2010年控制工程基礎

第十章

COMPUTERCONTROLSYSTEM

計算機控制系統的控制規律是由計算機來實現的10.1計算機內信號的處理和傳遞過程10.2z變換10.3線性離散系統的數學描述10.4線性離散系統的穩定性分析10.5計算機控制系統的模擬化設計方法10.1計算機內信號的處理和傳遞過程輸出反饋計算機控制系統結構框圖表示參考輸入信號（給定信號）表示系統的反饋信號

數字控制器用計算機實現，一般由計算機核心硬件、控制算法（或稱控制律，由計算機程序實現）、模-數(A/D)轉換器、數-模(D/A)轉換器組成。采樣周期：兩次相鄰采樣之間的時間，記作。采樣時刻：把實測信號轉換成數字形式的時刻。

最常用的是周期性采樣。表示偏差信號表示控制信號量化以后的數字偏差信號。計算機計算出的數字控制信號。由經數-模轉換后的離散模擬控制信號。經過保持器變成的模擬控制信號。計算機內信號的主要處理過程包括采樣、量化、運算和保持。采樣和量化由A/D轉換器完成，運算在計算機的CPU內進行，而計算機輸出信號經D/A轉換器通常在采樣間隔內保持不變。采樣

采樣：指每隔一定的時間間隔把連續信號抽樣成采樣信號的過程。理想采樣器：理想采樣器是一種數學抽象。單位脈沖序列：理想采樣器圖示采樣示意圖采樣信號可以看成是和的乘積。在時刻的脈沖沖量為，而表示出脈沖發生的時刻。采樣周期應該滿足采樣定理，否則會發生混疊現象。采樣定理：采樣頻率要高于信號中最高頻率的2倍。

乃奎斯特頻率:C.Shannon(1916-2001)MIT教授，信息論創始人連續信號與采樣信號的頻譜量化：把離散模擬信號轉變成數字信號的過程。量化精度取決于A/D轉換器的位數n。當位數足夠多時，轉換可以達到足夠高的精度。量化單位：量化

其中，分別表示轉換器輸入的最大值和最小值。量化誤差：保持器

保持：把離散模擬信號轉變成模擬信號的過程。

保持器：實現保持作用的電路。保持器起外推器的作用，根據過去時刻的離散值，外推出采樣點之間的數值。

零階保持器(ZeroOrderHolder，縮寫ZOH)

把時刻的信號一直保持到時刻前的瞬間，其外推公式為零階保持器的單位脈沖響應零階保持器的傳遞函數零階保持器的頻率特性零階保持器的幅頻特性和相頻特性零階保持器具有低通特性和相角滯后特性。由于數字信號所固有的時間上離散、幅值上量化的效應，從而使得計算機控制系統與連續控制系統在本質上有許多不相同的性質。計算機控制系統中包含有數字環節，即是典型的數字控制系統，對時變非線性的數字環節進行嚴格的分析十分困難。若忽略數字信號的量化效應，則計算機控制系統可看成是采樣控制系統。

把執行器、被控對象用傳遞函數來表示，A/D轉換器表示成一個理想的采樣器，D/A轉換器表示為一個采樣器后接零階保持器的理想采樣保持電路，計算機中實現的算法用表示。在線性離散系統中，可以對采樣信號作拉氏變換，采樣信號表達式為

令，則稱為的離散拉氏變換。一般稱

為離散時間序列的z變換。是復變量的函數。10.2z變換典型信號的z變換（1）單位脈沖時間序列則延遲的單位脈沖時間序列

則（2）單位階躍時間序列

（3）單位斜坡時間序列

（4）衰減指數序列（5）指數序列z變換的性質設(1)

線性性質z變換是一種線性變換，即(2)

滯后性質設時，則滯后步序列的z變換為

代表滯后（延遲）環節，表示把信號延遲個采樣周期。(3)

超前性質超前步序列的z變換為

代表超前環節，表示輸出信號超前輸入信

號個采樣周期。(4)

