第九章相關與回歸分析

學習目標理解相關關系的含義及種類熟練掌握直線相關關系的測定方法熟練掌握一元線性回歸分析的方法9.1相關關系的概念和種類

一、相關關系的概念一切客觀事物都是相互聯系相互制約的。客觀現象間的互相聯系，可以通過一定的數量關系反映出來。而這種數量關系可以分為兩種類型，即函數關系和相關關系。函數關系的概念：函數關系是指現象之間有一種嚴格的確定性的依存關系。表現為某一現象發生變化另一現象也隨之發生變化，而且有確定的值與之相對應。例如，銀行的1年期存款利率為年息1.98％，存入的本金用x表示，到期本息用y表示，則y=x+1.98%x（不考慮利息稅）；再如，某種股票的成交額Y與該股票的成交量X、成交價格P之間的關系可以用Y=PX來表示，這都是函數關系。

相關關系的概念：

相關關系是指客觀現象之間存在的非確定的相互依存關系。也就是說，當一個現象發生數量變化時，另一個現象也會發生數量變化，但這種數量關系是不確定的，不是唯一的。例如，居民收入水平與消費品需求量之間，居民收入水平提高，人們對消費品的需求量也相應提高，但這種提高不是嚴格的一一對應關系，人們對消費品需求的多少不僅受到收入水平的影響，還要受到許多其它因素（如消費習慣、消費預期高低等）的影響。相關關系的特點：由此可見，相關關系具有如下兩個特點：現象之間確實存在著數量上的依存關系。現象之間數量上的關系不是確定的。

二、相關關系的種類按照相關的方向不同分為：正相關和負相關。按照相關形式不同分為：線性相關和非線性相關。按相關程度分為：完全相關、不完全相關和不相關。按研究的變量（或因素）的多少分為：單相關、復相關和偏相關。

三、相關分析的主要內容1確定現象之間有無關系。這是相關與回歸分析的起點。只有存在相互依存關系，才有必要進行進一步的分析。2確定相關關系的表現形式。只有確定了現象之間相互關系的具體表現形式，才能運用相應的相關分析方法去解決。如果把曲線相關誤認為是直線相關，按直線相關來分析，便會出現認識上的偏差，導致錯誤的結論。3測定相關關系的密切程度和方向。現象之間的相關關系是一種不確定的數量關系，因此常常給人的感覺是不明確的。相關分析就是要從這種不確定、不明確的數量關系中，判斷相關變量之間的數量上的依存程度和方向。【請思考】1你能列舉一些函數關系、相關關系的實例嗎？2由于金融危機的影響，美國居民的人居收入下降，導致購買力也下降，人均收入與購買力是負相關嗎？3相關分析中的兩個變量是對等的嗎？9.2相關關系的判斷

定性分析是依據研究者的理論知識和實踐經驗，對客觀現象之間是否存在相關關系，以及何種關系作出判斷。定量分析在定性分析的基礎上，通過編制相關表、繪制相關圖、計算相關系數等方法，來判斷現象之間相關的方向、形態及密切程度。相關表

相關表就是把被研究現象的觀察值對應排列所形成的統計表格，如某地區工業勞動者人數和工業增加值的歷史資料對應排列所形成的表

9家企業的月產量

和單位產品成本相關表

（表9-1）序號月產量（千件）x單位成本（元）y9513284672.13.24.15.46.36.87.68.69.7918086717263585042相關表中的兩列數據叫相關數列，它有別于變量數量。相關表中的數值是變量的觀測值，是實際資料，是樣本數據，它是判別相關關系的基礎。在相關表中，如果觀測值的分布呈現一定的規律性，則表明現象之間存在相關關系。從上表中可看出月產量和單位成本之間存在著負相關關系。

相關圖

相關圖也叫相關散點圖，它是根據相關表中的觀測數據在坐標圖中所繪制的點狀圖形。用x和y分別代表兩個變量，把相關表中的對應觀測值一一描繪在坐標圖中，則形成了反映相關點分布狀況的圖形，據此就可以觀測現象間相關關系的情況

九家企業月產量與單位成本相關圖9家企業的月產量和單位成本散點圖020406080100051015月產量（千件）單位陳本（元）系列1直線相關條件下的相關系數1相關系數的含義：相關系數是指直線相關條件下，說明兩現象之間相關關系密切程度的統計分析指標，通常用r表示相關系數。理論公式為：直線相關條件下的相關系數相關系數的計算公式：

