第3章

流體動力學基礎

1．教學目的和任務1）教學目的（1）掌握研究流體運動的方法，了解流體流動的基本概念；（2）掌握理想流體運動的基本規律，為后續流動阻力計算等打下基礎。2）基本內容（1）正確使用流體流動的連續性方程式；（2）弄清流體流動的基本規律——伯努利方程,掌握伯努利方程的物理意義、幾何意義、使用條件及其應用；（3）動量方程的應用。2．重點、難點重點：連續性方程、伯努利方程和動量方程。難點：應用三大方程聯立求解工程實際問題。3.1研究流體運動的兩種方法3.2研究流體運動時的一些基本概念3.3流體運動的連續性方程3.4無粘性流體的運動微分方程3.5無粘性流體運動微分方程的伯努利積分3.6粘性流體運動的微分方程及伯努利方程3.7粘性流體總流的伯努利方程3.8測量流速和流量的儀器3.9定常流動總流的動量方程及其應用流體動力學：研究流體運動規律及流體運動與力的關系

研究方法：工程流體→理想流體→實驗修正→實際流體第3章流體動力學基礎3.1研究流體運動的方法一、流體運動要素

研究流體的運動規律，就是要確定流體運動要素。概念：表征流體運動狀態的物理量，又稱流體運動參數如位移、速度、加速度、密度、壓強、動量、動能等1）每一運動要素都隨空間與時間而變化；2）各要素之間存在著本質聯系。**流場——充滿運動的連續流體的空間。

在流場中，每個流體質點均有確定的運動要素。二、研究流體運動的兩種方法（1）拉格朗日法—“跟蹤”法、質點系法以流場中每一流體質點為研究對象，研究每一個流體質點在運動過程中各運動要素隨時間的變化規律。將所有質點運動規律綜合起來，得到整個流場的運動規律。認為流體的整體運動是每一個流體質點運動的總和。質點的標識：因在每一時刻，每個質點都占有唯一確定的空間位置，故常以某時刻t＝t0各質點的空間坐標（x0=a、y0=b、z0=c

）來區分，不同質點具有不同的初始坐標值（a、b、c

）。質點的空間位置（x、y、z）是（a、b、c）和t的函數，不是獨立變量：式中a、b、c、t稱為拉格朗日變量（變數）。若t取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬時t所有質點在該空間區域的分布情況；反之，則表示該質點的運動軌跡。在流體力學中，通常不用拉格朗日法，而用歐拉法。

（2）歐拉法—“站崗”法以流場中每一空間位置為研究對象，不跟隨個別質點。研究流體質點經過這些固定空間位置時，運動要素隨時間的變化規律將每個空間點上質點的運動規律綜合起來，得到整個流場的運動規律。空間位置的標識：直接用位置坐標（x、y、z）表示，不同x、y、z代表不同的空間位置。質點運動參數是時間t和空間位置（x、y、z）的函數，如式中，x、y、z、t稱為歐拉變量（變數）。

任意時刻t通過某空間位置（x、y、z）的質點速度u上式中，若（x、y、z）為常數，t為變數，得到不同瞬時通過某一空間點流體質點速度的變化情況；反之，得到同一時刻通過不同空間點的流體速度的分布情況，即瞬時流速場。不同時刻，每個流體質點應有不同的空間位置，即對同一質點來說在流場中的位置（x、y、z）不是獨立變量，與時間變量有關。故對任一流體質點來說，其位置變量（x、y、z）是時間t的函數，即

歐拉變數（x、y、z）與拉格朗日變數（a、b、c）不同，后者a、b、c各自獨立，而前者x、y、z非獨立，是隨時間變化的中間變量，在歐拉法中真正獨立的變量只有時間變量t。加速度是速度的全導數，根據復合函數求導1、跡線－－拉格朗日法指流體質點的運動軌跡，表示流體質點在一段時間內的運動情況。如圖曲線AB就是質點M的跡線。在跡線上取一微元長度dl，表示該質點在dt時間內的位移微元，則速度

在各軸的分量為3.2流體流動的一些基本概念

3.2.1跡線和流線跡線的微分方程表示質點的軌跡

2、流線－－歐拉法指在流場中某一瞬間作出的一條空間曲線，使同一時刻在該曲線上各位置的流體質點所具有的流速方向與曲線在該位置的切線方向重合。流線僅表示某一瞬時，處在這一流線各位置上的各流體質點的運動情況流線不是某一流體質點的運動軌跡。故流線上的微元長度dl不表示某個流體質點的位移。流線的重要特征：同一時刻的不同流線，相互不可能相交。設某一位置的質點瞬時速度為，取該位置沿切線方向的微元長度，兩者方向一致，矢量積為零其投影形式流線微分方程若已知速度分布，便可求出具體流線形狀

