單自由度及多自由度系統

模態分析結構振動分析基本理論一般的振動問題已知激勵和振動結構，求系統響應（正問題）已知激勵和響應，求系統參數——系統識別（逆問題）已知系統和響應，求激勵——荷載識別激勵輸入振動結構系統響應輸出結構振動分析基本理論振動結構模型：空間模型——用于描述結構的物理特性，即質量、剛度和阻尼特性。模態模型——一系列固有頻率及相應的模態阻尼系數和模態振型。響應模型——一系列響應函數組成空間模型（質量、阻尼、剛度）模態模型（固有頻率，模態振型）響應模型（頻率響應、脈沖響應）物理參數識別模態參數識別非參數識別結構振動分析基本理論模態分析：以振動理論為基礎，以模態參數為目標的分析方法。理論模態分析實驗模態分析（EMA）在理論模態分析中，首先從空間模型開始最終到響應模型。在實驗模態分析中，首先從響應特性開始，最終推求空間模型。空間模型（質量、阻尼、剛度）模態模型（固有頻率，模態振型）響應模型（頻率響應、脈沖響應）單自由度系統脈沖響應函數單自由度系統，承受單位脈沖荷載(t)時，響應為h(t)——單位脈沖響應函數（脈沖響應函數）該式的解為式中，若系統受到任意函數f(t)激勵，則響應為（Duhamel積分）：單自由度系統脈沖響應函數單自由度系統頻響函數單自由度系統振動微分方程：設系統作用簡諧激勵穩態位移響應：穩態速度響應：穩態加速度響應：單自由度系統振動微分方程：位移頻響函數為穩態位移響應與激勵幅值之比：速度頻響函數：加速度頻響函數：頻響函數單自由度系統頻響函數頻響函數的倒數稱為阻抗位移阻抗：速度阻抗：加速度阻抗：單自由度系統頻響函數頻響函數H()是h(t)的傅里葉變換。若系統的激勵為已知此時系統穩態輸出為因此脈沖響應函數與頻響函數一樣是反映振動系統動態特性的量，頻響函數在頻域內描述系統固有特性，而脈沖響應函數在時域內描述系統固有特性。脈沖響應函數與頻響函數是系統識別的基礎。線性系統的輸入與輸出關系根據傅里葉變換時域卷積性質，在時域的卷積在頻域應為乘積單位力作用下的系統時域與頻域的響應線性系統的輸入與輸出關系不同激勵下頻響函數表達式簡諧激勵下，頻響函數定義為系統的穩態響應幅值與激勵的幅值之比周期激勵f(t)（周期為T）作用下，穩態位移響應為周期T的函數x(t)，都可寫為傅里葉級數的形式系統在周期激勵下的頻響函數定義為在各倍頻點上穩態響應幅值與激勵的幅值之比瞬態激勵f(t)下響應為x(t)，一般可做傅里葉變換系統在瞬態激勵下的頻響函數定義為在響應與激勵的傅里葉變換之比隨機振動中，無論是激勵和響應信號都不能進行傅里葉變換，只能用概率統計方法來處理。頻響函數定義為輸出與輸入的互功率譜與輸入的自功率譜之比不同激勵下頻響函數表達式單自由度系統頻響函數曲線（1）

——粘性阻尼由頻響函數表達式可得頻響函數復指數形式

式中稱為頻率比幅頻特性相頻特性共振幅值點半功率點靜變形單自由度系統頻響函數曲線（2）頻響函數表示成復數形式：其中

實頻特性虛頻特性單自由度系統頻響函數曲線（3）對于任一，根據上式可計算得到對應的一對HR()、HI()值，從而得到復平面上的一條矢量。從0變到∞，矢端將畫出變化過程的軌跡，該軌跡近似為一個圓。（Nyquist圖）半功率點ω=0，R=1/kω=ΩΩ=∞單自由度系統頻響函數曲線（1）

——結構阻尼許多振動結構的阻尼不適用于粘性阻尼描述，這類結構的阻尼主要來源于材料內阻和部件結合面之間的干摩擦，因此引入結構阻尼，又稱遲滯阻尼或固體阻尼。結構阻尼頻響函數復指數形式

式中稱為損耗因子幅頻特性相頻特性單自由度系統頻響函數曲線（2）

——結構阻尼頻響函數表示成復數形式：其中

實頻特性虛頻特性單自由度系統頻響函數曲線（3）

——結構阻尼結構阻尼系統的Nyquist圓半徑為一常數，是個名副其實的圓，該圓起點=0的坐標為多自由度系統的振動

——無阻尼系統多自由度無阻尼系統的運動方程：1、自由振動設特解代入上式得該方程有非零解的充要條件是其系數矩陣行列式為零，即解得的n個互異正根0i，稱為無阻尼系統的固有頻率（特征方程的特征值）系統特征方程多自由度系統的振動

