北師大版高中數學教材

使用中的一些問題的思考——北師大版高中數學教材編寫組一.順序問題1.順序問題

從歷史和現狀來看,數學知識的起源有著諸多不同的背景,通常彼此無關.但一旦進入數學領域,這些知識就會交融在一起,使得數學學科成為一個有機的整體.教材的內容結構把整個數學納入一個完整的公理體系,是不可能實現的(哥德爾不完全定理).而對數學中各學科體系的安排,其邏輯順序是有很大的任意性的,不同的學者會有不同的安排.例如,著名分析學家R.柯朗在《微積分與數學分析引論》中,先講授定積分,后講授導數、微分.著名幾何學家F.克萊因在《高觀點下的初等數學》中主張先講對數,后講指數.事實上,到底按何種順序講授數學,從來就沒有統一的意見.更談不上最好、最優的順序.只要在邏輯上不出現問題,教學順序有很大的任意性.教師們通常是根據自己學生的具體情況,以及自己的對數學內容的理解來處理的.看一看我國著名大學數學系教師編寫的數學教材,即使是基礎課的教材——數學分析、高等代數、解析幾何——幾乎沒有兩種同類教材是順序完全相同的.更何況研究生所用的國內外的教材.過去,我國只有一套高中數學教材,因此,只展現一種教學順序.這是不正常的.《新課標》實施后,允許教師采用不同的教學順序來處理教材.這無疑是一個進步.目前,在我國各地已出現了不同的教學順序.有的老師還有所創新,這是很可喜的現象.現在教師們會思考：如果讓我來安排高中三年的數學課程,我會以一個什么順序來設置.這對教師整體考慮中學數學內容和其中的相互關系有著極大的好處.有利于教師業務水平的提高,有利于教師的成長.我們認為任何一種教學順序都有利有弊.不存在最好的順序.理想的狀況是,教師應該根據你所教的學生的具體情況,結合自己的特點,給出最符合自己的教學順序.教師開始思考整個高中數學內容的順序安排,這種可喜的現象是這次課程改革的成果之一.2教學順序改變引起的一些思考當教學順序有所改變后,教師自然會考慮某些內容的引進和如何講授的問題.舉一個例子.如沒有講授任意角的三角函數,能講直線的斜率嗎？換句話說,除了我們過去學過的辦法,數學上能有別的方法嗎？這個問題將迫使我們思考斜率的本質、它在表示直線時的作用.學會這樣的思考我們講授的數學內容(而不是僅僅教授書本上的知識),對老師的業務成長有很大的好處.又例如,一元二次不等式,一元二次函數緊密相關,通常也有兩種講法.一種處理方法是：和一元二次函數放在一起講.另一種處理辦法是：突出不等式的性質,把它作為不等式的一部分內容來講授.兩種講法各有特點.考慮到各模塊的內容、學時等原因,《課標》采用的是后一種方法.至于個別老師把一元二次不等式和集合放在一起講,就不合適了.因為二者討論的完全是不同的問題.二.對于新增內容的處理方式1.二分法的意義和價值《普通高中數學課程標準》中明確了這樣的理念：高中數學課程應提供基本內容的實際背景,反映數學的應用價值,開展“數學建模”的學習活動,設立體現數學某些重要應用的專題課程.高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系,促進學生逐步形成和發展數學應用意識,提高實踐能力.《必修一》中單獨設立了“函數應用”一章,力圖在理念、意義、方法和能力上為高中階段的進一步學習奠定基礎.從兩個方面展開函數應用,突出用數學解決問題.教材里呈現的函數應用有兩個方面,一是函數與其他數學知識的有機聯系,這里集中研究的是從函數特征判定方程實數解的存在性及近似求方程解；二是函數與實際問題的聯系,用函數解決實際問題.全章內容分三個層次逐漸展開.首先是函數用于方程是求解,然后是實際問題中的函數應用,最后是數學建模.二分法的教學目的：①幫助我們思考,是否能通過函數的性質求解方程；②它引入了“近似”的概念,在實際中,離不開近似,近似孕育著極限的思想,它可以達到我們要求的任何精度.2.立體幾何的變動與以往高中數學課程中的立體幾何內容相比,《標準》中立體幾何內容的變化主要表現在幾何定位的變化,幾何內容處理方式的變化以及幾何內容的分層設計等方面.改變以往一直以綜合幾何作為主要教學模式的狀況,在課程設計中滲透了實驗幾何與現代幾何的內容與方法.①幾何定位：《標準》中立體幾何定位于培養和發展學生把握圖形的能力、空間想象與幾何直覺的能力、邏輯推理能力等.②內容處理方式：《標準》按照從整體到局部的方式展開幾何內容,并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程.特別重視長方體這一模型的應用,通過長方體讓學生在直觀感知的基礎上認識空間中一般點、線、面之間的關系.③立體幾何內容分層設計：在必修課程中,主要是通過直觀感知、操作確認,獲得幾何圖形的性質,并通過簡單的推理發現、論證一些幾何性質.對于進一步的論證與度量則放在選修系列2中用向量處理.④研究空間圖形的基本位置關系,不是按主體分類（如線與面是一對主體）,而是按位置關系分類,即平行、垂直,突出了研究學習的主題。3.函數性質的處理課標指出:通過已學過的函數特別是二次函數,理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義；結合具體函數,了解奇偶性的含義.反函數的處理,只要求以具體函數為例進行解釋和直觀理解,例如,可通過比較同底的指數函數和對數函數,說明指數函數y=ax和對數函數y=logax互為反函數(a>0,a≠1).不要求一般地討論形式化的反函數定義,也不要求求已知函數的反函數.教材處理:突出函數的單調性和周期性,奇偶性也是我們在中學的要研究的函數性質,但它不是最基本的性質.因而沒有把奇偶性專門列出一節,而是把它和冪函數放在了一起.4.依據課標要求,把握教學的深度例如:①將集合作為一種語言來學習;②對于“函數”這一高中數學的核心概念,應該做到：使學生了解生活中處處都存在函數關系,親自經歷構建函數模型的過程,體會函數模型的廣泛應用.幫助學生在頭腦中“留住一批函數”的模型.突出重點,淡化枝微末節.③三角函數,使學生體會三角函數是刻畫周期現象的重要模型.課標只要求：借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.在三角函數的教學中,突出單位圓的作用.利用單位圓,從幾何上,來看三角函數的性質,如函數的定義域、值域、周期性、函數的正負、單調區間、最大(小)值等等.重視單位圓和函數的圖像.淡化三角函數線的作用.④在導數內容中,突出對平均變化率到瞬時變化率的過渡.在計算時,教材先將平均變化率化簡,使其不出現零比零的形式.避免不必要的困難.⑤在計數原理中,突出兩個基本的計數原理,重視數學模型的作用.而不是硬套排列、組合公式.在二項式定理和組合公式的證明中,突出其思想,而不是形式地驗證.⑥螺旋式上升與一步到位對單調性認識、空間線面位置關系、概率等知識及坐標方