新人教版九年級數學(下冊)第二十八章

§28.2解直角三角形（1）

解決有關比薩斜塔傾斜的問題．

設塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m問：傾斜角∠A是多少？所以∠A≈5.48°

ABCABC問題1.直角三角形中，除直角外還有幾個元素呢？解直角三角形ABabcC一，解直角三角形定義:在直角三角形中，由除直角外的已知元素求其他未知元素的過程．這五個元素有什么關系呢？（2）兩銳角之間的關系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關系（1）三邊之間的關系（勾股定理）ABabcC關系：問題2：知道5個元素當中幾個，就可以求其他元素？

1.已知兩條邊:2已知一邊一角:⑴兩直角邊⑵一直角邊和斜邊

⑴一直角邊和一銳角⑵斜邊和一銳角猜想歸納，解直角三角形的類型：例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解這個直角三角形解：ABC例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個直角三角形（精確到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°ABCabc2035°你還有其他方法求出c嗎？變式練習1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，求直角三角形的面積。DABC62如圖，在電線桿上離地面高度5m的C點處引兩根拉線固定電線桿，一根拉線AC和地面成60°角，另一根拉線BC和地面成45°角．求兩根拉線的總長度（結果用帶根號的數的形式表示)在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件解直角三角形；（1）a=30,b=20;練習解：根據勾股定理ABCb=20a=30c

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件解直角三角形；

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：28.2.2第二課時應用舉例

解決有關比薩斜塔傾斜的問題．

設塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m所以∠A≈5°28′

可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計算一下嗎？ABCABC例4：

2008年10月15日“神舟”7號載人航天飛船發射成功．當飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運行．如圖，當飛船運行到地球表面上P點的正上方時，從飛船上最遠能直接看到地球上的點在什么位置？這樣的最遠點與P點的距離是多少？（地球半徑約為6400km，結果精確到0.1km）

分析：從飛船上能最遠直接看到的地球上的點，應是視線與地球相切時的切點．·OQFPα

如圖，⊙O表示地球，點F是飛船的位置，FQ是⊙O的切線，切點Q是從飛船觀測地球時的最遠點．的長就是地面上P、Q兩點間的距離，為計算的長需先求出∠POQ（即a）解：在圖中，FQ是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∴PQ的長為

當飛船在P點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距離P點約2009.6km·OQFPα1.如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點E離D多遠正好能使A，C，E成一直線（精確到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開挖點E離點D332.8m正好能使A，C，E成一直線.解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE

的一個外角

2.如圖所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？解

利用勾股定理可以求出折斷倒下部分的長度為:26＋10＝36（米）.答:大樹在折斷之前高為36米.3.如圖,太陽光與地面成60度角,一棵傾斜的大樹AB與地面成30度角,這時測得大樹在地面上的影長為10m,請你求出大樹的高.ABC30°地面太陽光線60°30AB的長D（2）兩銳角之間的關系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關系（1）三邊之間的關系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：復習30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數30°45°60°sinacosatana對于sinα與tanα，角度越大，函數值也越大；（帶正）對于cosα，角度越大，函數值越小。問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°.現有一個長6m的梯子，問：（1）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到0.1m）？（2）當梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角a等于多少（精確到1°）？這時人是否能夠安全使用這個梯子？這樣的問題怎么解決問題（1）可以歸結為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜邊AB＝6，求∠A的對邊BC的長．

問題（1）當梯子與地面所成的角a為75°時，梯子頂端與地面的距離是使用這個梯子所能攀到的最大高度．因此使用這個梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m所以BC≈6×0.97≈5.8由計算器求得sin75°≈0.97由得ABαC對于問題（2），當梯子底端距離墻面2.4m時，求梯子與地面所成的角a的問題，可以歸結為：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜邊AB＝6，求銳角a的度數由于利用計算器求得a≈66°

