7-3Z變換理論通過前面對線性連續系統的討論我們知道，線性連續系統用線性微分方程來描述，可以應用拉氏變換的方法來分析其動態及穩態過程。線性采樣系統中包含離散信號，用差分方程來描述，同樣可以應用一種z變換的方法來進行分析。z變換是由拉氏變換引申出來的一種變形。Z變換定義

設連續時間函數f(t)可進行拉氏變換，其拉氏變換為F(s)。連續時間函數f(t)經采樣周期為T的采樣開關后，變成離散信號f*(t)離散信號的拉氏變換為上式中各項均含有e-kTs因子，為便于計算定義一個新變量z=esT，其中T為采樣周期，z是復數平面上定義的一個復變量。通常稱為z變換算子。得到以z為自變量的函數F(z)是相互補充的兩種變換形式，前者表示s平面上的函數關系，后者表示z平面上的函數關系。若所示級數收斂，則稱F(z)是f*(t)的z變換。記為

Z[f*(t)]=F(z)應該指出，式所表示的z變換只適用于離散函數，或者說只能表征連續函數在采樣時刻的特性，而不能反映其在采樣時刻之間的特性。人們習慣上稱F(z)是f(t)的z變換,指的是經過采樣后f*(t)的z變換。采樣函數f*(t)所對應的z變換是唯一的，反之亦然。但是，一個離散函數f*(t)所對應的連續函數卻不是唯一的，而是有無窮多個。從這個意義上來說，連續時間函數x

(t)與相應的離散時間函數x*(t)具有相同的z變換，即Z變換方法求離散函數z變換的方法有很多，我們介紹其中三種。1)級數求和法由離散函數及其拉氏變換，根據z變換的定義有：其為離散函數z變換的一種表達形式。只要已知連續函數在采樣時刻kT(k=0,1,2,3,4,…..)的采樣值便可求取離散函數z變換的級數展開式。對常用離散函數的z變換應寫成級數的閉合形式。例7-1：試求函數f(t)=1(t)的z變換。解:f(kt)=1(t)(k=0,1,2,3….)例7-2：試求函數f(t)=e-at的z變換。綜上分析可見，通過級數求和法求取已知函數Z變換的缺點在于：需要將無窮級數寫成閉式。這在某些情況下要求很高的技巧。但函數Z變換的無窮級數形式卻具有鮮明的物理含義，這又是Z變換無窮級數表達形式的優點。Z變換本身便包含著時間概念，可由函數Z變換的無窮級數形式清楚地看出原連續函數采樣脈沖序列的分布情況。

2)部分分式法設連續函數f(t)的拉氏變換式為有理函數，可以展開成部分分式的形式，即式中pi為F（s）的極點，

Ai為常系數。對應的時間函數為其Z變換為可見，f（t）的Z變換為：利用部分分式法求z變換時，先求出已知連續時間函數f（t）的拉氏變換F(s)，然后將有理分式函數F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）給出每一項相應的z變換。例7-3：求的Z變換。例7-4：求f(t)=sinωt的Z變換。解：的原函數為，其Z變換為3)留數計算法已知連續信號f(t)的拉氏變換F(s)及它的全部極點,可用下列的留數計算公式求F(z)。函數在極點處的留數計算方法如下：若Si為單極點，則若有ri重極點Si，則例7-5已知系統傳遞函數為，應用留數計算法求F（z）。解：F(s)的極點為單極點例7-6：求(t>0)的Z變換.解：F(s)有兩個s=0的極點，即若對于任何常數a和b，則有Z變換性質1）線性定理證明：由Z變換定義若2）實數位移定理又稱平移定理實數位移含義，是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干個采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為延遲。則有及3）復域位移定理若則有：定理的含義是：函數x(t)乘以指數序e±at的Z變換，等于在x(t)的Z變換表達式X(z)中，以取代原算子z。證明：由Z變換定義舉例：試用復數位移定理計算函數te-at的Z變換解：令x(t)=t，查表7-1知根據復數位移定理，有4）復數微分定理若Z[x(t)]=X(z)，則5）初值定理若Z[x(t)]=X(z)，且當t<0時，x(t)＝0則6）終值定理若Z[x(t)]=X(z)

