假設檢驗的基本思想和方法假設檢驗的一般步驟假設檢驗的兩類錯誤課堂練習小結布置作業第一節假設檢驗假設檢驗參數假設檢驗非參數假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題.總體分布已知，檢驗關于未知參數的某個假設總體分布未知時的假設檢驗問題在本節中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統計推斷問題.這就是根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.一、假設檢驗的基本思想和方法讓我們先看一個例子.這一章我們討論對參數的假設檢驗

.生產流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標準.這樣做顯然不行！罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.每隔一定時間，抽查若干罐.如每隔1小時，抽查5罐，得5個容量的值X1，…，X5，根據這些值來判斷生產是否正常.如發現不正常，就應停產，找出原因，排除故障，然后再生產；如沒有問題，就繼續按規定時間再抽樣，以此監督生產，保證質量.通常的辦法是進行抽樣檢查.很明顯，不能由5罐容量的數據，在把握不大的情況下就判斷生產

不正常，因為停產的損失是很大的.當然也不能總認為正常，有了問題不能及時發現，這也要造成損失.如何處理這兩者的關系，假設檢驗面對的就是這種矛盾.在正常生產條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應在355毫升上下波動.這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位.因此，根據中心極限定理，假定每罐容量服從正態分布是合理的.現在我們就來討論這個問題.罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.它的對立假設是：稱H0為原假設（或零假設，解消假設）；稱H1為備選假設（或對立假設）.在實際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設.H0：（=355）H1：這樣，我們可以認為X1,…,X5是取自正態總體

的樣本，是一個常數.當生產比較穩定時，現在要檢驗的假設是：那么，如何判斷原假設H0

是否成立呢？較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應由什么原則來確定？由于

是正態分布的期望值，它的估計量是樣本均值，因此可以根據與

的差距來判斷H0

是否成立.-

||較小時，可以認為H0是成立的；當-

||生產已不正常.當較大時，應認為H0不成立，即-

||問題歸結為對差異作定量的分析，以確定其性質.差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機誤差這種誤差反映偶然、非本質的因素所引起的隨機波動.然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質差別，即反映了生產已不正常.這種差異稱作“系統誤差”問題是，根據所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限.問題是：如何給出這個量的界限？這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則：小概率事件在一次試驗中基本上不會發生.現在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設H0后，如何作出接受和拒絕H0的結論呢？在假設檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據實際情況而定。罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.一批可樂出廠前應進行抽樣檢查，現抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？提出假設選檢驗統計量~N(0,1)H0：=355

H1：

≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點的值，使故我們可以取拒絕域為：也就是說,“”是一個小概率事件.W：如果由樣本值算得該統計量的實測值落入區域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0.如果H0

是對的，那么衡量差異大小的某個統計量落入區域W(拒絕域)是個小概率事件.如果該統計量的實測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發生了，那么就認為H0不可信而否定它.否則我們就不能否定H0

（只好接受它）.這里所依據的邏輯是：不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度.所以假設檢驗又叫“顯著性檢驗”如果顯著性水平

取得很小，則拒絕域也會比較小.其產生的后果是：H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異.基于這個理由，人們常把時拒絕H0稱為是顯著的，而把在時拒絕H0稱為是高度顯著的.在上面的例子的敘述中，我們已經初步介紹了假設檢驗的基本思想和方法.下面，我們再結合另一個例子，進一步說明假設檢驗的一般步驟.二、假設檢驗的一般步驟

例2

某工廠生產的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產的產品，其長度X假定服從正態分布未知，現從該廠生產的一批產品中抽取6件,得尺寸數據如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產品是否合格?…分析：這批產品(螺釘長度)的全體組成問題的總體X.現在要檢驗E(X)是否為32.5.提出原假設和備擇假設第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗統計量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中基本上不會發生.對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322得否定域

W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統計量t的實測值,|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域

這并不意味著H0一定對，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.假設檢驗會不會犯錯誤呢？由于作出結論的依據是下述小概率原理小概率事件在一次試驗中基本上不會發生.不是一定不發生三、假設檢驗的兩類錯誤如果H0成立，但統計量的實測值落入否定域，從而作出否定H0的結論，那就犯了“以真為假”的錯誤.如果H0不成立，但統計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結論，即接受了錯誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯誤.請看下表

假設檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤

P{拒絕H0|H0為真}=,

P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.