流線與跡線區別：

流線是某一瞬時處在流線上的無數流體質點的運動情況，時間是參變量；

跡線則是一個質點在一段時間內運動的軌跡，時間是自變量。【例題3.1】有一平面流場，求t＝0時，過(-1，-1)點的跡線和流線。【解】：根據跡線方程有這里t是自變量，則有以t＝0時，x＝y＝－1代入得c1＝c2＝0，消去t得跡線方程根據流線方程有式中t為參數，積分得以t＝0時，x＝y＝－1代入得c＝0，得流線方程3.2.2定常流動和非定常流動據“質點經過流場中某一固定位置時，其運動要素是否隨時間而變”1．定常流動流場中，流體質點的一切運動要素都不隨時間變化，只是坐標的函數，這種流動為定常流動流體運動與時間無關，如

p=p(x,y,z)u=u(x,y,z)ρ=ρ(x,y,z)

如圖容器中水位保持不變的出水孔口處的流體的穩定泄流，是定常流動，其流速和壓強不隨時間變化，為形狀一定的射流。如離心式水泵，若其轉速一定，則吸水管中流體運動是定常流動工程中大部分流體運動均可近似看作定常流動2．非定常流動流體質點的運動要素是時間和坐標的函數——非定常流動如

p=p(x,y,z,t)

u=u(x,y,z,t)

如圖容器中的水位不斷下降，經孔口流出的液體速度和壓強等隨時間而變化，其孔口出流是非定常流動。定常流動中，流線形狀不隨時間改變，流線與跡線重合。

非定常流動中，流線的形狀隨時間改變，流線與跡線不重合

3.2.3流管、流束與總流1.流管微小流束流管在流場中畫一封閉曲線(不是流線)，它所包圍的面積很小，經過該封閉曲線上的各點作流線，由這無數多流線所圍成的管狀表面，為流管。各時刻流體質點只能在流管內部或流管外部流動，不能穿出或穿入流管，即垂直于流管表面方向沒有分速度。2.流束充滿在流管中的全部流體，稱流束。斷面為無窮小的流束——微小流束，認為其斷面上各點運動要素相等。當斷面A→0時，微小流束變為流線。

3.總流無數微小流束的總和稱總流。水管中水流的總體、風管中氣流的總體均為總流。如圖按周界性質：

①有壓流：總流四周全部被固體邊界限制。如自來水管、礦井排水管、液壓管道；

②無壓流：總流周界一部分為固體限制，一部分與氣體接觸，有自由液面。如河流、明渠；

③射流：總流四周不與固體接觸。如孔口、管嘴出流。3.2.4過流斷面、流速、流量1.過流斷面

與微小流束或總流中各條流線相垂直的橫斷面，稱此微小流束或總流的過流斷面(又稱過水斷面)，過水斷面有平面或曲面；如圖。當流線平行時，過流斷面是平面，否則是曲面2.流量

流量：單位時間內通過過流斷面的流體量分體積流量Q

和質量流量M單位時間內流過過水斷面的流體體積，稱體積流量，簡稱流量，單位m3/s

或l/s。單位時間內流過過水斷面的流體質量，稱質量流量，單位kg/s。體積流量與質量流量的關系為Q=M/ρ微元流束的體積流量dQ

：因微元流束的過流斷面與速度方向垂直，故等于過流斷面面積與流速的乘積

總流的體積流量Q：等于同一過流斷面上所有微小流束的流量和，即3.流速點速：流場中某一空間位置處的流體質點在單位時間內所經過的位移，稱為該流體質點經過此處時的速度，簡稱點速用u表示嚴格講，由于粘性，同一過流斷面上各點的流速不等。但微元流束的過流斷面很小，各點流速相差不大，一般用斷面中心處的流速作為同一過流斷面的流速。在總流的同一過流斷面上引入斷面平均流速（假想的均勻分布在過流斷面上的流速）均速：體積流量與過水斷面面積的比值，用v表示工程上常說的管道中流體的流速即是v。3.3流體流動的連續性方程流體連續地充滿所占據的空間（流場），當流體流動時在其內部不形成空隙，這是流體運動的連續性條件。根據流體運動時應遵循質量守恒定律，將連續性條件用數學形式表示出來，即連續性方程。連續性方程是質量守恒定律在流體力學中的具體表達式。3.3.1直角坐標系中的連續性方程——連續性微分方程取以點為中心的微元六面體，邊長dx，dy，dz，分別平行于直角坐標軸x，y，z。O’點在t時刻的流速分量,密度ρ