象函數尺度變化規則(5)初值定理(6)終值定理(7)卷積定理

一些典型時間序列的Z變換可以由查表得到。(2)由Z變換定義、性質和定理可以很方便地求出復雜函數的Z變換。由連續時間信號的拉氏變換求相應采樣序列的z變換已知連續時間信號的拉氏變換為對取拉氏反變換得到，按采樣周期對采樣，得到相應采樣序列對取z變換，得到。記作(1)部分分式法如果已知某函數的拉式變換，先把它分解為一些基本的部分分式

然后再分別求出其相應的原函數。對

離散化得，對求z變換。由z變換的線性性質可得例：

對采樣得因此

(2)留數計算法由復變函數中留數定理可知，函數除有限個極點外，在某域G內是解析的，則C為G內的一段封閉積分回路，應包含的所有極點。表示函數在極點的留數。等于在各極點處的留數之和。留數的計算方法因是否有重極點而異。如果在處有階極點，則如果在處只有一階極點，則如果具有個不同的極點每

個的階數為（時為單極點），則例：已知某連續時間信號的拉氏變換為試用留數法求相應采樣序列的Z變換。解：例：已知某連續時間信號的拉氏變換為試用留數法求相應采樣序列的Z變換。解：2、Z反變換(1)冪級數展開法（長除法）把展開為的冪級數，的系數相應

于在第個采樣時刻的時間函數的值。冪級數展開法只能得到離散時間序列的前若干項，得不到序列的數學解析式。例

則

(2)部分分式法設是的有理分式，當其實根是互不相同的情形時，利用部分分式法求z反變換的步驟為：①展開其中②把展開式乘以，得：

③反演展開式，得：

例：(3)留數計算法由留數定理，得:積分回路C應包含被積式中的所有極點。是的極點。等于的各極點留數之和。如果在處有階極點，則如果在處只有一階極點，則如果具有個不同的極點

每個的階數為（時為單極點），則例：求的Z反變換。解：當時， 當時，10.3線性離散系統的數學描述對于單輸入單輸出線性離散時不變系統，人們習慣用線性常系數差分方程或脈沖傳遞函數來表示。對于多變量、時變和非線性系統用狀態空間方法處理比較方便。

單輸入單輸出線性離散時不變系統的輸入輸出關系可以用線性常系數差分方程描述

上述差分方程為階差分方程。差分方程可寫成緊縮算子形式：其中，是引入的后移算子齊次差分方程：差分方程右端各階差分項的系數均為零。表征線性離散系統在沒有外界作用的情況下系統的自由運動，反映了系統本身的固有特性。非齊次差分方程：差分方程右端各階差分項的系數不全為零，即包含輸入作用。

解差分方程線性差分方程的解法主要有迭代法、古典法和變換法。1、迭代法已知差分方程和輸入序列，并且給出輸出序列的初始值，就可以利用迭代關系逐步計算出所需要的輸出序列。該方法便于計算機運算，但不能得到數學解析式。例：已知差分方程

輸入序列為，初始條件為，試用迭代法求解差分方程。解：逐步以代入差分方程，則有利用迭代法可以得到任意時刻的輸出序

列。2、古典法線性常系數差分方程的全解由齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分組成，即其中特解可用試探法求出，關鍵在于求出齊次方程的通解。階線性差分方程的特征方程為設為特征方程的根。根據特

征根的不同情況，齊次方程的通解形式也不

同。(1)無重根時，即，則通解為

式中待定系數，由的個初始條件確定。(2)全為重根時，即，則通解為

式中待定系數，由的個初始條件確定。(3)有個重根，其余的不是重根，即則通解為

其中，為待定系數。一般情況，假設是特征方程的重根，那么在通解中相應于的部分將有項，即假設階差分方程的特征方程具有個不同的根，的階數為，，則差分方程的通解為

式中待定系數，

由的個初始條件確定。從上面討論中，可以歸納出解線性常系數差分方程的古典法如下：(1)求齊次方程的通解；(2)求非齊次方程的一個特解；(3)利用個初始條件或根據起始條件利用迭代法求出的初始條件確定通解中的個待定系數。非齊次方程的特解反映了離散系統在外界