，且(z－1)X(z)的全部極點位于Z平面的單位圓內，則舉例：設Z變換函數為試用終值定理確定的終值。解：由終值定理得7）卷積定理設和為兩個采樣函數，其離散卷積定義為：若必有：Z反變換與拉氏反變換類似，z反變換可表示為：下面介紹三種常用的z反變換法。1）綜合除法這種方法是用F(z)的分母除分子。求出z-1按升冪排列的級數展開式，然后用z反變換求出相應的采樣函數的脈沖序列。其中ai，bj均為常系數。通過對上式直接作綜合除法，得到按z-1升冪排列的冪級數展開式，如果得到的無窮級數是收斂的，則按Z變換定義可知上式中的系數fk

（k=0，1，…）就是采樣脈沖序列f*(t)的脈沖強度f(kT）。因此可直接寫出f*(t)的脈沖序列表達式上式就是我們要求的通過z反變換得到的離散信號f*(t)。求解時應注意：①在進行綜合除法之前，必須先將F(z)的分子，分母多項式按z的降冪形式排列。②實際應用中，常常只需計算有限的幾項就夠了。因此用這種方法計算f*(t)最簡便，這是這一方法優點之一。③要從一組f(kT)值中求出通項表達式，一般是比較困難的。例7-7：已知，試用冪級數法求F(z)的z反變換。解：用綜合除法得到因為又因為所以有2)部分分式展開法在z變換表中，所有z變換函數F(z)在其分子上都普遍含有因子z，所以應將F(z)/z展開為部分分式，然后將所得結果每一項都乘以z，即得F(z)的部分分式展開式。例7-8設,試求f(kT)。解：經計算有A=1，B=－1所以有查z變換表得3）留數計算法（反演積分法）根據z變換定義有根據柯西留數定理有式中表示F(z)zk-1在極點zi

處的留數。關于函數F(z)zk-1在極點處的留數計算方法如下：若zi為單極點，則若F(z)zk-1有ｎ階重極點zi，則例7-9：設z變換函數，試用留數法求其z反變換。解：因為函數有z1=－1，z2=－2兩個極點，極點處的留數所以有相應的函數為：7-4離散系統的數學模型線性離散系統的數學模型有差分方程、脈沖傳遞函數和離散狀態空間表達式三種。離散系統的數學模型將輸入序列x(n)，n=0，±1，±2，…變換為輸出序列y(n)的一種變換關系，稱為離散系統。記為y(n)=F[x(n)]其中，x(n)和y(n)可以理解為t=nT時，系統的輸入序列x(nT)和輸出序列y(nT），T為采樣周期。線性離散系統如果離散系統滿足疊加原理，則稱為線性離散系統，有如下關系式若且有其中a和b為任意常數，則線性定常離散系統輸入與輸出關系不隨時間而改變的線性離散系統稱為線性定常離散系統。線性常系數差分方程對于一般的線性定常離散系統，k時刻的輸出y(k)不但與k時刻的輸入x(k)有關，而且與k時刻以前的輸入x(k－1)，x(k－2),…有關，同時還與k時刻以前的輸出y(k－1),y(k－2),…有關。這種關系可以用下列

階后向差分方程描述：上式可表示為式中a和b為常數m<n，上式稱為n階線性常系數差分方程，它在數學上代表一個線性定常離散系統。差分方程求解

常用方法有迭代法和z變換法。迭代法非常簡單。舉例說明如下：

例7-10已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k－1)－6y(k－2)，輸入序列x(k)=1，初始條件為y(0)=0,y(1)=1，試用迭代法求出輸出序列y(k)，k=0，1，2，···，10。解：根據初始條件及遞推關系，得y(0)=0y(1)=1y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25y(4)=x(4)+5y(3)-6y(2)=90 ……y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526Z變換法差分方程求解