前表面中心點M質點x方向的分速度為

后表面N點x方向的分速度為所取六面體無限小，認為在各表面上的流速均勻分布，則

單位時間內沿x軸方向流入六面體的質量

流出六面體的質量單位時間內在x方向流出與流入六面體的質量差，即凈流出量為同理，單位時間內沿y，z方向凈流出量分別為

由連續介質假設，根據質量守恒原理：單位時間內流出與流入六面體的質量差的總和應等于六面體在單位時間內所減少的質量。則有整理得此式為連續性微分方程的一般形式，表達了任何可能存在的流體運動所必須滿足的連續性條件，即質量守恒條件。適用于定常流及非定常流可壓縮流體三維流動的歐拉連續性方程

對于定常流動的連續性方程為

對于均質不可壓縮流體（ρ為常數），則不論定常流或非定常流均有方程說明通過一固定空間點流體的流速分量ux、uy、uz

沿其軸向的變化率是互相約束的，表明對于不可壓縮流體其體積是守恒的。不可壓縮流體二維定常流動的連續性方程為上述方程對于理想流體和實際流體均適用。不可壓縮流體三維流動的連續性方程

定常流動流體的連續性方程

課前復習：（1）拉格朗日法—“跟蹤”法、質點系法以流場中每一流體質點為研究對象，研究每一流體質點在運動過程中各運動要素隨時間的變化規律。質點空間位置（x、y、z）不是獨立變量，是（a、b、c）和t的函數：若t取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬時t各個質點在該空間區域的分布情況；反之，則表示該質點的運動軌跡。

（2）歐拉法—“站崗”法以流場中每一空間位置為研究對象，不跟隨個別質點。研究流體質點經過這些固定的空間位置時，運動要素隨時間的變化規律流體質點的運動參數是時間t和空間位置（x、y、z）的函數

不同時刻，每個流體質點應有不同的空間位置，即對同一質點來說位置（x、y、z）不是獨立變量，與時間變量有關：可見，歐拉變數（x、y、z）非獨立變量，拉格朗日變數（a、b、c）獨立變量。

跡線表示一個質點在一段時間內運動的軌跡時間t是自變量。流線是某一瞬時處在流線上的無數流體質點的運動情況時間t是參變量，在積分時將其作為常數。定常流動和非定常流動流體質點經過流場中某一固定位置時，其運動要素是否隨時間而變

復習跡線和流線的區別1.流管由無數流線所圍成的管狀封閉表面，為流管。各時刻流體質點只能在流管內部或流管外部流動。2.流束充滿在流管中的全部流體，為流束，即流管內所有流線的總和；斷面無窮小的流束，為微小流束，認為其斷面上各點運動要素相等。當斷面A→0時，微小流束變為流線。3.總流無數微小流束的總和稱為總流，即封閉曲線取在流場周界上。過流斷面與微小流束或總流中各條流線相垂直的橫斷面，稱為此微小流束或總流的過流斷面(又稱過水斷面)一般來說，過流斷面上各點的運動要素是不等的；但對于微元流束的同一過流斷面上各點的運動要素在同一時刻可認為相等。課前復習課前復習

流量：單位時間內通過過流斷面的流體量體積流量

質量流量Q=M/ρ微元流束的體積流量dQ

：過流斷面面積與流速的乘積

總流的體積流量Q：同一過流斷面上所有微小流束的流量和流速：點速、均速均速：體積流量與過水斷面面積的比值上述方程對于理想流體和實際流體均適用。不可壓縮流體三維流動的連續性方程，適于定常流和非定常流，體積守恒定常流動流體的連續性方程

可壓縮流體三維流動的歐拉連續性方程。表達任何可能存在的流體運動所必須滿足的連續性條件，即質量守恒條件課前復習【例題3.2】在三元不可壓縮流動中，已知求uz的表達式。