或者：依相關關系的定義公式可知相關系數的含義如下：r的取值范圍為-1≤r≤1。因為協方差的絕對值最小為0，最大為和的乘積。r的絕對值越接近于1，表明相關關系越密切；越接近于0，表明相關關系越不密切。r=+1或r=-1，表明兩現象完全相關。r=0,表明兩變量無直線相關關系。r﹥0,表明現象呈正直線相關；r﹤0，表明現象呈負直線相關。實際中︱r︱﹤0.3,視為無相關；0.3≤︱r︱＜0.5,為低度相關；0.5≤︱r︱＜0.8,為顯著相關；︱r︱≥0.8,一般稱為高度相關。相關系數(取值及其意義)-1.0+1.00-0.5+0.5無線性相關完全正相關負相關程度增加r正相關程度增加完全負相關相關系數的計算：例：由（表9-1）的資料計算如下：=-0.9886【請思考】1不對現象進行定性或定量分析，直接用上述公式計算兩者關系的密切程度行嗎？2如果相關系數等于0，能否認為兩變量無相關關系？9.3直線回歸分析

一.回歸分析的概念、特點及與相關分析的關系1.回歸分析的概念回歸分析是對具有相關關系的變量擬合數學方程，通過一個或一些變量的變化解釋另一變量變化的方法。

2.直線回歸分析的特點

與直線相關分析的特點相比，簡單直線回歸分析有以下特點。

1）兩個變量之間不是對等關系，一個是自變量，一個是因變量，在進行回歸分析時，首先加以確定。2）.相關系數是個抽象的系數，而回歸方程是利用自變量的給定值來推算因變量值，它反映的是變量之間的具體的變動關系。3）.有些現象因果關系不明顯，x、y兩個變量可以互換，從方程式看，存在著兩個回歸方程：一個是以x為自變量，y為因變量，求出的回歸方程稱“y倚x回歸方程”；另一個是以y為自變量，x為因變量，求出的回歸方程稱“x倚y回歸方程”。畫出圖來，是兩條斜率不同的回歸直線。

4）.直線回歸方程中的回歸系數也有正負號，回歸系數為正號，表示兩個變量之間的變動方向相同，為負號則表示兩變量之間的變動方向相反。5）.回歸分析中的自變量是給定數值，不是隨機的，而因變量是隨機的，代入給定的自變量值，求出因變量的估計值，這個估計值是許多可能數值的平均值，存在著估計標準誤差。

3相關分析與回歸分析的關系

相關分析是回歸分析的基礎和前提，回歸分析則是相關分析的深入和繼續。相關分析需要依靠回歸分析來表現變量之間數量相關的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關分析來表現變量之間數量變化的相關程度。只有當變量之間存在高度相關時，進行回歸分析尋求其相關的具體形式才有意義。

二.一元線性回歸模型

的建立與檢測1一元線性回歸模型的概念一元線性回歸模型又稱簡單直線回歸方程，它是根據兩個變量的成對數據，配合直線方程式，再根據自變量的變動值，來推算因變量的估計值的一種統計分析方法。建立的數學模型為：式中，a表示直線在y軸上的截距，代表直線的起點值；b表示直線的斜率，又稱為y對x的回歸系數，它的實際意義是說明x每變化一個單位時，y的平均變動值，即：若x前面是“+”號，則說明x每增加一個單位時，y就平均增加b個單位；若x前面是“-”號，則說明x每增加一個單位時，y就平均減少b個單位。

2.構建回歸模型應具備的條件構建一元線性回歸模型應具備以下幾個條件：現象間確實存在數量上的相互依存關系。現象間存在直線相關關系。具備一定數量的變量觀測值。

3直線回歸方程中

待定參數的求法

用最小平方法解決待定參數a和b的值，最小平方法又稱最小二乘法，它是運用數學上微分求極限的原理，對a、b求偏導，令其等于零。見如下數學式：：解方程組得（1）自變量為一般變量時擬合一元線性回歸模型例：由（表9-2）中的資料計算如下：(2)時間為自變量時的簡單線性回歸方程

若自變量為時間，則用t表示，此時直線方程為：由最小平方原理可得：若令則：那么，怎樣使得呢？如年號是奇數，則設中間一年為0，上下年份分別設為-1、-2、-3等和+1、+2、+3等。若年號為偶數，則設中間兩年為+1、-1，其他依次為+3、+5等和-3、-5等。4在回歸分析中應注意的問題在定性分析的基礎上進行定量分析，是保證正確運用回歸分析的必要條件。也就是說，在確定哪個變量作自變量，哪個變量作因變量之前，必須對所研究的問題有充分正確的認識。在回歸方程中，回歸系數的絕對值只能表示自變量與因變量之間的聯系程度，以及兩變量間的變動比例。因為其值大小直接取決于變量所用計算單位的大小。在進行回歸分析時，為了使推算和預測更準確，應將相關系數、回歸系數和估計標準誤差結合使用。要具體問題具體分析。回歸方程是根據資料計算出來的，是一種經驗數據，如條件發生變化，則推算和預測會不準確。因此，不能機械照搬，以免造成失誤。【請思考】1.相關系數和回歸系數一定同正負嗎？2回歸分析中的兩變量關系是對等的嗎？能否由x推算y?3身高和體重是互為因果關系的變量，設哪一個為x?哪一個為y?4你能說出相關系數的含義嗎？三估計標準誤差估計標準誤差是用來說明回歸直線方程代表性大小的統計分析指標