為（c）式代入（d）式消去K，回代（a）及（b）兩式得

對于狹矩形長邊中點處的剪應力τi，公式（10-23）給出相當精確的數(shù)值，但在兩個狹矩形的連接處，可能發(fā)生遠大于此的局部剪應力。按照胡斯用差分計算的結(jié)果，比值τmax/τi與比值ρ/τi大致如下。

分析閉合薄壁桿的扭轉(zhuǎn)問題時，最好應用薄膜比擬，以避免應用位移單值條件的麻煩。

假想在薄壁桿的橫截面邊界上張一塊薄膜，薄膜在外邊界AB處的垂度為零。命內(nèi)邊界CD處的垂度為h。由于桿壁的厚度δ很小，薄膜的斜率沿厚度方向的變化可以忽略不計。于是，在桿壁厚度為δ之處，剪應力的大小為扭矩M為A可以取內(nèi)外兩邊界所包圍面積的平均值，也可以取桿壁中線所包圍的面積。

在桿壁中線的微段ds上，薄膜對平板的拉力為Tds。該拉力在z軸上的投影為Tsinαds，可以近似的取為Ttanαds，即Tdsh/δ,平板所受的壓力為qA，由平衡方程得由于從而得對于均勻厚度的閉口薄壁桿，δ是常量，故有

s是桿壁中線的全長。

在截面有凹角之處，局部的最大剪應力τmax，可能發(fā)生遠大于公式（10-25）給出的τ值。按照胡斯用差分計算的結(jié)果，比值τmax/τi與比值ρ/τi大致如下。§10.6扭轉(zhuǎn)問題的差分解

對于等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題，如果桿的橫截面是單連截面，則用差分法求解比較方便。

在桿的橫截面上剖分網(wǎng)格，在任一內(nèi)節(jié)點0，有

根據(jù)的微分方程（10-8），在內(nèi)節(jié)點0，有

將（a）代入（b）即得內(nèi)節(jié)點0處的差分方程

由于GKh2是常量，上式對每個內(nèi)節(jié)點都相同。

對于單連截面，可以把邊界上各節(jié)點處的值取為零。在（10-28）所示方程中，未知量只有內(nèi)節(jié)點處的值，而方程的數(shù)目又恰好等于方程的數(shù)目，因而可以完全求解各內(nèi)節(jié)點處的值。用應力函數(shù)表示應力分量的表達式為對于內(nèi)節(jié)點，采用中點導數(shù)公式對于邊界節(jié)點，采用端點導數(shù)公式上述應力分量是用GKh表示的，利用應力函數(shù)與扭矩M的關(guān)系式，即假設(shè)圖中節(jié)點0到節(jié)點8九個節(jié)點處的值均已求出，可應用二維辛普生積分，計算以節(jié)點0為中心的2h×2h正方形范圍內(nèi)的積分值。（10-30）

將上述積分值相疊加，得到整個橫截面上的，用GKh4表示。再將這個結(jié)果代入（c），可將K值用M值來表示，從而將求出的應力分量用扭矩M表示。

例題

橫截面為正方形a×a的扭桿，采用h=a/4的4×4的網(wǎng)格，如圖所示，試求最大剪應力。由于對稱性，只須計算b、c、d三種節(jié)點的值（邊界上的值取為