第二節一、對坐標的曲線積分的概念與性質二、對坐標的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯系對坐標的曲線積分第十一章一、對坐標的曲線積分的概念與性質1.

引例:變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在xOy平面內從點A沿光滑曲線弧L移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F沿則用有向線段上任取一點在3)“近似和”4)“取極限”(其中為n個小弧段的最大長度)2.定義.設L為xOy平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數或第二類曲線積分.其中,L稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數,在L上定義了一個向量函數極限記作若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,3.存在條件：4.組合形式5.性質(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!6.物理意義⌒⌒⌒二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數方程為則曲線積分連續,證明:下面先證存在,且有對應參數設分點根據定義由于對應參數因為L為光滑弧,同理可證特別是,如果L的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數,則解法2取y為參數,則從點的一段.例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(1)取L的參數方程為(2)取L的方程為則則例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4.設在力場作用下,質點由沿移動到解:(1)(2)的參數方程為試求力場對質點所作的功.其中為例5.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取的參數方程三.兩類曲線積分之間的聯系：（可以推廣到空間曲線上）有向曲線弧L的切向量為))(),((tttyj￠￠=r可用向量表示有向曲線元則推廣空間曲線類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯系是令記A在t上的投影為例6解

所以把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分.其中L為沿拋物線從點(0,0)到(1,1).例7解oxyzPQ(3,2,1)32練習.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周1.定義2.性質(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結3.計算?對有向光滑弧?對有向光滑弧4.兩類曲線積分的聯系?對空間有向光滑弧:原點O的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:F的大小與M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若題中F的方向改為與OM垂直且與y軸夾銳角,則2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:備用題1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xOy面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一質點在力場F