因此當梯子底墻距離墻面2.4m時，梯子與地面所成的角大約是66°由50°＜66°＜75°可知，這時使用這個梯子是安全的．ABCα在圖中的Rt△ABC中，（1）根據∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能6=75°在圖中的Rt△ABC中，（2）根據AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能62.4第三課時應用舉例例2:熱氣球的探測器顯示,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高?α=30°β=60°120ABCD答案:

米

合作與探究變題1：如圖，直升飛機在長400米的跨江大橋AB的上方P點處，且A、B、O三點在一條直線上，在大橋的兩端測得飛機的仰角分別為30°和45°，求飛機的高度PO.ABO30°45°400米P45°30°OBA200米

合作與探究例2：如圖，直升飛機在高為200米的大樓AB上方P點處，從大樓的頂部和底部測得飛機的仰角為30°和45°，求飛機的高度PO.LUD答案:

米P

合作與探究例2：如圖，直升飛機在高為200米的大樓AB上方P點處，從大樓的頂部和底部測得飛機的仰角為30°和45°，求飛機的高度PO.45°30°POBA200米C

合作與探究45°30°POBA200米C例2：如圖，直升飛機在高為200米的大樓AB上方P點處，從大樓的頂部和底部測得飛機的仰角為30°和45°，求飛機的高度PO.

合作與探究例2：如圖，直升飛機在高為200米的大樓AB上方P點處，從大樓的頂部和底部測得飛機的仰角為30°和45°，求飛機的高度PO.45°30°POBA200米C200米POBA45°30°D答案:

米

合作與探究變題2：如圖，直升飛機在高為200米的大樓AB左側P點處，測得大樓的頂部仰角為45°,測得大樓底部俯角為30°，求飛機與大樓之間的水平距離.典型例題解析【例1】(2004年·南京市)天空中有一個靜止的廣告氣球C，從地面A點測得C的仰角為45°，從地面B點測得C點的仰角為60°，已知AB=20m，點C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度?(結果保留根號）45°30°200米POBD

歸納與提高45°30°PA200米CBO45°30°45060°45°20020045°30°βαABOPABOP30°45°450作業

更上一層樓必做題：書本P96/4、P97/7題．選做題：1.一架直升機從某塔頂Ａ測得地面C、D兩點的俯角分別為30°、45°，若C、D與塔底Ｂ共線，CD＝200米，求塔高AB？2.有一塊三形場地ABC，測得其中AB邊長為60米，AC邊長50米，∠ABC=30°，試求出這個三角形場地的面積．3.學生小王幫在測繪局工作的爸爸買了一些儀器后與同學在環西文化廣場休息，看到濠河對岸的電視塔，他想用手中的測角儀和卷尺不過河測出電視塔空中塔樓的高度.現已測出∠ADB=40°，由于不能過河，因此無法知道BD的長度，于是他向前走50米到達C處測得∠ACB=55°，但他們在計算中碰到了困難，請大家一起想想辦法，求出電視塔塔樓AB的高.

更上一層樓（參考數據：）答案：空中塔樓AB高約為105米塔樓濠河ABCD50m

55°40°1.如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角α=16031`，求飛機A到控制點B的距離.(精確到1米）αABC2.兩座建筑AB及CD，其地面距離AC為50.4米，從AB的頂點B測得CD的頂部D的仰角β＝250,測得其底部C的俯角a＝500,求兩座建筑物AB及CD的高.（精確到0.1米）課本P92

例4挑戰自我3.國外船只，除特許外，不得進入我國海洋100海里以內的區域，如圖，設A、B是我們的觀察站，A和B之間的距離為157.73海里，海岸線是過A、B的一條直線，一外國船只在P點，在A點測得∠BAP=450，同時在B點測得∠ABP=600，問此時是否要向外國船只發出警告，令其退出我國海域.PAB挑戰自我4、如圖，為了測量高速公路的保護石堡坎與地面的傾斜角∠BDC是否符合建筑標準，