兩類錯誤的概率的關系兩類錯誤是互相關聯的，當樣本容量固定時，一類錯誤概率的減少導致另一類錯誤概率的增加.要同時降低兩類錯誤的概率或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.請看演示假設檢驗和區間估計的關系請看演示假設檢驗和區間估計單、雙側檢驗前面一例的檢驗，拒絕域取在兩側，稱為雙側檢驗.下面看一個單側檢驗的例子.想了解單雙側檢驗的區別，請看演示.單雙側檢驗例3

某工廠生產的固體燃料推進器的燃燒率服從正態分布現在用新方法生產了一批推進器。從中隨機取

n=25只，測得燃燒率的樣本均值為

設在新方法下總體均方差仍為2cm/s，問這批推進器的燃燒率是否較以往生產的推進器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平

代入=2,n=25，并由樣本值計算得統計量U的實測值U=3.125>1.645故拒絕H0

，即認為這批推進器的燃料率較以往生產的有顯著的提高。落入否定域解:提出假設:取統計量否定域為

W:=1.645

某織物強力指標X的均值=21公斤.改進工藝后生產一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤.假設強力指標服從正態分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產織物比過去的織物強力是否有提高?四、課堂練習代入

=1.2,n=30，并由樣本值計算得統計量U的實測值U=2.51>2.33故拒絕原假設H0

，即新生產織物比過去的織物的強力有提高。落入否定域解:提出假設:

取統計量否定域為

W:=2.33

提出假設

根據統計調查的目的,提出原假設H0

和備選假設H1作出決策抽取樣本檢驗假設

對差異進行定量的分析，確定其性質(是隨機誤差還是系統誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域五、小結六、布置作業概率論與數理統計標準化作業(七)單個正態總體均值的檢驗兩個正態總體均值差的檢驗小結布置作業第二節正態總體均值的假設檢驗

1.已知，關于的檢驗（u檢驗）在上一小節中已討論過正態總體,當已知時關于的檢驗問題.在這些檢驗問題中，我們都是利用在為真時服從分布的統計量來確定拒絕域。這種檢驗法常稱為u檢驗法。一、單個總體均值的檢驗下面還將給出一個有用的結果:我們看到，如將例2中需要檢驗的問題寫成以下的形式，看來更為合理：取顯著性水平為，現在來求這個問題的拒絕域.因為中的全部都比中的要小,從直觀上看,較合理的檢驗法應是：若觀測值與的差過分大，即,則我們拒絕而接受，因此拒絕域的形式為（k待定）.由標準正態分布的分布函數的單調性得到P{拒絕為真}即即得，從而得檢驗問題(1.7）的拒絕域為所以要控制P{拒絕為真}，只需令這與上節得到的檢驗問題（1.3）的拒絕域（1.5）是一致的。比較正態總體在方差已知時，對均值的兩種檢驗問題

和我們看到盡管兩者原假設的形式不同，實際意義也不一樣，但對于相同的顯著性水平它們的拒絕域是相同的。因此遇到形如（1.7）的檢驗問題，可歸結為（1.3）來討論。對于下面將要討論的有關正態總體的參數的檢驗也有類似的結果。

2.未知，關于的檢驗（t檢驗）設總體，其中未知，我們來求檢驗問題的拒絕域（顯著性水平為）。設是來自正態總體X的樣本，由于未知，現在不能利用來確定拒絕域了。注意到是的無偏估計，我們用s