解：由連續性方程得積分得：3.3.2微元流束與總流的連續性方程

3.3.2.1微元流束的連續性方程如圖，總流中取一微元流束，過水斷面分別為dA1、dA2，相應速度u1、u2，密度ρ1、ρ2。可壓縮流體定常流動：微元流束形狀不隨時間改變，沒有流體穿入、穿出流束表面，只有斷面dA1、dA2上流入和流出dt時間內，經過dA1流入的流體質量為經過dA2流出的流體質量為根據質量守恒定律，流入質量必須等于流出質量，即不可壓縮流體ρ1=ρ2,有不可壓縮流體定常流動微元流束連續性方程。物理意義：同一時間間隔內流過流束上任一過流斷面的流量均相等可壓縮流體定常流動微元流束連續性方程3.3.2.2總流的連續性方程將方程兩邊對應過水斷面A1及A2

積分，得平均密度ρ1m、ρ2m替代ρ1、ρ2，引入整理上式得對不可壓縮流體，ρ為常數，則

總流連續性方程，說明可壓縮流體做定常流動時，總流質量流量保持不變不可壓縮流體定常流動總流的連續性方程物理意義：不可壓縮流體做定常流動時，總流的體積流量保持不變；各過水斷面平均流速與過水斷面面積成反比，即過水斷面面積↑處，流速↓；過水斷面面積↓處，流速↑。總流的連續性方程是在流量沿程不變的條件下導出的。若沿程有流量流入或流出，總流的連續性方程仍然適用，只是形式有所不同。

流量的匯入和流出【例題3.3】如教材圖3.10，一旋風除塵器，入口處為矩形斷面，面積為A2=100mm×20mm，進風管為圓形斷面，直徑為100mm。求當入口流速為v2=12m/s時，進風管中的流速。解：根據連續性方程可知故：3.4理想流體（無粘性）的運動微分方程表面力只有垂直于受力面的流體動壓力（動壓強引起）流體動壓強只是坐標和時間的函數X軸向上所受表面力為X軸向上所受質量力為根據牛頓第二定律，X軸向上的表面力和質量力之和應等于六面體內流體的質量與x軸向上的加速度的乘積，即理想流體運動微分方程，又稱歐拉運動微分方程，表明理想流體所受外力與加速度間的關系，對可壓縮和不可壓縮性流體都適用歐拉平衡微分方程是它的特例位變加速度：流體質點因空間位置變化（位移dx,dy,dz）而引起的速度分量的變化率時變加速度：流體質點速度分量隨時間的變化率3.5理想流體運動微分方程的伯努利積分

無粘性流體運動微分方程在特定條件下的積分，伯努利積分

特定條件：（1）流體是均質不可壓縮，即（2）質量力有勢，則勢函數W=W（x、y、z）的全微分為（3）定常流動，即

此時跡線與流線重合，流線則符合條件

將歐拉運動微分方程的三式分別乘以dx、dy、dz然后相加根據上述特定條件，得因ρ為常數，有沿同一流線積分

理想流體運動微分方程的伯努利積分表明：對于不可壓縮理想流體，有勢質量力作用作定常流動時，處于同一流線上的所有流體質點，其積分函數值均相同。對于不同流線上的流體質點來說，其積分函數值一般不等。如圖同一流線上任取兩點a、b：

質量力只有重力的情況

代入有

對于同一流線上任意兩點，有

對單位重量流體不可壓縮無粘性流動的伯努利方程。微元流束適用，又稱不可壓縮無粘性流體微元流束伯努利方程。流體靜力學基本方程是其特例3.6粘性流體運動的微分方程及伯努利方程

3.6.1粘性流體運動的微分方程

實際流體，除受表面壓力、質量力外，還受切應力作用納維——斯托克斯方程（N-S方程）

與理想流體運動微分方程相比，N-S方程增加粘性項，表示單位質量粘性流體所受的切向應力

單位質量粘性流體所受切向應力在各軸投影3.6.2粘性流體運動的伯努利方程

積分條件：有勢質量力、定常流動、不可壓縮N-S方程變為

上式各乘dx、dy、dz后相加，得第二項為切向應力在流線微元長度dl上所作的功，為負功

wR為阻力功

沿流線積分，得表明在有勢質量力作用下，粘性流體定常流動時，函數值沿流線不變。在同一流線上任取1、2兩點，有

若質量力只有重力，取垂直向上為z軸，有粘性流體定常流動微分方程的伯努利積分

表示單位質量粘性流體沿流線從點1到點2過程中內摩擦力作功的增量。令

hl‘表示單位重量粘性流體沿流線從點1到點2的路程上所接受的摩阻功。

表明單位重量粘性流體沿流線運動時，其有關值（與z、p、u有關的函數值）的總和沿流向逐漸減少。可推廣到微元流束，得到粘性流體微元流束伯努利方程。粘性流體運動的伯努利方程3.6.3伯努利方程的能量意義和幾何意義一、物理意義（能量意義）

