§2.2數量場的方向導數和梯度DirectionalDerivativeandGradientofScalarsField主要內容1.數量場的方向導數2.數量場的梯度教材：第2章第2節2/3/20231華北科技學院基礎部一、

方向導數(DirectionalDerivative)

數量場中，數量在空間的分布狀況可用等值面（線）了解，但只是整體（宏觀）上的了解．在實際應用中不僅需要宏觀上了解場在空間的數值，還需要知道場在不同方向上的變化情況．應用方向導數可以描述數量場在空間某個方向上變化的情況．2/3/20232華北科技學院基礎部1.引例一塊長方形的金屬板，受熱產生如圖溫度分布場.設一個小蟲在板中逃生至某問該蟲應沿什么方向爬行，才能最快到達涼快的地點？處，問題的實質：應沿由熱變冷變化最快的方向爬行．2/3/20233華北科技學院基礎部需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向兩個概念：方向導數和梯度方向導數問題梯度問題2/3/20234華北科技學院基礎部

設M0是數量場u=u(M)中的一個已知點，從M0出發沿某一方向引一條射線l，在l上M0的鄰近取一點M，函數u(M)在點M0處沿l方向的方向導數，2．定義若當M趨于時(即趨于零時)，

如圖．的極限存在，則稱此極限為記為2/3/20235華北科技學院基礎部

②物理意義：①是數量函數u(M)在一個點處沿某一方向對距離的變化率2/3/20236華北科技學院基礎部直角坐標系中，3.計算公式設l方向的方向余弦為若函數在點可微，則兩邊除以，可得2/3/20237華北科技學院基礎部當趨于零時對上式取極限，可得實際應用：計算函數u(M)在給定點處沿某個方向的變化率（定點且定向）．2/3/20238華北科技學院基礎部方向導數是單側極限，而偏導數是雙側極限.原因：函數可微是方向導數存在的充分條件，而不是必要條件。方向導數與偏導數有什么關系?2/3/20239華北科技學院基礎部設,求函數在點沿方向的方向導數。解例12/3/202310華北科技學院基礎部

例2求數量場在點M(1,1,2)處沿方向的方向導數．解：l方向的方向余弦為2/3/202311華北科技學院基礎部而

數量場在l方向的方向導數為

在點M處沿l方向的方向導數

2/3/202312華北科技學院基礎部解令故方向余弦為2/3/202313華北科技學院基礎部故2/3/202314華北科技學院基礎部

設M0是數量場u=u(M)中的一個已知點，從M0出發沿某曲線C正方向鄰近取一點M，則稱此極限為函數u(M)在點M0處沿曲線C正向的方向導數，4.沿曲線的方向導數若當M趨于時(即趨于零時)，

的極限存在，記為2/3/202315華北科技學院基礎部結論若函數在點可微，其中為曲線C在處正向切線.曲線C光滑,則2/3/202316華北科技學院基礎部證明：由于曲線C是光滑的，因此可用弧長s作為參數在描述其參數方程：

x=x(s),y=y(s),z=z(s).沿曲線C,函數表示為u=u[x(s),y(s),z(s)].點M0處，函數u可微，則u對s的全導數為：是曲線C的正向單位切向量，2/3/202317華北科技學院基礎部即有：函數u在點M處沿曲線C（正向）的方向導數與函數u在點M處沿C的切線方向（指向C的正向一側）的方向導數相等。2/3/202318華北科技學院基礎部例4

求函數在點M（2,3）處沿曲線朝x增大一方的方向導數。解：只需求出函數u沿曲線在點M(2,3)處沿x增大方向的切線方向導數即可。將曲線方程改為矢量形式：其導矢：就是曲線沿x增大方向的切向矢量，代入點M（2,3）得2/3/202319華北科技學院基礎部其方向余弦為：函數u在點M處的偏導數為：所求方向導數為：2/3/202320華北科技學院基礎部一個問題：該問題僅在不同時為零才有意義。在給定點沿什么方向增加得最快？可微函數二、梯度(gradient)2/3/202321華北科技學院基礎部二、梯度(Gradient)

數量場u(x,y,z)在l方向上的方向導數為方向導數只是一個特定方向上的導數，而從場的給定點出發有無窮個方向，也就有無窮多個方向導數。能否確定某一個與方向無關的量，它具有一定特殊意義，又可以方便地求出方向導數？從方向導數的表達式可以看到，方向s的方向余弦表示了所取的方向，而三個偏導數則由數量場唯一確定。2/3/202322華北科技學院基礎部方向導數公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向導數取最大值：2/3/202323華北科技學院基礎部在直角坐標系中，令則2/3/202324華北科技學院基礎部由上式顯然可見，當與的方向一致時，也就是說沿矢量

方向的方向導數最大，即時,數量場在點M處的方向導數最大．此最大值為2/3/202325華北科技學院基礎部在直角坐標系中，梯度的表達式為

定義：在數量場u(M)中的一點M處，其方向為函數u(M)在M點處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量，稱為數量場u(M)在M點處的梯度．用gradu(M)表示.2/3/202326華北科技學院基礎部方向上的方向導數.

gradu是由數量場

u派生出來的一個矢量場,

稱為梯度是一個矢量．

gradu的方向就是使方向導梯度場.

數達到最大值的方向,就是在這個方數量場的梯度函數建立了數量場與矢量場的聯系，這一聯系使得某一類矢量場可以通過數量函數來研究，或者說數量場可以通過矢量場來研究．2/3/202327華北科技學院基礎部因為數量場的等值面的法線方向為

所以gradu恒與

u的等值面垂直.由于所以沿梯度方向u(M)是增大的，即梯度指向函數u(M)增大的一方．梯度gradu方向與等值面法線重合，指向函數u(M)增大的一方，大小是方向的方向導數2/3/202328華北科技學院基礎部

梯度、方向導數與等值面

數量場在某個方向上的方向導數，是梯度在該方向上的投影．2/3/202329華北科技學院基礎部

三維高度場的梯度與過該點的等高線垂直；

數值等于該點位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向2/3/202330華北科技學院基礎部

與過該點的等位線垂直；

數值等于該點的最大方向導數；電位場的梯度

指向電位增加的方向．2/3/202331華北科技學院基礎部梯度可寫作

引進向量算子

注通常稱為哈密頓(Hamilton)算符(或算子),讀作“Nabla”.既具有矢量性質，又具有微分性質

它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘.

注意：2/3/202332華北科技學院基礎部

設c為一常數，u(M)和v(M)為數量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立:特別地，2/3/202333華北科技學院基礎部2/3/202334華北科技學院基礎部2/3/202335華北科技學院基礎部證：

因為

例6設標量函數r是動點M(x,y,z)的矢徑的模，即，證明：2/3/202336華北科技學院基礎部所以2/3/202337華北科技學院基礎部例7求常數a,b,c之值，使函數在點M(1,2,-1)處沿平行于z軸方向上的方向導數取得最大值32.

解：由題意知梯度方向平行于z軸，且其模等于32，則有解得：a=3,b=12,c=-4;或a=-3,b=-12,c=4.2/3/202338華北科技學院基礎部解：

例8