來代替，采用作為檢驗統計量。當過分大時就拒絕,拒絕域的形式為已知當為真時，，故由P{拒絕為真}＝，得，即拒絕域為

對于正態總體，當未知時，關于的單邊檢驗得拒絕域在課本附表中已給出。上述利用t

統計量得出得檢驗法稱為t

檢驗法。在實際中，正態總體的方差常為未知，所以我們常用t檢驗法來檢驗關于正態總體均值的檢驗問題。例1某種電子元件的壽命X（以小時計）服從正態分布，均未知?，F測得16只元件的壽命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）？解：按題意需檢驗取。由表8.1知檢驗問題的拒絕域為現在n=16,又算得即得t不落在拒絕域，故接受，即認為元件的平均壽命不大于225小時。二.兩個正態總體均值差的檢驗（t檢驗）我們還可以用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩個正態總體均值差的假設。設是來自正態總體的樣本，是來自正態總體的樣本且設兩樣本獨立。又分別記它們的樣本均值為，記樣本方差為。設均為未知，要特別引起注意的是，在這里假設兩總體的方差是相等的。現在來求檢驗問題：（為已知常數）的拒絕域，取顯著性水平為引用下述t統計量作為檢驗統計量：其中當為真時，已知與單個總體的t

檢驗法相仿，其拒絕域的形式為

P{拒絕為真}

＝可得于是得拒絕域為關于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域在書附表中給出。常用的是的情況。當兩種正態總體的方差均為已知時，我們可用u檢驗法來檢驗兩正態總體均值差的假設問題。例2在平爐進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，其得率分別為標準方法78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態總體和,均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（?。┙猓盒枰獧z驗假設分別求出標準方法和新方法的樣本均值和樣本方差如下：又，故拒絕域為現在由于樣本觀察值t＝-4.295<-1.7341,所以拒絕，即認為建議的新操作方法較原來的方法為優。三、小結在這一節中我們學習了正態總體均值的檢驗法,有以下兩種:單個正態總體均值的檢驗以及兩個正態總體均值差的檢驗.四、布置作業概率論與數理統計標準化作業(七)單個總體的情況兩個總體的情況課堂練習小結布置作業第三節正態總體方差的假設檢驗一、單個總體的情況設總體均屬未知，是來自X的樣本，要求檢驗假設（顯著性水平為）：

為已知常數。由于是的無偏估計，當為真時，比值一般來說應在1附近擺動，而不應過分大于1或過分小于1。由于當為真時,

我們取作為檢驗統計量，如上所說知道上述檢驗問題的拒絕域具有以下的形式：或或此處的值由下式確定：

P{拒絕為真}

＝為計算方便起見，習慣上?。?.1）

故得

于是得拒絕域為或上述檢驗法為檢驗法。關于方差的單邊檢驗法得拒絕域已在附表中給出。例3某廠生產的某種型號的電池，其壽命長期以來服從方差(小時)的正態分布，現有一批這種電池，從它的生產情況來看，壽命的波動性有所改變，現隨機取26只電池，測出其壽命的樣本方差小時）。問根據這一數據能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化（?。炕?/p>

由觀察值得所以拒絕，認為這批電池壽命波動性較以往的有顯著的變化。二、兩個總體的情況設來自總體的樣本，是來自總體的樣本，且兩樣本獨立。其樣本方差分別為。且設均為未知，現在需要檢驗假設:由于的獨立性及得知故當為真時，即當時有（3.2）我們取作為檢驗統計量。當為真時，而當為真時

由于，故有偏大的趨勢，因此拒絕域的形式為（3.3）k由下式確定：P{拒絕為真}＝即有于是拒絕域為

上述檢驗法稱為F檢驗法。關于的另外兩個檢驗問題的拒絕域在附表中給出。(3.4)例4試對例2中的數據作方差的假設檢驗（取）解：此處，拒絕域為或現在即有

故接受，認為兩總體方差相等。例5研究機器A和機器B生產的鋼管的內徑，隨機抽取機器A生產的管子18只，測得樣本方差；抽取機器