Z——單位重量流體流經給定點時具有的位置勢能，比位能

——單位重量流體流經給定點時具有的壓力勢能，比壓能

——單位重量流體流經給定點具有的動能，比動能

——單位重量流體在流動過程中損耗的機械能，能量損失

——單位重量流體的總勢能，比勢能

——單位重量流體的總機械能，總比能3.6.3伯努利方程的能量意義和幾何意義一、物理意義（能量意義）

無粘性流體運動的伯努利方程表明單位重量無粘性流體沿流線自位置1到位置2時，其位能、壓能、動能可能有變化，或相互轉化，但其總和（總比能）不變。伯努利方程是能量守恒與轉換原理在流體力學中的體現。

粘性流體運動的伯努利方程表明單位重量粘性流體沿流線自位置1到位置2時，各項能量可能有變化，或相互轉化，而且其總機械能也有損失。二、幾何意義Z位置水頭；壓強水頭；測壓管水頭/靜壓水頭。

——速度水頭，速度頭，單位重量流體流經給定點時，因其速度u向上自由噴射能夠達到的高度。

——總水頭。h'l

——損失水頭。速度頭可實驗測出：畢托管(動能勢能)水在管中流動時，明顯測出AB測壓管、CD測速管兩管水面形成的高度差△h。由于水流以速度u流入CD管中到達一定高度后不再流動，形成壓強而出現壓強高度。不考慮任何阻力時不可壓縮流體定常流動微元流束連續性方程。物理意義：同一時間間隔內流過流束上任一過流斷面的流量均相等可壓縮流體定常流動微元流束連續性方程總流連續性方程，說明可壓縮流體定常流動時，總流質量流量保持不變不可壓縮流體定常流動總流連續性方程物理意義：總流體積流量保持不變；各過水斷面平均流速與過水斷面面積成反比。復習若沿程有流量流入或流出，總流的連續性方程仍然適用。

流量的匯入和流出理想流體運動微分方程，歐拉運動微分方程，表明理想流體所受外力與加速度間的關系，可壓縮和不可壓縮流體都適用，歐拉平衡微分方程是特例位變加速度：流體質點因位移引起的速度分量的變化率時變加速度：流體質點速度分量隨時間的變化率理想流體運動微分方程的伯努利積分質量力只有重力時不可壓縮無粘性流動伯努利方程。微元流束適用，又稱不可壓縮無粘性流體微元流束伯努利方程。流體靜力學基本方程是特例粘性流體運動微分方程：納維—斯托克斯方程（N-S方程）

粘性流體運動的伯努利方程可推廣到微元流束。復習伯努利方程的能量意義和幾何意義

*理想流體伯努利方程的幾何意義理想流體沿流線運動時，其位置水頭、壓強水頭、速度水頭可能有變化或三個水頭間相互轉化，但其各水頭之和總是保持不變，即理想流體各過水斷面上的總水頭永遠相等。總水頭線是一條水平線，測壓管水頭線/靜壓水頭線是一條隨過水斷面改變而起伏的曲線。曲線AB—位置水頭線曲線CD—測壓管水頭線或靜壓水頭線直線EF—理想流體總水頭線*粘性流體伯努利方程的幾何意義粘性流體在流動過程中，各水頭不但可能有變化，或相互轉化，而且總水頭也必然沿流向降低。實際流體的總水頭線沿流體的流動路程是一條下降的曲線（若微元流束的過流斷面相等，則為斜直線），不象理想流體水頭線是一條水平線。【例題3.4】物體繞流如圖，上游無窮遠處流速為u∞＝4.2m/s、壓強為p∞＝0的水流受到迎面物體的阻礙后，在物體表面上的頂沖點S處的流速減至零，壓強升高，求S處的壓強。（S點為滯流點或駐點）解：忽略粘性，根據通過S點的流線上伯努利方程，有3.7實際流體總流的伯努利方程