作用下的強迫運動。特解用試探法求出，與幾種典型輸入信號對應的特解形式如下表輸入信號輸出響應的特解

不是差分方程的特征根

是差分方程的特征根之一相異根次重根例：考慮二階差分方程，求差分方程的解。解：特征方程為特征根為齊次方程的通解為設特解為，代入方程試探

解得方程的全解為代入初始條件得

因而非齊次差分方程的解為例考慮三階差分方程初始條件為，，，求解差分方程。解：特征方程為其特征根為（二重根）和。這時，，，。齊次方程的通解為

該差分方程是一個齊次方程，因此齊次方程的通解也是差分方程的全解代入初始條件，得求出，和。因而

差分方程的全解為3、變換法

在連續系統中引入拉氏變換使得求解繁雜的微、積分問題變成了簡單的代數運算。在求解差分方程時，同樣可以用變換法，引入z變換后，可以使求解差分方程變得簡便。用z變換求解差分方程

利用z變換中的滯后和超前定理，以及已知函數的z變換，可以求解線性常系數差分方程的解。它把解差分方程變為以z為變量的代數運算問題。考慮差分方程：對差分方程兩邊作z變換：

差分方程的全解由與初始條件有關的通解和輸入有關的特解兩部分組成

步驟：對n階差分方程作z變換將已知初始條件或由迭代法求出的y(0)，y(T)，代入z變換式由z變換式求出Y(z)對Y(z)取z反變換，得到差分方程的解y(kT)例：用z變換求解差分方程解：對差分方程兩邊求z變換，得:脈沖傳遞函數

在初始靜止的條件下，脈沖傳遞函數是系統輸出脈沖序列的z變換和輸入脈沖序列的z變換之比，即

用脈沖傳遞函數描述的線性離散系統

在連續系統中傳遞函數反映了系統的固有動態特性，僅取決于描述線性連續系統的微分方程。同樣在離散系統中，脈沖傳遞函數也反映了系統的固有動態特性，僅取決于描述線性離散系統的差分方程。

對用如下線性常系數差分方程所代表的離散系統當考慮初始條件為零時，兩邊取z變換得系統的特征方程為由特征方程可求出系統的極點，極點數目等于系統的階數。由可求出系統的零點。例：求線性離散系統

的脈沖傳遞函數。解：在線性連續系統中，系統的傳遞函數等于單位脈沖響應函數的拉氏變換。對于線性離散系統，系統的脈沖傳遞函數等于單位脈沖響應的z變換。即系統的脈沖傳遞函數和單位脈沖響應為一z變換對。線性離散系統的脈沖傳遞函數和單位脈沖響應連續系統的離散化

(1)沖激響應不變法基本思路：讓和所代表的系統在采樣點具有相同的單位脈沖響應。步驟：a.由求出連續系統的單位脈沖響應b.按采樣周期對采樣，得到，作為相應離散系統的單位脈沖響應；c.對取z變換，得到離散系統的脈沖

傳遞函數這里用到了與是一對拉氏變換對，與是一對z變換對的關系。沖激不變法表述為利用沖激不變法離散化示意圖利用沖激不變法由求，可以用部分分式法和留數計算法。例：已知某連續系統的傳遞函數為試用沖激不變法求相應離散系統的脈沖傳遞函數。解：連續系統的單位脈沖響應函數為對采樣，得：則離散系統的脈沖傳遞函數為(2)帶零階保持器法這就是控制信號經D/A變換器轉換成模擬量控制被控對象的情形。下面求帶零階保持器的離散化系統的脈沖傳遞函數。帶零階保持器的離散化方法示意圖設系統的輸入為單位階躍時間序列則經過零階保持器后對采樣得，并取z變換得由于系統輸入為單位階躍時間序列，其z變換為因此帶零階保持器的離散系統的脈沖傳遞函數為帶零階保持器的離散化方法也可看作是用沖激不變法離散化傳遞函數為的廣義對象（帶有零階保持器的對象稱為廣義對象），即

