自動控制原理復習

2014.9

第2章控制系統的數學模型

◆控制系統數學模型的基本形式

●微分方程式：

描述控制系統運動的最基本的數學表達式（時間域）

●傳遞函數：

線性定常連續控制系統輸出變量的拉普拉斯變換與

輸入變量拉普拉斯變換之比（復頻域）

●圖形形式：

框圖

信號流圖◆舉例

例2-1已知系統框圖，求傳遞函數。

可以有兩種方法求系統的傳遞函數

●框圖簡化

●轉化成信號流圖再利用梅遜公式

▲框圖簡化

⑴框的并聯：框和框并聯，可以合并成

一個框，即；

⑵移動求和點：將之前的求和點移動到

之后，在框后乘一個；

⑶兩個求和點合并成一個；

⑷合并并聯框：框和框合并成

⑸反饋回路計算

⑹最后的系統的傳遞函數為

▲轉化成信號流圖（略）

答案見《控制工程基礎習題解答》

梅遜增益公式

表示所有不同回路的傳遞函數的和；

表示所有每兩個互不接觸的回路的傳遞函數的乘積之和；表示所有每三個互不接觸的回路的傳遞函數的乘積之和；

是從輸入節點到輸出節點的第條前向通路的傳遞函數；被稱為信號流圖的余子式，它是在信號流圖特征式中將與第條前向通路接觸的所有回路的傳遞函數置為0所得的結果。

第3章線性控制系統的運動

◆線性系統的典型時間響應

●典型輸入信號

單位沖激信號單位階躍信號單位斜坡信號單位拋物線信號

●典型輸出響應

▲單位沖激響應

▲單位階躍響應

◆穩定性和勞斯穩定性判據

●線性定常連續控制系統穩定的充分必要條件

▲微分方程的特征方程的根全部位于復數平面的

左半平面

▲傳遞函數的所有極點都具有負實部

●勞斯穩定性判據

特征方程的各項系數符號相同（必要條件）；

勞斯陣列內第一列中各個元的數均為正數。

如果系統不穩定，特征方程中具有正實部的根的

數目等于第一列中各個元的符號的改變次數。

●勞斯判據的應用

▲判斷系統的穩定性（絕對穩定性）

▲確定參數的穩定域（滿足穩定的參數取值范圍）◆穩定系統響應的性能指標

●穩態性能指標

▲穩態誤差

▲靜態誤差系數

*靜態位置誤差系數

*靜態速度誤差系數

*靜態加速度誤差系數

●穩態誤差與系統的型

▲0型系統

*

階躍輸入

*

斜坡輸入、拋物線輸入

▲Ⅰ型系統

*

階躍輸入

*

斜坡輸入

*

拋物線輸入

▲Ⅱ型系統

*

階躍輸入、斜坡輸入

*

拋物線輸入

●瞬態性能指標

▲上升時間

▲峰值時間

▲超調量

▲調整時間

▲延遲時間

◆一階系統的響應

●傳遞函數

●單位階躍響應

●單位沖激響應

◆二階系統的響應

●傳遞函數

●單位階躍響應（欠阻尼）

●單位沖激響應（欠阻尼）

●標準二階系統的瞬態響應指標

▲上升時間：

▲峰值時間：

▲超調量或：

▲調整時間：

，（5%誤差帶）

，（2%誤差帶）

◆舉例

例3-1已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數為

欲使系統對于單位斜坡輸入的穩態誤差為，

單位階躍輸入的超調量為，求參數和

的值，并求上升時間和調整時間。

解：

⑴求

由于要求單位斜坡輸入時，而

因此可以求得。⑵求

系統的閉環傳遞函數為

由于要求，則由可以求得

現取，，則有

，

于是可以求得，。

則

，

第4章頻率響應分析

◆頻率響應特性概念

◆對數坐標圖（伯德圖-BODE圖）及系統的頻域

性能指標：穿越頻率和穩定裕度