——無阻尼系統將0i代入：解得n個線性無關非零矢量i的比例解，通常選擇一定方法進行歸一化，稱為模態振型（特征方程的特征向量）模態振型具有正交性多自由度系統的振動

——粘性阻尼系統多自由度粘性阻尼系統的運動方程：其中設系統受簡諧激勵，則頻響函數矩陣為多自由度系統的振動

——粘性阻尼系統多自由度粘性阻尼系統的運動方程：進行坐標變換，設物理坐標系中矢量x在模態坐標系中的坐標為

，則代入運動方程得多自由度系統的振動

——粘性阻尼系統左乘{s}T，考慮到模態振型的正交性，得ms——第s階模態質量ks——第s階模態剛度cs——第s階模態阻尼系數qs——第s階模態坐標令，則多自由度系統的振動

——粘性阻尼系統不考慮起始條件，可得位移響應：多自由度系統頻響函數令令頻響函數物理意義為：在j點作用單位力時，在i點引起的響應i=j時，稱為原點頻響函數頻響函數與模態參數的關系頻響函數矩陣中任一行為

如果在結構上的某一固定點i點拾振，輪流激勵所有點，即可求得[H]中的一行。（單點拾振法）頻響函數與模態參數的關系頻響函數矩陣中任一列為

如果在結構上的某一固定點j點激振，在其他各點拾振，即可求得[H]中的一列。（單點激勵法）頻響函數圖像頻響函數表達式

頻響函數的圖像可以看作為一系列單自由度系統的頻響函數曲線的迭加。123234頻響函數圖像

1.H11的幅頻及相頻曲線（原點頻響函數）：共振點反共振點頻響函數圖像原點頻響函數圖像特征：在幅頻圖中，每兩個共振峰之間必有一個反共振點；在相頻圖中，每經過一個共振點相位角滯后180°，每經過一個反共振點，相位角導前180°頻響函數圖像

2.H21的幅頻及相頻曲線（跨點頻響函數）：共振點反共振點頻響函數圖像跨點頻響函數圖像特征：在幅頻圖中，若相鄰模態同相位，在這兩個模態之間存在一個反共振點，若相鄰模態反相位，則這兩個模態之間是一段平滑曲線；123234F結構模態試驗技術結構模態實驗是要通過某種激勵方法，人為地使結構產生振動，提取激勵輸入和結構響應輸出的時域或頻域數據；或者在自然環境激勵下，現場提取結構的響應輸出數據。頻響函數矩陣或單位脈沖響應函數矩陣中的任一列或任一行，蘊含了系統全部的模態參數信息。測量方法：SISO：選取一點作單點激振，在所有測量點依次測量響應

或選取一點作測量響應，在所有測量點輪流測量激振SIMO：選取一點作單點激振，在所有測量點同時測量響應MIMO：選取多點同時激振，在所有測量點同時測量響應結構模態試驗技術結構模態實驗基本步驟：將試驗結構以適當的方式支撐起來選擇適當方式激勵試驗結構，通過拾振系統測量，記錄激勵和響應的時間歷程（用時域法往往只需記錄響應的時間歷程）將記錄到的激勵和響應時域信號送入A/D（模/數）轉換器，將連續的模擬信號轉換為離散的數字信號（采用計算機記錄時域信號時，將此步并入2）如果采用頻域法進行參數識別，需將上述時域數字信號進行FFT，獲得系統的離散頻響函數根據離散頻響函數或時間歷程信號進行參數識別，估算出系統的模態參數試件支承原則：盡量實現實際結構所要求的邊界條件支承方式：約束支承方式：將試件安裝在基礎上

理想狀態：基礎絕對剛性。（難以達到）

試驗中：基礎的頻響函數值遠小于試件結構的頻響函數值

基礎質量至少為試件質量的10倍試件支承支承方式：自由支承方式：試件處于懸空狀態

理想狀態：系統具有六個剛體模態（難以達到）

試驗中：氣、磁懸掛空氣彈簧支承模態試驗激勵方式分為單點激勵和多點激勵單點激勵：對測試結構一次只激勵一個點的一個方向，而在其他任何坐標上均沒有激勵作用。

單點激勵是SISO參數識別所要求的激勵方式多點激勵：對多個點同時施加激振力模態試驗激勵信號正弦信號步進式正弦激勵法自動正弦慢掃描激勵快速掃描正弦激勵平穩隨機信號自然隨機信號偽隨機信號瞬態隨機信號周期偽隨機信號模態試驗激勵信號瞬態沖擊信號

一般由錘擊法產生階躍激勵

纜繩預拉試件，突然釋放或切斷纜繩，激起結構對初始位移輸入的自由衰減振動響應環境激勵激勵點選擇原則：能激起試驗頻帶內全部模態，而且平均模態位移最大單點隨機激勵：

不在所要測量的任一階模態節點上，保證不丟失模態多點隨機激勵：

能同時激起試驗頻帶內各階模態測點及測量方法安排測試系統激勵設備傳感系統分析設備模態實驗方法時域模態參數識別方法SIMOMIMOTimeDomainmethodsIndirectmethodsDirectmethodsMDOFMDOFSIMOSISOMIMOLSCEITDCEPRCEERAARMADSPI模態試驗設計試件邊界條件與支承方式設計和技術實施試驗頻率范圍的確定試驗方法（激