3.7.1急變流和緩變流急變流——流線曲率半徑r很小、流線間夾角β很大的流動。離心慣性力；內摩擦力在垂直于流線的過流斷面上有分量其過流斷面上有多種成因復雜的力，不宜在此過流斷面列伯努利方程緩變流——流線曲率半徑r很大、流線間夾角β很小的接近于平行直線的流動。忽略離心慣性力；內摩擦力在垂直于流線的過流斷面上幾乎沒有分量圖急變流與緩變流3.7實際流體總流的伯努利方程

3.7.1急變流和緩變流急變流——不宜在此過流斷面列伯努利方程緩變流過流斷面是平面，與流速方向垂直，其上速度分量為零過流斷面上壓強分布符合重力場中流體靜壓強分布規律同一過流斷面的任一點的壓強與位置間的關系：圖急變流與緩變流同一過流斷面C值相同即同一過流斷面上測壓管水頭高度相同；但不同過流斷面測壓管水頭高度可能不同伯努利方程的過流斷面取在緩變流段中

3.7.2動量校正系數和動能校正系數v——均速；u——點速用v表示的流量Qv和用u表示的流量Qu相等:用v表示的流體動量Mv和用u表示的流體動量Mu不等:因n個數值平方的和總大于其算術平均值平方的n倍α0動量校正系數，直管(渠)的高速水流α0=1.02~1.05;工程計算中α0≈13.7.2動量校正系數和動能校正系數用v表示的流體動能Ev和用u表示的流體動能Eu不等:

α動能校正系數，實際流體α

=1.05~1.10;工程中α≈1思路：實際流體微小流束伯努利方程→總流緩變流斷面→實際流體總流伯努利方程設不可壓縮實際流體定常流動，取一微元流束，伯努利方程單位時間內流過微小流束的流體重量γdQ

，其能量關系各項沿相應過流斷面對流量積分，得總流能量方程3.7.3總流的伯努利方程將上式分解三部分，第一部分等式兩端的前兩項，有過流斷面取在緩變流段中，＝常數，則第二部分等式中的第三項，第三部分式中最后一項，表示流體質點從過流斷面1-1到2-2時機械能損失之和。用hl表示單位重量流體的平均能量損失三部分結果代入，除以γQ，即單位重量流體總流的能量表達式表示單位重量實際流體作定常流動時能量的轉化關系。注1：使用伯努利方程時的注意事項：A.方程中z1、z2的基準面可任選，但必須選擇同一基準面，一般使z>0;b.方程中p1、p2

，即可用絕對壓強，也可用相對壓強，但等式兩邊的標準必須一致；c.當hl=0時，變為理想流體總流伯努利方程，即不可壓縮實際流體重力場中定常流動時總流伯努利方程理想流體總流的伯努利方程注2：總流伯努利方程的限制條件：a.流體為不可壓縮的實際流體；b.流體的運動為定常流動；c.流體所受質量力只有重力；d.所選取的兩過水斷面必須處在緩變流區域，但兩斷面間不必是緩變流段，且過流斷面上所取的點不要求在同一流線上;

因在緩變流過水斷面上各點存在＝常數，列伯努利方程時，可在選定的兩個過流斷面上任取空間點位置e.總流的流量沿程不變，即所取兩過流斷面間沒有流量的匯入或流出；g.除hl外，總流沒有能量的輸入或輸出。3.7.4其他幾種形式的伯努利方程1、氣流的伯努利方程氣體流動時，重度γ是個變量,若不考慮內能的影響2、有能量輸入輸出的伯努利方程在兩過流斷面間有泵、風機或水輪機等流體機械，有能量的輸入或輸出時，此部分能量用±E表示泵或風機：對流體作功，輸入能量，E前正號水輪機：流體對機械作功，輸出能量，E前負號礦井通風屬于該情況。γ變化不大，可直接使用原式3、有流量分流或匯流的伯努利方程在兩過流斷面間有流量的匯入在兩過流斷面間有流量的分出連續性方程分別為匯流情況：分流情況：3.7.5伯努利方程的應用【例3.6】某污染處理廠從一高位水池引出一條管路AB，如圖。已知：流量Q＝0.04m3/s；管路直徑D＝0.3m；安裝在B點的壓力表讀數為1工程大氣壓，高度H＝20m，求管路AB段的水頭損失。解：取水平基準面為O-O，過流斷面1-1、2-2如圖所示，列兩斷面間的伯努利方程z1＝H＝20m，z2＝0，方程兩端使用相對壓強，有