▲對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖

*橫坐標：頻率軸（ω軸）

對數刻度，單位為：（弧度∕秒）

*縱坐標：

幅值軸（對數幅值）

線性刻度，單位為：（分貝）

相角軸（相角）

線性刻度，單位為：（度）或（弧度）

▲復雜系統伯德圖的繪制

⑴將傳遞函數化成標準形式，即基本單元串聯的形

（基本單元傳遞函數相乘），求出基本單元和相

關轉角頻率；

⑵將各個轉角頻率按照由小到大的順序排列，并在

伯德圖的頻率軸上做出標記；

⑶繪制低頻漸近線。當時，頻率特性相當于

所以低頻漸近線只由增益和積分單元決定；

⑷繪制更高頻段的折線幅頻特性。▲由系統開環對數幅頻特性圖求最小相位系統的

傳遞函數舉例

例4-1已知最小相位系統的開環對數幅頻特性圖

如下圖所示

⑴求系統的開環傳遞函數；

⑵設系統為單位負反饋，求系統的閉環傳遞函數；

⑶求系統的增益穿越頻率和相角穩定裕度。

解：

⑴圖中，低頻漸近線的斜率為，表明

系統包含一個積分單元；在、、

處斜率變化，表明系統包含

轉角頻率分別為上述數值的3個惰性單元；在

處斜率變化表明系統包含

1個轉角頻率為的比例微分單元；系統

還可能包含比例單元。因此可以初步確定系

統的開環傳遞函數為

求增益

○求處的對數幅值

即

○求得

則系統的開環傳遞函數為

或者

則

求得

⑵系統的閉環傳遞函數為

⑶求和

●極坐標圖及乃奎斯特穩定性判據

（幅相頻率特性、乃奎斯特圖）

▲極坐標圖的繪制

把頻率特性函數的幅值和相角畫在同一張圖上

頻率特性函數為

*時的起始點

*時的結束點

*曲線和坐標軸的交點

*當開環傳遞函數包含積分單元時曲線的繪制

從到部分無窮大半圓的繪制

▲乃奎斯特穩定性判據

控制系統開環頻率特性圖對平面點

逆時針包圍的周數等于系統在右半平面開環

極點的數目

▲舉例

例4-2已知單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為

試繪制系統頻率特性的極坐標圖，并用乃奎斯特

穩定性判據求使系統穩定的值范圍。

解：

⑴系統的開環頻率特性函數為

⑵繪制極坐標圖

當時，

當時，

當時，的極坐標圖從第二象限

方向沿漸近線出發，在第三象限以與

負虛軸相切趨于原點。

由，解得當時，，

即曲線與實軸交于點。

或者令

即

解此三角函數方程同樣可以求得，

代入幅值求得。

據此便可畫出系統的極坐標圖。

⑶求使系統穩定的的取值范圍

系統有一個位于右半平面的開環極點，為使

系統穩定，系統的乃奎斯特曲線應逆時針包圍

點一周。所以應有

解得

因此，為使系統穩定，應滿足

第5章控制系統的頻域校正

◆串聯超前校正裝置的設計

●基本思想：超前校正的主要作用是提高系統的

穩定性和加快系統的響應速度，其原理是最大

限度地利用超前校正裝置所能提供的超前角。

設計過程中的主要任務是選擇超前校正裝置的

轉角頻率以及它們之間的距離，它們之間的距離

越大，所能提供的最大超前角越大。使產生最大

超前角的頻率和校正后系統的增益穿越頻率接近，

以充分提高系統的相角裕度。

（利用相位超前校正裝置的超前相角，補償原系統相角穩定裕度

的不足。因此，應將產生最大相位超前角的頻率定為校正后系統的幅

值穿越頻率。）

●設計步驟：

(1)根據穩態誤差要求確定開環傳遞函數的總增益，

