第3講凸集、凸函數、凸規劃

凸集(ConvexSet)

凸函數(ConvexFunction)

凸規劃(ConvexProgramming)凸性(Convexity)是最優化理論必須涉及到基本概念.具有凸性的非線性規劃模型是一類特殊的重要模型，它在最優化的理論證明及算法研究中具有非常重要的作用.凸集---定義線性組合(linearCombination)仿射組合(AffineCombination)凸組合(ConvexCombination)凸錐組合(ConvexConeCombination)凸集---定義例

二維情況下，兩點x1,x2的

(a)線性組合為全平面；

(b)仿射組合為過這兩點的直線；

(c)凸組合為連接這兩點的線段；

(b)凸錐組合為以原點為錐頂并通過這兩點的錐.凸集---定義凸集---定義定義1設集合若對于任意兩點及實數都有：則稱集合為凸集．常見的凸集：單點集{x}，空集

，整個歐氏空間Rn，超平面：半空間：例：證明超球為凸集．證明：設為超球中的任意兩點，則有：即點屬于超球,所以超球為凸集．凸集----舉例(1)任意多個凸集的交集為凸集．

(2)設是凸集，是一實數，則下面的集合是凸集：凸集-----性質(3)推論：設是凸集，則也是凸集，其中是實數．

(4)

S是凸集當且僅當S中任意有限個點的凸組合仍然在S中.P23,定理2.9凸集-----性質注：和集和并集有很大的區別，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．例：表示軸上的點．表示軸上的點．則表示兩個軸的所有點，它不是凸集；而凸集．凸集-----性質定義設S

中任意有限個點的所有凸組合所構成的集合稱為S的凸包，記為H(S),即凸集-----凸包(ConvexHull)定理2.1.4

H(S)是Rn

中所有包含S的凸集的交集.H(S)是包含S的最小凸集.定義錐、凸錐凸集-----凸錐(ConvexCone)定義分離(Separation)凸集-----凸集分離定理性質定理2.1.5凸集-----凸集分離定理(2)是點到集合的最短距離點的充要條件為：注：閉凸集外一點與閉凸集的極小距離，即投影定理。定理2.1.5直觀解釋我們不妨把一個閉凸集想象為一個三維的充滿了氣體的氣球（不一定為標準球形，但必須是凸的），那么，在氣球外一點，到氣球各點（包括內部）的距離是不一樣的，但直覺告訴我們，肯定在氣球上有一點，它到該點的距離是所有距離中最小的。這是凸集的特有性質。如果不是凸集，就不會這樣了，比如一個平面上對稱心形的圖形（它不是凸的）外一點，至少可以找到2點，使其到外面那一點的距離最小。凸集-----凸集分離定理凸集分離定理

定理2.1.6凸集-----凸集分離定理ylS點與閉凸集的分離定理凸集分離定理應用---Farkas引理定理2.1.7凸集-----凸集分離定理應用Farkas引理在我們即將學習的最優性條件中是重要的基礎.Farkas引理–幾何解釋設A的第i個行向量為ai,i=1,2,…,m,則(2.1.4)式有解當且僅當凸錐{x|Ax≤0}與半空間{x|bTx>0}的交不空.即(2.1.4)式有解當且僅當存在向量x,它與各ai的夾角鈍角或直角，而與b的夾角為銳角.

(2.1.5)式有解當且僅當b在由a1,a2,…,am所生成的凸錐內.a2(2.1.4)有解，(2.1.5)無解a1amb凸集-----凸集分離定理應用a1a2amb(2.1.4)無解，(2.1.5)有解凸集分離定理應用---Gordan

定理定理2.1.8凸集-----凸集分離定理應用利用Farkas引理可推導下述的Gordan定理和擇一性定理.凸集分離定理應用---擇一性定理定理2.1.9凸函數凸函數(ConvexFunction)----定義2.4設是非空凸集，若對任意的及任意的都有：則稱函數為上的凸函數．注：將上述定義中的不等式反向，可以得到凹函數的定義．凸函數嚴格凸函數設是非空凸集，若對任意的及任意的都有：則稱函數為上的凸函數．注：將上述定義中的不等式反向，可以得到嚴格凹函數的定義．凸函數

對一元函數在幾何上表示連接的線段．所以一元凸函數表示連接函數圖形上任意兩點的線段總是位于曲線弧的上方．幾何性質表示在點處的函數值．

f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2任意兩點的函數值的連線上的點都在曲線的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4.2.1(a)凸函數(b)凹函數該定義的一個應用——證明不等式例：證明Young不等式推廣：H?lder不等式P412.37證法：在Young不等式中令例：設試證明在上是嚴格凸函數．證明:設且都有：因此,在上是嚴格凸函數．凸函數例：試證線性函數是上的凸函數．證明:設則故,是凸函數．類似可以證明也是凹函數.凸函數凸函數定理1設是凸集上的凸函數充要條件性質詹生(Jensen)不等式不等式應用:設，證明:P412.36凸函數定理2性質正線性組合凸函數定理3設是凸集上的凸函數，則對任意，水平集是凸集．水平集(LevelSet)稱為函數f在集合S上關于數的水平集.注：定理3的逆命題不成立.下面的圖形給出了凸函數的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集.凸函數凸函數定理1:設是定義在凸集上，令則:(1)是定義在凸集是凸集上的凸函數的充要條件是對任意的一元函數為上的凸函數.(2)設若在上為嚴格凸函數，則在上為嚴格凸函數．凸函數凸函數的判別定理該定理的幾何意義是：凸函數上任意兩點之間的部分是一段向下凸的弧．凸函數定理4設在凸集上可微，則：在上為凸函數的充要條件是對任意的都有：嚴格凸函數(充要條件)??凸函數凸函數的判別定理---一階條件注：定理4提供了一個判別可微函數是否為凸

函數的依據.凸函數定理4-----

幾何

解釋一個可微函數

是凸函數當且

僅當函數圖形

上任一點處的

切平面位于曲

面的下方.凸函數定理4-----

幾何

解釋一個可微函數

是凸函數當且

僅當函數圖形

上任一點處的

切平面位于曲

面的下方.定理5:設在開凸集內二階可微,則是內的凸函數的充要條件為:對任意的Hesse矩陣半正定,其中：凸函數凸函數的判別定理---二階條件定理2.3.6:設在開凸集內二階可微,若在內正定,則在內是嚴格凸函數．注:反之不成立．例：f(x)是嚴格凸的，但在點處不是正定的凸函數凸函數的判別定理---二階條件例：凸函數凸函數的判別定理---二階條件凸規劃凸規劃(ConvexProgramming)設為凸集，為上的凸函數，則稱規劃問題為凸規劃問題．例：為上的凸函數，為無約束凸規劃問題．例：凸規劃凸規劃例：凸規劃定理2.4(1)凸規劃問題的任一局部極小點是全局極小點，且全體極小點的集合為凸集．(2)若是凸集上的嚴格凸函數，且凸規劃問題局部極小點x*存在，則x*是唯一的全局極小點．凸規劃的基本性質定理凸規劃的任一局部最優解都是它的整體最優解。證明：設x*是凸規劃的一個局部解，則存在δ