稱為廣義對象的脈沖傳遞函數。

3)乘以得用帶零階保持器的離散化方法求廣義對象的脈沖傳遞函數的步驟為：1）求時間函數

2）對離散時間序列作z變換實際系統常常由一些子系統組成，子系統之間又以一定的方式相互聯系著。最基本的聯系形式有三種：串聯、并聯和反饋。首先介紹一些寫法。

系統的脈沖傳遞函數

（1）串聯系統的脈沖傳遞函數（2）并聯系統的脈沖傳遞函數（3）反饋系統的脈沖傳遞函數閉環脈沖傳遞函數或輸出量的z變換的推導步驟：1）在主通道上建立輸出與中間變量的關系；2）在閉環回路中建立中間變量與輸入或的關系；3）消去中間變量，建立輸出與或的關系。

采樣開關的位置對分子、分母部分都有影響，不僅閉環脈沖傳遞函數的形式不同，而且會有不能寫出閉環脈沖傳遞函數的情況，只能寫出輸出量的z變換表達式。利用脈沖傳遞函數分析離散系統的瞬態響應10.4線性離散系統的穩定性分析1、s平面和z平面之間的映射關系2、線性離散系統穩定的充要條件3、線性離散系統的穩定性代數判據 s平面 z平面極點： 極點：

虛軸： 單位圓上：右半平面： 單位圓外：左半平面： 單位圓內：s平面與z平面的映射關系

s平面與z平面之間的映射關系是“多對一”的關系，即在s左半平面上每個寬的帶子都映射到z平面上同一單位圓內。是采樣角頻率的周期函數，當s平面上不變，角頻率由0變到無窮時，的模不變，只是相角作周期性變化。設則，即在復平面上是同一

個點。線性離散系統穩定的充要條件是特征方程的全部根或閉環z傳遞函數的全部極點都分布在z平面上以原點為圓心的單位圓內。說明：設閉環脈沖傳遞函數為 系統的特征方程為線性離散系統穩定性條件設特征根為，則系統穩定的充要條件是全部特征根都位于s左半平面。根據s-z平面的映射關系，設s平面上左半平面的映射到z平面上為。則是特征方程的根。穩定系統的特征根必然分布在z平面上以原點為圓心的單位園內。

根據s平面與z平面的映射關系，可以將線性離散系統分為：穩定系統：系統閉環極點均分布在z平面內以原點為圓心的單位圓內。臨界穩定系統：系統有極點分布在z平面內以原點為圓心的單位圓上，而其他極點均位于單位圓內。不穩定系統：系統有極點分布在在z平面內以原點為圓心的單位圓外。線性離散系統的動態性能分析線性離散系統的動態特性取決于閉環脈沖傳遞函數極點在z平面上分布的情況。極點對應的單位脈沖響應序列單位圓內的極點對應的單位脈沖響應是衰減序列，而且極點越接近原點，輸出衰減越快，系統的響應時間越快。當極點分布在單位圓內左半平面時，雖然單位脈沖響應是衰減的，但是由于交替變號，過渡特性不好。因此設計線性離散系統時，應該盡量選擇極點在單位圓內的右半平面，而且盡量靠近原點。單位圓上和單位圓外的極點對應的單位脈沖響應是等幅或發散序列。例：設線性離散系統的z特征方程為 試判斷系統的穩定性。解：由z特征方程可求得特征根 由于特征根全部位于z平面上以原點為圓心的單位圓內，所以系統穩定。例判斷如下圖所示系統的穩定性。解：則特征方程為1+G(z)=0即解得

