第三章線性系統的運動分析3．1引言

數學的角度，運動分析的實質就是求解系統的狀態方程。以解析形式或數值分析形式，建立系統狀態隨輸入和初始狀態的演化規律。解的存在性和唯一性條件

設系統狀態方程如果系統矩陣A(t),B(t)的所有元在時間定義區間[t0,tα]上為時間t的連續實函數，輸入u(t)的所有元為時間t的連續實函數，那么狀態方程的解x(t)存在且唯一。從數學觀點，上述條件可減弱為：①系統矩陣A(t)的各個元aij(t)在時間區間[t0,tα]上為絕對可積，即：當且僅當狀態方程的解為存在和唯一，對系統的運動分析才有意義。③輸入u(t)的各個元uk(t)在時間區間[t0,tα]上為平方可積，即：條件②③可一步合并為要求B(t)、u(t)的各元在時間區間[t0,tα]上絕對可積。本章隨后各節中，均加設系統滿足上述解的存在性和唯一性條件。②輸入矩陣B(t)的各個元bij(t)在時間區間[t0,tα]上為平方可積，即：線性系統運動＝零輸入響應＋零初態響應3．2連續時間線性時不變系統的運動分析

系統的零輸入響應令輸入u(t)=0而得到系統自治狀態方程結論1.系統自治狀態方程的解，具有以下形式其中若初始時間取為t0≠0則連續時間線性時不變系統的運動分析是本章討論的重點

設其解是t的向量冪級數則由對應項系數相等關系有式中x0，b1，…，bk，都是n維向量，且x(0)=b0，故定義：矩陣指數函數矩陣指數函數的性質

(4)

設A和F為兩個同維可交換方陣，即AF=FA則有矩陣指數函數的算法

1：定義法2：特征值法1）若A的特征值為兩兩互異則

只能得到eAt的數值結果，難以獲得eAt解析表達式，但用計算機計算，具有編程簡單和算法迭代的優點。P為變換A為約當規范型的變換矩陣p=[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn為A的n個特征向量。2）若A的特征值出現重根其中則其中假設的i幾何重數為1例三個互異特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3例

三個重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=23：有限項展開法設根1、2、…

n

為A的n個互異特征值若1為n重特征值例

4：預解矩陣法例:已知，求eAt解：證明：其解為：系統的零初態響應當x(0)=0時，線性時不變系統狀態方程系統狀態方程的解，具有以下形式系統狀態運動規律的基本表達式

設系統的狀態空間描述為其解為：對初始時刻t0=0情形有表達式3.3連續時間線性時不變系統的狀態轉移矩陣設連續時間線性時不變系統，狀態方程為：基本解陣

矩陣方程的解陣稱為連續時間線性時不變系統(1)的基本解陣。其中H為任意非奇異實常陣結論：(1)基本解陣不唯一

(2)由系統自治方程的任意n個線性無關解為列可構成一個基本解陣。(3)連續時間線性時不變系統(1)的一個可能的基本解陣為狀態轉移矩陣

矩陣方程的解陣(t-t0)

稱為連續時間線性時不變系統(1)的狀態轉移矩陣。結論：1:連續時間線性時不變系統(1)的狀態轉移矩陣可由基本解陣定出2:狀態轉移矩陣(t-t0)

唯一，與基本解陣的選取無關。3:狀態轉移矩陣的形式為基于狀態轉移矩陣的系統響應表達式

狀態轉移矩陣的特性3.5連續時間線性時變系統的運動分析

狀態轉移矩陣設連續時間線性時變系統，狀態方程為對連續時間線性時變系統，矩陣方程：的解矩陣(t,t0)稱為狀態轉移矩陣。矩陣方程的解矩陣(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實常值矩陣。線性時變系統的運動不管是規律形態還是分析方法都要復雜得多，但運動規律表達式形式上十分類似于線性時不變系統。結論：①基本解陣不唯一②對連續時間線性時變系統，其一個基本解陣可由系統自治狀態方程的任意n個線性無關解為列構成③對連續時間線性時變系統，其一個基本解陣結論：①狀態轉移矩陣為唯一②狀態轉移矩陣的形式狀態轉移矩陣的性質

系統的狀態響應

結論：對連續時間線性時變系統，狀態方程的解狀態運動計算上的困難對連續時間線性時變系統，一般難以確定狀態轉移矩陣的解析表達式，主要用于理論分析中。可用數值方法求解。

線性系統狀態運動表達式在形式上的統一性。3.6連續時間線性系統的時間離散化基本約定：

1）對采樣方式的約定采樣方式取為以常數T為周期的等間隔采樣，采樣時間寬度△比采樣周期T小得多。2）對采樣周期T大小的約定滿足Shamnon采樣定理給出的條件3）對保持方式的約定零階保持方式

無論是采用數字計算機分析連續時間系統運動行為，還是采用離散控制裝置控制連續時間受控系統，都會遇到將連續時間系統化為離散時間系統的問題。基本結論：

給定連續時間線性時變系統則其在基本約定下的時間離散化描述為其中結論：

給定連續時間線性時不變系統則其在基本約定下的時間離散化描述為其中結論：①時間離散化屬性：時間離散化不改變系統的時變或時不變屬性②離散化系統屬性：不管系統矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統的系統矩陣G(k)和G必為非奇異。例：線性定常系統的狀態方程為設采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態方程。解

3.7離散時間線性系統的運動分析

不管是時變差分方程，還是時不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統狀態方程，利用給定的或定出的上一采樣時刻狀態值，迭代地定出下一個采樣時刻的系統狀態。定義：矩陣方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解陣(k,m)稱為離散時間線性時變系統x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態轉移矩陣。矩陣方程(k+1)=G(k),(0)=I的解陣(k),稱為離散時間線性時不變系統x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態轉移矩陣。結論：離散時間線性時變系統狀態轉移矩陣為：

(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)

離散時間線性時不變系統狀態轉移矩陣為：結論：①(k,m)非奇異G(i),i=m,m+1,…k-1均為非奇異②(k)非奇異G非奇異③對連續時間線性系統的時間離散化系