工程流體力學(xué)預(yù)備知識(shí)第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日0.1標(biāo)量、矢量和場(chǎng)標(biāo)量(scalarquantity)：只具有大小而沒有方向的物理量，我們把它稱之為標(biāo)量。矢量（Vector）：有一種物理量，僅用大小還不能全面的來(lái)描述它，還需要用方向來(lái)描述它。例如說(shuō)，我們只知道一個(gè)人從學(xué)校門口走了1公里，就無(wú)法確定他到了什么地方。但如果還知道了他走的方向是正東，我們就能確定他到了什么地方了。這種既具有大小又具有方向的物理量，我們把它稱之為矢量。矢量與標(biāo)量的根本區(qū)別是有沒有方向。第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日矢量具有平移不變性(translationinvariant)：把矢量在空間中平移，矢量的大小和方向不會(huì)改變，這種性質(zhì)稱為矢量平移的不變性。

矢量的模(module)：矢量的大小稱為矢量的模。矢量的模記為：或者。在直角坐標(biāo)(rectangularcoordinates)中，一個(gè)矢量可以用它在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)投影分量(component)來(lái)表示：第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日矢量的標(biāo)積(scalarproduct)也稱為矢量的點(diǎn)乘，定義為矢量的矢積(vectorproduct)也稱為矢量的叉乘，定義為矢量的標(biāo)積與矢積

其中i為由a和b根據(jù)右手螺旋定則判定的單位矢量。第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)?field):在自然界中，許多問題是定義在確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對(duì)應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場(chǎng)，電流在周圍空間激發(fā)的磁場(chǎng)，空間充滿流體的壓力場(chǎng)等。如果這個(gè)量是標(biāo)量我們稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)；如果這個(gè)量是矢量，則稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日方向?qū)?shù)定義圖

0.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度設(shè)M0是標(biāo)量場(chǎng)φ=φ(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上M0的鄰近取一點(diǎn)M，MM0=ρ，如圖所示。若當(dāng)M趨于M0時(shí)(即ρ趨于零時(shí))，

的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為

標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為：在直角坐標(biāo)系中，令

：第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日其中矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)M0處的常矢量。則方向?qū)?shù)為由上式可見，當(dāng)l與G的方向一致時(shí)，即cos(G,l°)=1時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日在標(biāo)量場(chǎng)φ(M)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)φ(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場(chǎng)φ(M)在M點(diǎn)處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為用漢密爾頓微分算子表示為第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場(chǎng)的梯度函數(shù)建立了標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場(chǎng)可以通過標(biāo)量函數(shù)來(lái)研究，或者說(shuō)標(biāo)量場(chǎng)可以通過矢量場(chǎng)的來(lái)研究。標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）。梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立：第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例0-1設(shè)標(biāo)量函數(shù)r(x,y,z)是動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的矢量的模，即，試證明：。證：因?yàn)榈谑?yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日所以證畢。第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日0.3矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)與矢量線：

在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)有確定矢量與對(duì)應(yīng)，則稱該空間區(qū)域上定義了一個(gè)矢量場(chǎng)。為了同時(shí)描述矢量場(chǎng)的方向和數(shù)值，除了直接用矢量的數(shù)值和方向來(lái)表示矢量場(chǎng)的大小以外，用矢量線來(lái)形象的描述矢量場(chǎng)分布。所謂矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線能夠描述矢量場(chǎng)在空間的方向，但不能夠直觀描述矢量場(chǎng)的大小。第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)定義，得矢量線方程：第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日矢量場(chǎng)的通量：

為了克服矢量線不能定量描述矢量場(chǎng)的大小的問題，引入通量的概念。在場(chǎng)區(qū)域的某點(diǎn)選取微元面積，穿過該微元面積的矢量線的總數(shù)（即該矢量與微元面積的點(diǎn)乘），稱為矢量場(chǎng)對(duì)于面積微元的通量。可見通量是對(duì)矢量線大小或者多少的某種描述。第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日矢量場(chǎng)F(x,y,z)對(duì)于曲面s的通量為曲面s上所有微小面積元通量的疊加：第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法向由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日表示通過閉合曲面有凈的矢量線流出表示有凈的矢量線流入表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。因此散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合微小曲面的通量與曲面微元體積之比的極限。第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日Gauss定理：直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)散度的積分：上式稱為矢量場(chǎng)的Gauss定理。第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日0.4正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。該三條正交曲線組成確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系，三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸，描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日正交曲線坐標(biāo)變換

三維空間中同一位置可以用不同的正交曲線坐標(biāo)系描述。因此不同坐標(biāo)系之間存在相互變換的關(guān)系，且這種變換關(guān)系只能是一一對(duì)應(yīng)的。第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日在任何正交曲線坐標(biāo)系中，存在一組與坐標(biāo)軸相對(duì)應(yīng)的單位矢量。如直角坐標(biāo)系中的，圓柱坐標(biāo)系中的等。正交曲線坐標(biāo)系某個(gè)坐標(biāo)方向上的單位矢量，它是該坐標(biāo)變量為常數(shù)所對(duì)應(yīng)曲面的單位法矢量。第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日曲面的法向矢量第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日坐標(biāo)系中的弧長(zhǎng)

在直角坐標(biāo)系中，空間任意點(diǎn)的坐標(biāo)變量的微小變化，變化前后的弧長(zhǎng)是：

在正交曲線坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量的相鄰兩點(diǎn)的微小變化弧長(zhǎng)為：第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日其中，稱為拉梅(Lame)系數(shù)。第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日散度的有關(guān)公式在任意正交曲線坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)的散度表達(dá)式為：第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日0.5矢量場(chǎng)的旋度環(huán)量與旋渦源不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)與電流的關(guān)系。第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)量的概念：矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線L的環(huán)量定義為該矢量對(duì)閉合曲線L的線積分，記為：（1)如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。（2)如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)量不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日SirC.Hinshelwood:“Fluiddynamicistsweredividedintohydraulicengineerswhoobservedwhatcouldnotbeexplained,andmathematicianswhoexplainedthingsthatcouldnotbeobserved.”-—QuotedbyM.J.LighthillinNature178(1956),p434.第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日G.Birkhoff:“SydneyGoldstainhasobserved