【例題】如圖為測量風機流量的常用集流器裝置的示意圖，集流器入口為圓弧或圓錐形，直管內徑D＝0.3m，氣體重度γa＝12.6N/m3，在距入口直管段D/2處（過水斷面2－2位置）安裝靜壓測壓管，測得Δh＝0.25m。試計算風機的風量Q。解：取O-O為水平基準面在入口前方稍遠處取過水斷面1-1，由于過水斷面1-1遠遠大于集流器斷面，近似取v1＝0；過水斷面1-1上的壓強p1＝pa過水斷面2-2的流速為v2，壓強不計能量損失，看作理想流體，在1-1和2-2斷面列總流伯努利方程

【例題3.8】如圖，為水泵管路系統。已知吸水管和排水管直徑D均為200mm，管中流量Q＝0.06m3/s，排水池與吸水池高差H＝25m，設管路A-B-C的水頭損失為5m，求水泵向系統輸入的能量E。解：取吸水池水面為水平基準面O-O及過水斷面1-1，排水池水面為過流斷面2-2，列兩斷面間的伯努利方程工程中E稱為水泵的揚程，用來提高水位和克服管路中阻力損失。【例題】如圖，用一根直徑d＝200mm的管道從水箱中引水，若水箱中水位保持恒定，所需流量50l/s，水流的總水頭損失為3.5m。試求水箱中液面與管道出口斷面中心的高差H。解：3.8測量流速與流量的儀表

3.8.1畢托管畢托管是將流體動能轉化為壓能、通過測壓計測定流速的儀器優點：可靠度高、成本低、耐用性好、使用方便。如右圖，沿一水平微元流束或流線取非常近的兩點1、2裝兩測壓管，對兩點列伯努利方程：流經兩點的總水頭相等。若在2點處安裝一90o的彎管，右下圖，彎頭正對水流，待彎管內流體上升的液柱穩定后，2點處流體停止運動，速度為0，為駐點。駐點處的壓強p2*為液體在彎管內上升的高度h測壓管測速管駐點上式只表明理想情況，若考慮實際流體粘性、能量轉換損失、畢托管對流體運動的干擾、彎管的加工精度等影響，則對實際流速進行修正c為畢托管的流速系數，一般c＝0.97～0.99；若畢托管制作精密，頭部、尾柄對流動擾動不大，近似取1。畢托管常與差壓計組合，用以測量水管、風管、渠道和礦井巷道中任一點的流速。【例題3.5】如圖，帶水銀壓差計的畢托管測管軸心流速，D=150mm，管中水流均速v為管軸處流速u的0.84倍。求水管中的流量。解：取管軸水平面為基準面O-O，過水斷面1-1、2-2經過1、2兩點且垂直于流向，列出1、2兩點間的伯努利方程3.8.2文丘里流量計測量管路中流量，如圖,由漸縮管、喉管和漸擴管三部分組成。漸縮管斷面急速變小，漸擴管斷面漸大到主管斷面，斷面最小段為喉管。主管和喉管上各裝一測壓管，由兩處壓強差求流量。設理想流體定常流動，流量計傾斜放置（也可水平），暫不考慮能量損失k為儀器常數，固定尺寸流量計k為定值實際流量

理想情況流量

μ流量計流量系數，值與管子材料、尺寸、加工精度、安裝質量、流體的粘性及流速等有關，只能通過實驗確定。一般，μ約為0.95～0.98。為測得的流量值更接近實際，使用時應注意：1）喉管中壓強不能過低，否則會產生汽化現象，破壞流體連續性，無法正常工作；2）為保證流體定常流動，流量計前15倍管徑D長度內，不安裝閥門、彎管、或其它局部裝置，否則影響μ值；3）測量前排掉測壓管內氣泡。還有孔板流量計和噴嘴流量計，都屬于節流式流量計。【例題3.9】用文丘里流量計測流量，已知管徑D＝100mm，d＝50mm，測壓管高度，流量系數μ＝0.98。求管路中的流量Q。解：兩測壓管高差流體動量方程是動量守恒定律在流體運動中的具體表達式，反映了流體動量變化與作用力間的關系。（1）流體作用于彎管上的力（2）射流作用在平板上的沖擊力（3）射流的反推力3.9定常流動總流的動量方程及其應用