其中可以包括校正裝置傳遞函數的增益；

(2)畫出增益校正后的系統的伯德圖，如果相角穩定

裕度太低，而且也不宜降低增益穿越頻率，則可

考慮進行超前校正。計算超前校正裝置應當提供

的最大超前角（注意要適當地留有余量）。

(3)計算超前校正裝置的分度系數，計算公式為

⑷確定校正后系統的增益穿越頻率，即校正裝置產

生最大超前角的頻率。此頻率是在未校正系統對

數幅頻圖上幅值等于處的頻率。

⑸確定超前校正裝置的轉角頻率，即計算和：

⑹校核。

●舉例（略）

◆串聯滯后校正裝置的設計

●基本思想：滯后校正的主要作用是提高系統的

穩態精度，其原理是在基本上不改變未校正系統

穩定裕度（即不改變未校正系統中頻特性）的

情況下，提高低頻增益。設計過程中的主要任務

是選擇滯后校正裝置傳遞函數的轉角頻率以及

它們之間的距離。為了使滯后校正裝置產生的

滯后角不降低系統的穩定性（不使系統的相角

裕度減小），它的轉角頻率必須比校正后系統的

增益穿越頻率要低得多，它的兩個轉角頻率之間

的距離越大，低頻增益的允許提高量也越大，

系統的穩態精度也就越高。●設計步驟：

⑴根據給定的穩態性能要求（穩態誤差），確定

校正后系統開環傳遞函數的總增益，其中可以

包含校正裝置傳遞函數的增益。

⑵畫出增益校正后（或未校正）系統的對數幅頻

特性圖，根據相角穩定裕度的要求，在留有一定

余量的條件下（適當增加余量），選擇

校正后系統的增益穿越頻率。

⑶選擇滯后校正裝置傳遞函數頻率特性中較高轉角

頻率為。

⑷根據校正后系統增益穿越頻率處的對數幅值，

確定滯后校正裝置傳遞函數中的參數。⑸校核。

（或者當原系統的相角裕度已經滿足要求，只是

穩態精度較低，不滿足給定的要求。這時可以利用

滯后校正裝置的低通濾波特性，抬高原系統對數

幅頻特性的低頻段，根據放大倍數需要提高的倍

數，確定滯后校正裝置傳遞函數中的參數—即

分度系數。）

●舉例（略）

◆串聯超前滯后校正裝置的設計（略）

第6章根軌跡方法及控制系統的校正

◆根軌跡概念

●控制系統開環傳遞函數中某一參數從零到無窮大

變化時，系統閉環特征方程的根在平面上運動

而形成的軌跡，成為控制系統的根軌跡。

●根軌跡法是根據系統開環傳遞函數的極點和零點

在平面上分布的條件下，繪制閉環特征方程根

的軌跡。

●根軌跡方程及繪制根軌跡的條件

（幅值條件）

（相角條件）◆根軌跡的基本性質（9條）

⑴對稱性：關于實軸對稱；

⑵分支數：等于系統特征方程的次數；

⑶起點和終點：起始于系統開環極點，終止于系統

開環零點；

⑷根軌跡上點所對應的增益

⑸實軸上的根軌跡：根軌跡區段右側的開環極點和

零點總數為奇數；

⑹趨于無窮遠根軌跡的漸近線：

漸近線與正實軸的夾角

漸近線與實軸的交點

⑺分離點和會和點：

即

的根，

或的根；

⑻根軌跡離開復數極點的出射角

根軌跡到達復數零點的入射角

⑼根軌跡與虛軸的交點：以代入系統特征

方程，令實部和虛部分別為零，即

解方程組求交點和臨界增益；

或者利用勞斯穩定性判據。◆根軌跡的繪制舉例

●普通根軌跡（常規根軌跡、一般根軌跡）的繪制

例6-1已知單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為

繪制系統的根軌跡并求出系統為穩定的值范圍。

解：

⑴系統有4個開環極點，，，，1個開環

點，根軌跡有4條分支。4條根軌跡分支起

始于4個開環極點，1條分支