＞1，故系統不穩定。

線性離散系統穩定性的代數判據

離散系統穩定的充分必要條件是特征方程的根全都位于z平面內以原點為圓心的單位圓內。代數判據法(Schour-Cohn，Jury)，或通過雙線性變換把z平面問題變成s平面的問題，再用連續系統的穩定判據等。▲利用勞斯判據判系統穩定性對于較高階次的離散系統，也可通過變換，利用勞斯判據判其穩定性。設雙線性變換

式中，z=x＋jy

r=u+jv

其實部為可見，當＜1，即時，u＜0

當>1，即時，u＞0

當=1，即時，u=0例某離散系統的閉環特征方程為試判其穩定性。解：將代入特征方程，得

即特征式系數不同號，容易根據勞斯判據，判出該系統不穩定。

朱里(Jury)代數判據如果已知一個系統的特征多項式Jury把它的系數排列成如下的算表：---------------------------------------------------------------------------------------------------其中，Jury穩定性判據：如果，方程的根全部位于單位圓內的充分必要條件是：算表中所有奇數行的第一個元素都是正數。如果這些元素中有的為負數，則負元素的個數代表方程中含有在單位圓以外根的個數。例：已知特征方程為

求使二階系統穩定的系數的范圍。解：寫出Jury算表為

如果要求特征方程的根全在單位圓內，則必須滿足：

即系數和使此二階系統穩定的區間如下圖所示。

例：求如圖所示系統的閉環傳遞函數，并判斷系統穩定性。

解：先求出開環脈沖傳遞函數，然后求閉環脈沖傳遞函數，可根據特征方程的根判斷系統穩定性。閉環特征方程為解之，得因為所以該系統穩定。線性離散系統的穩態誤差分析

考慮單位反饋控制系統，其誤差脈沖傳遞函數為誤差為

如果z特征方程根全部位于以原點為圓心的單位圓內，則此閉環系統穩定系統的誤差還與系統的輸入型式有關。系統在各采樣時刻的誤差值，可以由展開式的各項系數來確定。利用z變換的終值定理可以分析系統在各種輸入條件下的穩態誤差。

離散控制系統的類型連續控制系統中，根據開環傳遞函數中包含的積分環節的個數來定義系統的型次。由于z平面內z=1的極點對應于s平面內s=0的極點，因此，對于離散系統，可根據開環脈沖傳遞函數中包含z=1的極點數目來定義離散系統的型次，如將開環脈沖傳遞函數中含有z=1的極點數用來表示，把系統分別稱為0型、I型、II型、III型…系統。靜態位置誤差系數離散系統對單位階躍輸入的穩態誤差為定義靜態位置誤差系數為靜態位置誤差系數可以根據開環脈沖傳遞函數直接求得。它反映了系統在單位階躍輸入時穩態誤差的大小。用靜態位置誤差系數表示的單位階躍輸入下的穩態誤差為單位階躍輸入時的穩態誤差為靜態速度誤差系數離散系統對單位速度輸入的穩態誤差為定義靜態速度誤差系數為用靜態速度誤差系數表示的單位速度輸入

下的穩態誤差為單位速度輸入時的穩態誤差為靜態加速度誤差系數離散系統對單位加速度輸入的穩態誤差為定義靜態速度誤差系數為用靜態速度誤差系數表示的單位速度輸入下

的穩態誤差為單位加速度輸入時的穩態誤差為

對閉環系統穩態誤差的要求決定了的結構形式。系統類別單位階躍輸入單位速度輸入單位加速度輸入0型系統I型系統0II型系統00例：如圖所示(1)試求出閉環系統的脈沖傳遞函數；(2)試求出使系統穩定的K值范圍，設采樣周期T=0.1s；(3)若輸入為單位階躍函數，試求系統的穩態誤差。(1)廣義對象傳遞函數為

則系統的閉環脈沖傳遞函數

(2)由閉環脈沖傳遞函數知閉環系統特征方程為特征根為系統穩定須滿足條件解之，得使系統穩定的K值范圍為(3)若誤差脈沖傳遞函數誤差為利用終值定理可以求出系統的穩態誤差10.5計算機控制系統的模擬化設計方法計算機控制系統的的設計是指設計數字控制器，使系統達到要求的性能指標。計算機控制系統的設計方法包括：模擬化設計方法、離散化設計方法（例如最少拍設計）等。所謂計算機控制系統的模擬化設計方法就是首先設計出符合技術要求的連續控制系統，再用離散時間控制器近似連續時間控制器。

