應用數理統計假設檢驗重慶大學數統學院李寒宇hyli@24078395113594230969《假設檢驗》主要內容一、假設檢驗的基本概念二、參數假設檢驗三、非參數假設檢驗四、應用案例假設檢驗的應用女生——瑜伽！男生？喝酒？！你想談戀愛嗎？你想和自己心儀的人在一起嗎？健美戀愛我和你性格不和！我和你沒猿糞！一、假設檢驗的基本概念1、基本概念：假設檢驗（hypothesistesting）是統計推斷的一個重要組成部分，是一種利用樣本信息對總體的某種假設進行判斷的方法。它分為參數假設檢驗與非參數假設檢驗，對總體分布中未知參數的假設檢驗稱為參數假設檢驗(parameterhypothesistesting)，對總體分布函數形式或總體分布性質的假設檢驗稱為非參數假設檢驗(non-parametericalhypothesistesting)2、假設檢驗過程及檢驗問題：2、假設檢驗過程及檢驗問題：例1．某糖廠用自動打包機包裝糖，每包重量為X,且X～N(100,0.05

)

，某日開工后隨機檢測9包重量（單位：kg）如下：

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，

99.7，99.5，102.1，100.5

問這一天打包機工作是否正常？即每包平均重量是否為100kg？解：因工藝條件沒有變化，故可認為當天每包糖重量X～N(μ,0.05

)

，即判斷：μ是否等于μ0＝100，先假設：μ＝μ0

，并記為：H0:μ＝μ0

，稱為原假設；當原假設H0不成立時，即：μ≠μ0

記：H1:μ≠μ0

，稱為備擇假設；即:(1)首先提出原假設和備擇假設：

H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

即:(2)尋找某個數c，當時就拒絕H0

，否則就認為H0成立。又因：是μ的一致最小方差無偏估計量，則：

應很小，故當H0成立時，也應很小，否則認為H0不成立。

稱c為臨界值，稱為拒絕域。假設檢驗的兩類錯誤真實情況H0成立H0不成立假設檢驗結果認為H0不成立，拒絕H0犯第Ⅰ類錯誤(棄真錯誤)判斷正確認為H0成立，接受H0判斷正確犯第Ⅱ類錯誤(納偽錯誤)記：

則：

所以：故H0的拒絕域為：針對本題，因：故：即：樣本不在拒絕域中，故不能拒絕H0，認為H0成立。故認為：3、假設檢驗的基本步驟：1）提出原假設H0與備擇假設H1

；2）分析并提出原假設H0的拒絕（否定）域的形式K0；3）確定拒絕域K0

；4）作出是否拒絕H0的判斷。二、參數假設檢驗1、單個正態總體參數的假設檢驗：設X1,…,Xn是來自總體X～N(μ,σ2)的樣本.1)μ的假設檢驗關于μ的各種統計假設形式：①H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

；②H0:μ≤μ0

；H1:μ＞μ0

；③H0:μ≥μ0

；H1:μ＜μ0

；對形式①：選擇拒絕域形式為：則令：當σ2已知時，臨界值為：當σ2未知時，在H0成立下：臨界值為：對形式②：選擇拒絕域形式為：當σ2已知時，臨界值為：當σ2未知時，臨界值為：對形式③：選擇拒絕域形式為：當σ2已知時，臨界值為：當σ2未知時，臨界值為：例1、正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量X～N(4.55,0.1082)。現在測試了5爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果方差沒有改變，問總體的均值有無顯著變化？（α=0.05）解：1）提出假設：

H0:μ＝μ0(=4.55)；H1:μ≠μ0

；2）分析拒絕域形式為：3）計算：μ0=4.55u0.975＝1.96σ＝0.108即樣本值在拒絕域內。4）判斷：拒絕H0，即認為鐵水含碳量有顯著變化。例2、一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h。現抽測25件，得其均值為，S

2＝100,已知該種元件壽命X～N(μ,σ2),問這批元件是否合格(α=0.05)？解：1）提出統計假設：

H0:μ＜μ0(=1000)；H1:μ≥μ0

；2）因σ2未知,提出拒絕域形式為：3）計算：4）判斷：接受H0，認為產品不合格。2)σ2的假設檢驗（μ未知）關于σ2的各種統計假設形式：①H0:σ2＝σ02

；H1:σ2≠σ02

；②H0:σ2≤σ02

；H1:σ2＞

σ02；③H0:σ2≥σ02

；H1:σ2＜σ02

；拒絕域：拒絕域：拒絕域：①因：S

2是總體參數σ2的無偏估計量，故存在臨界值c1＜c2，有:

故:在H0成立時其拒絕域為：又因：在H0成立時：令：故：例3、正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量X～N(μ,0.1082)。現在測試了5爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果總體均值沒有改變，問總體方差有無顯著變化？（α=0.05）解：1）提出統計假設：2）提出拒絕域形式：3）計算：4）判斷：接受H0，總體方差無顯著變化。H0:σ2＝σ02(=0.1082);H1:σ2≠σ02;例4、已知某廠生產的維尼綸纖度X～N(μ,0.0482),某日抽測8根纖維，其纖度分別為1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39，問這天生產的維尼綸纖度的方差是否明顯變大了(α=0.05)？解：1）提出統計假設：2）提出拒絕域形式：3）計算：4）判斷：拒絕H0，總體方差明顯變大。H0:σ2≤σ02(=0.0482);H1:σ2＞σ02;2、兩個正態總體參數的假設檢驗

假設總體,(X1,…,Xn)是X

的樣本，總體,(Y1,…,Yn)是Y的樣本。1）對兩總體均值的檢驗關于μ1,μ2關系的各種統計假設形式及拒絕域如下表所示：其中：2）對兩總體方差的檢驗例5、從甲、乙兩煤礦各取若干個樣品，得其含灰率（%）為：甲：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4，乙：18.2，16.9，20.2，16.7假定含灰率均服從正態分布且σ12=σ22

。問甲,乙兩煤礦含灰率有無顯著差異(α=0.05)？解：提出統計假設：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒絕域：計算得：有：即樣本不在拒絕域內，接受H0，故：含灰率無顯著差異。例6、在漂白工藝中，要考察溫度對某種針織品斷裂強力的影響，在70oC與80oC下分別重復了8次試驗，測得斷裂強力數據如下所示：70oC20.518.519.520.921.519.521.021.280oC17.720.320.018.819.0問：在這兩種溫度下，斷裂強力有無顯著差異？(α=0.05)假定斷裂強力服從正態分布.解：m=n=8,1)首先對兩總體的方差進行齊性檢驗：

提出假設：

H0:σ12＝σ22；

H1:σ12≠σ22;拒絕域形式：又計算得：即：0.2638<F

=1.32<3.79接受H0，認為兩個正態總體的方差相等。2）提出假設：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒絕域為：計算得：即：拒絕H0，認為斷裂強力有顯著差異.瑜伽＝喝酒？三個月瑜伽三兩白酒一年瑜伽一瓶白酒兩年瑜伽兩瓶白酒五年瑜伽五瓶白酒你和TA有緣分嗎？你某年進入重慶大學TA某年進入重慶大學就讀某個專業就讀某個專業選修了數理統計選修了數理統計什么？還性格不合？青春年華風華正茂三、非參數假設檢驗1、總體分布函數的假設檢驗提出假設：

H0:F

(x)＝F0(x);H1:F(x)≠F0(x);拒絕域：

其中：

或者：

F0(x)已知;

F0(x)未知;

r為未知參數的個數。

例7、從某高校99級本科生中隨機抽取了60名學生，其英語結業考試成績見下表：試問99級本科生的英語結業成績是否符合正態分布？（α=0.10）937583939185848277767795948991888683968179977875676968838481756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355解：設X

表示99級任意一位本科生的英語結業成績，分布函數為F(x)，1)提出統計假設為：2)拒絕域為：3)將X

的取值劃分為：4)在H0成立的條件下，計算參數μ,σ2的極大似然估計值。

通過計算得：5)又因：在H0成立的條件下，Ai

(i=1,2,3,4)的概率理論估計值為：樣本值計算表Aivi1{X＜70}80.14928.9520.10122{70≤X＜80}200.350821.0480.05223{80≤X＜90}210.350821.0480.00014{90≤X}110.14928.9520.4685∑601.0000600.62206)故：接受H0，認為英語結業成績符合正態分布。例8(離散型)：按測量儀器的分度讀數時,通常需要大致估計讀數的最后數字,理論上最后這個數字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任何一個，并且每個數字的出現是等可能的，下表中列出200次讀數的最后數字的統計分布。試檢驗這些數字是否服從均勻分布？(α=0.05)數字統計表數字xi012345頻數vi351615171730數字xi6789頻數vi11161924解：用X表示讀出的最后數字，P{X＝i}＝pi,i＝0,1,…,9，如果數字是服從均勻分布，則pi＝1/10，i＝0,1,…,9。故假設檢驗為：H0:pi＝1/10計算χ2統計量的觀察值，得：查表得<χ2=24.9故拒絕H0，認為最后的讀數不均勻。拒絕域：

提出統計假設：

H0:X

與Y

獨立;H1:X

與Y

不獨立2、獨立性假設檢驗在χ2檢驗法中，上述統計假設可轉化為：拒絕域：其中：r

×s列聯表XYvi.b1b2…bsa1v11v12…v1