Z變換法的實質是利用z變換的實數位移定理，將差分方程化為以z為變量的代數方程，然后進行z反變換，求出各采樣時刻的響應。Z變換法的具體步驟是：①對差分方程進行z變換；②解出方程中輸出量的z變換Y(z)；③求Y(z)的z反變換，得差分方程的解y(k)。

例7-11用Z變換法解二階差分方程解：對上式取Z變換代入初始條件，得，脈沖傳遞函數（Z

傳遞函數）在線性連續系統中，我們把初始條件為零條件下系統(或環節)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變拉之比，定義為傳遞函數，并用它來描述系統(或環節)的特性。與此相類似，在線性離散系統中，我們把初始條件為零條件下系統(或環節)的輸出離散信號的Z變換與輸入離散信號的Z變換之比，定義為脈沖傳遞函數，又稱為Z傳遞函數。脈沖傳遞函數是離散系統的一個重要概念，是分析離散系統的有力工具。圖7-15采樣系統脈沖傳遞函數1）脈沖傳遞函數的定義在零初始條件下，線性定常離散系統的離散輸出信號z變換與離散輸入信號z變換之比，稱為該系統的脈沖傳遞函數（或z傳遞函數）。零初始條件是指時，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為零。多數實際采樣系統的輸出信號是連續信號，如圖上圖所示，在這種情況下，可以在輸出端虛設一個采樣開關，并設它與輸入采樣開關以相同的采樣周期T同步工作。這樣就可以沿用脈沖傳遞函數的概念。

2)脈沖傳遞函數的求法連續系統或元件的脈沖傳遞函數G(z)，可以通過其傳遞函數G(s)來求取。方法是：先求G(s)的拉氏反變換，得到脈沖過渡函數g(t),再將g(t)按采樣周期離散化，得到加權序列g(nT)，最后將g(nT)進行z變換，得出G(z)。這一過程比較復雜，通常可根據z變換表，直接從G(s)得到G(z)，而不必逐步推導。若已知系統的差分方程，可對方程兩端進行z變換，應用求取。例7-12:若描述采樣系統的差分方程為試求其脈沖傳遞函數。解：對上面差分方程進行z變換，并令初始條件為0，有3）采樣系統的開環脈沖傳遞函數Ⅰ采樣拉氏變換的性質采樣拉氏變換的兩個重要性質（1）采樣函數的拉氏變換具有周期性，即（2）若采樣函數的拉氏變換與連續函數的拉氏變換相乘后再離散化，則可以從離散符號中提出來，即Ⅱ開環脈沖傳遞函數討論采樣系統在開環狀態下的脈沖傳遞函數時，應注意圖中所示的兩種不同的結構形式（如圖7-16所示）。圖7-16：環節串聯的結構串聯環節之間無采樣器時的脈沖傳遞函數串聯環節之間有采樣器時的脈沖傳遞函數上式表明，被采樣開關分隔的兩個線性環節串聯時，其脈沖傳遞函數等于這兩環節的脈沖傳遞函數之積。這個結論可以推廣到有n個環節串聯而各相鄰環節之間都有采樣開關分離的情形。無采樣開關分隔的兩個線性環節串聯時，其脈沖傳遞函數等于這兩個環節傳遞函數之積的Z變換。顯然，這一結論也可以推廣到有n個環節直接串聯的情況。但環節之間存在采樣開關與否時的脈沖傳遞函數不相等。Ⅲ帶有零階保持器的開環系統脈沖傳遞函數設有零階保持器的開環系統如圖7-17（a）所示,經簡單變換為如圖7-17（b）所示等效開環系統。圖7-17：帶有零階保持器的開環系統根據實數位移定理及采樣拉氏變換性質，可得于是，有零階保持器時，開環系統脈沖傳