第3章空間問題和空間軸對稱問題§3.1空間問題四面體常應變單元單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元、軸對稱單元。（2）結點位移3個分量。（3）基本方程比平面問題多。3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。§3.1空間問題四面體常應變單元單元結點位移向量位移函數1、位移模式

將上式中第1式應用于4個結點，則由此可解出代定常數a1~a4再回代得到:

編號約定：當沿i,j,m的方向轉動時，p在大拇指所指的方向采用同樣的方法，可得單元位移：

2、單元應變將單元中位移代入上式常量3、單元應力彈性矩陣[D]:代入單元應變計算公式，整理后：其中[S]為應力矩陣，且：常量其中4、單元剛度矩陣分塊矩陣的形式

式中子矩陣[krs]為3×3的矩陣：5、等效結點荷載兩種常見荷載移置后的結果:

均質單元的自重分配到四個節點的等效節點力，其數值都等于ρV/4，其中ρ是密度，V是單元的體積。

體積力與表面力的計算公式與平面三角形單元公式相似，可以采用靜力等效原則簡化計算。設單元e的某一表面，例如ijm是物體的邊界表面，承受平面分布荷載，它在i、j、m三個節點處的強度分別為Psi,Psj,Psm,則分配到結點i的等效節點力的數值為式中，Δijm為三角形ijm的面積，方向均為與原分布荷載的方向平行。§3.2空間軸對稱問題三角形截面環單元在工程上有許多機械零件，例如高壓厚壁容器、汽輪機轉子、活塞、氣閥等，它們的幾何形狀和所受的載荷和約束都是軸對稱的，這類問題稱為空間軸對稱問題。對空間軸對稱問題，常采用圓柱坐標系。r表示徑向坐標，z表示軸向坐標，任一對稱面為rz面。在有限元分析時，可采用軸對稱的環形單元進行。環形單元可以是任何平面單元，本節以三角形單元為例。1、位移模式軸對稱問題的環向位移恒等于零，徑向r位移與軸向z位移不等于零。對于圖示情形，依照平面問題的三角形單元分析，取位移模式為代入結點位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得

x->r,y->z其中形函數：單元中位移2、單元應變根據彈性力學理論，空間軸對稱問題的幾何方程為將u,w表達式代入上式，整理后得其中顯然，[B]矩陣中的環向正應變含有變量r，z，因此它不是常數矩陣，即軸對稱問題的三角形環形單元不是常應變單元。3、單元中應力根據彈性力學理論，空間軸對稱問題的應力-應變關系為彈性矩陣:單元中任意一點的應力：其中為簡化計算和消除對稱軸上由于r=0所引起的麻煩，當單元較小時，可把各個單元中的r，z近似看作常數，并且分別等于各單元形心的坐標，即這樣，就可把各個單元近似地當作常應變單元。4、單元剛度矩陣由于被積函數與θ無關，故在三角形截面的環單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分。故有：

單元剛度矩陣[k]的分塊形式其中的近似子矩陣為5、等效結點荷載類似平面問題。對于作用于三角形環單元上的體積力、離心力、表面力的等效結點力為：體力§3.2空間軸對稱問題三角形截面環單元離心力：面力：特殊情況（1）均布表面力設單元ij邊上作用均布表面力，其集度為l當ri=rj時，靜力等效原則(2)三角形分布表面力沿單元ij邊作用了三角形分布的表面力，表面力在i點集度為

當ri=