模擬化的設計方法就是首先按照連續控制系統的設計方法如對數頻率特性法、根軌跡法等設計出符合技術要求的連續校正環節，再用相應的數字校正環節去代替連續校正環節。逼近的程度取決于采樣速率和離散化的方法。相應于連續控制系統中廣泛應用的PID控制器，計算機控制系統中也有數字PID控制器。連續控制系統框圖代替連續控制系統的采樣控制系統框圖將采樣控制系統中的連續環節離散化得到的離散控制系統框圖模擬化設計的理論基礎：通常計算機的運算速度相對于控制對象是足夠高的，經過運算不會降低精度，也不會產生大的滯后。對于A/D和D/A，可以根據精度和信息帶寬的要求，選擇具有相應位數和適當轉換速度的轉換器，經過轉換的信息不會帶來大的誤差和滯后。但當信息經過保持器時，會產生幅值衰減和相位滯后。可以證明當系統的通頻帶比采樣角頻率低很多時，可以忽略零階保持器的影響。典型的計算機控制系統，盡管是一個離散系統，但只要合理選擇計算機控制系統的元部件，選擇足夠高的采樣頻率，離散的計算機控制系統可以近似看成連續系統。把計算機控制系統近似看成連續系統，計算機控制系統的設計就可以按照連續系統的設計方法，求出連續校正環節的傳遞函數后，對其離散化，由計算機實現數字控制規律。

當采樣周期足夠短時，計算機控制系統的設計可以按照連續系統的設計方法。首先根據性能指標利用連續控制系統的設計方法求出校正環節，然后利用一些近似的方法對離散化，得到近似等效的數字校正環節，據此可寫出由計算機實現的控制算法。近似設計方法包括沖激不變法，帶零階保持器的離散化方法，前向差分法，后向差分法，雙線性變換法等。數字校正環節的近似設計方法1、連續校正環節的離散化方法(1)沖激響應不變法

優點是和的脈沖響應是一樣的，

而且如果是穩定的，則也是穩定

的。例：已知則取反z變換得到計算機可實現的 控制算法為(2)帶零階保持器法

當穩定時，也穩定。例：已知則

控制算法為(3)前向差分法相當于用代替s，不能保證總是穩定的，而且不能保證具有與相同的脈沖響應和頻率響應。(4)后向差分法相當于用代替s，當是穩定的，總是穩定的，但不能保證具有與相同的脈沖響應和頻率響應。(5)雙線性變換法相當于用代替s，當是穩定的，總是穩定的，但不能保證具有相同的脈沖響應和頻率響應。香農采樣定理采樣周期的選擇與許多因素有關。零階保持器相當于具有半個采樣周期延時的環節，因此當用零階保持電路后接連續時間系統來近似采樣系統時，保持電路會引起相位滯后。如果相位裕量允許減少5°~15°，就可以給出下面的經驗法則：其中,是連續系統的開環剪切頻率。一般Nyquist頻率取為剪切頻率的5~20倍，典型數據為。對數頻率法校正

對數頻率法是基于連續系統的對數頻率特性，首先做出系統的固有對數頻率特性，再根據性能指標的要求，畫出希望的對數頻率特性，校正網絡的對數頻率特性曲線為有了便可得到相應的校正網絡的傳遞函數，對離散化便可得到，由計算機予以實現。例：計算機控制系統如下圖所示，采樣周期，要求速度誤差系數剪切頻率，諧振峰值，試設計串聯校正裝置。解：

由控制理論得知，閉環系統的通頻帶所以可以忽略零階保持器的影響，可以用連續系統的設計方法設計計算機控制系統。1）根據速度誤