3.9.1定常流動總流的動量方程

動量定律：物體運動過程中，動量對時間t的變化率，等于作用在物體上全部外力的矢量和

應用到流體定常流動中：在彎管總流中任取一微元流束段1-2，經dt時間后，流束段1-2將沿流線運動到1‘-2’段位置，流束段的動量發生變化MM將其推廣到總流根據動量校正系數的概念，引入均速不可壓縮流體定常流動總流的動量方程，通常用來確定運動流體與固體壁面間的相互作用力物理意義外力矢量和等于單位時間內流出與流入的動量差MM3.9.2動量方程的應用

3.9.2.1流體對管壁的作用力圖a所示漸縮彎管：取控制體：取斷面1-1、2-2間流體分析受力：流體重力G、彎管對流體作用力R，過流斷面上外界流體對控制體壓力p1A1、p2A2列方程：取圖中坐標系，列x軸、z軸方向動量方程求分力：求合力：

合力大小：

合力方向：zz對彎管作用力F與R是一對作用力和反作用力3.9.2.2射流在平板的沖擊力流體從管嘴噴射出，形成射流。如圖，水平射流射向一個與之成θ角的固定光滑平板

取控制體：取射流為控制體分析受力：射流四周及轉向后流體表面受大氣壓力，若忽略空氣阻力、板面阻力和重力，則作用在流體上的力只有平板對射流的阻力R，它與射流對平面的沖擊力構成一對作用力和反作用力列方程：取如圖坐標系，列動量方程求分力：求合力：射流對固定平板的沖擊力F，大小與R相等，方向相反。xy若θ＝90o，即射流沿平板法線方向射去時，射流對平板的沖擊力為：若平板不固定，沿射流方向以速度u運動，則射流對移動平板的沖擊力為xy煙花、火箭、噴氣式飛機、噴水船等都是借助這種反推力而工作。3.9.2.3射流的反推力裝有液體的容器，側壁開一小孔，流體從小孔流出形成射流設流速很小，很短時間內可看作定常流動，則射流速度流體沿水平方向（x軸）的動量對時間變化率為

該量為容器對流體作用力在x軸的投影射流給容器的反推力，大小與其相等方向相反容器在Fx作用下朝射流的反方向運動－－射流的反推力h為容器液面與孔口高差【例題3.10】在直徑為D＝100mm的水平管路末端，接上一個出口直徑為d＝50mm的噴嘴，如圖示，已知管中流量為Q＝1m/min求水流沿x軸作用于噴嘴的力。解：由連續性方程可知取管軸線為水平基準面O-O，列伯努利方程由于z1＝z2，p2＝0，故設噴嘴作用于流體上的力沿x軸的分力為Fx，列射流動量方程水流沿x軸作用于噴嘴的力的方向向右。

用動量方程求解流體對固體邊界的作用力時，以下步驟可供參考：1.分析流體運動，找出過流斷面，取分離體。建立坐標，規定正方向。2.分析作用在分離體上所有外力，設定固體邊界對流體作用力R的方向。3.建立動量方程。若動量方程中的未知數多于一個，則應聯合能量方程式或（和）連續性方程，求解邊界對流體的作用力R。4.根據作用力與反作用力大小相等、方向相反的原則，確定流體對固體邊界的作用力。復習：（1）拉格朗日法—“跟蹤”法、質點系法以流場中每一流體質點為研究對象，研究每一流體質點在運動過程中各運動要素隨時間的變化規律。質點空間位置（x、y、z）不是獨立變量，是（a、b、c）和t的函數：

（2）歐拉法—“站崗”法以流場中每一空間位置為研究對象，不跟隨個別質點。運動參數是時間t和空間位置（x、y、z）的函數

對同一質點來說位置（x、y、z）不是獨立變量，與時間變量有關：歐拉變數（x、y、z）非獨立變量，拉格朗日變數（a、b、c）獨立變量。

跡線表示一個質點在一段時間內運動的軌跡時間t是自變量，x、y、z是t的因變量。流線是某一瞬時處在流線上的無數流體質點的運動情況時間t是參變量，在積分時將其作為常數。定常流動和非定常流動流體質點經過流場中某一固定位置時，其運動要素是否隨時間而變

跡線和流線的區別上述方程對于理想流體和實際流體均適用。不可壓縮流體三維流動的連續性方程，適于定常流和非定常流，體積守恒定常流動流體的連續性方程

可壓縮流體三維流動歐拉連續性方程。表達任何流體運動所必須滿足的連續性條件，質量守恒條件復習實際流體總流的伯努利方程急變流：流線曲率半徑很小、流線間夾角很大的流動緩變流：流線曲率半徑很大、