1、常數項級數收斂級數的基本性質級數收斂的必要條件:習題課常數項級數審斂一、主要內容常數項級數審斂法正項級數任意項級數1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;一般項級數4.絕對收斂2、正項級數及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無窮小特別（等價無窮?。?、交錯級數及其審斂法4、任意項級數及其審斂法Leibniz定理絕對收斂，條件收斂附：正項級數與任意項級數審斂程序發散NYYNN改用它法Y收斂收斂發散收斂發散N發散YY收斂N用檢比法用比較法用L—準則或考察部分和NNY條件收斂例1求極限解考察正項級數由檢比法收斂由級數收斂的必要條件得二、典型例題例2設試證發散證不妨設a>0

由極限保號性知由于故由比較法的極限形式得發散例3若都發散則A必發散B必發散C必發散D以上說法都不對例3解根據級數收斂的必要條件，原級數發散．解從而有原級數收斂；原級數發散；原級數也發散．例4解即原級數非絕對收斂．由萊布尼茨定理：所以此交錯級數收斂，故原級數是條件收斂．都收斂且例5設試證收斂證由知因都收斂故正項級數收斂再由比較審斂法知正項級數收斂而即可表為兩個收斂級數之和故收斂例6設且若收斂則也收斂證由題設知而收斂由比較法得收斂Cauchy積分審斂法設單調減少則與同斂散例7證由f(x)單調減少知即故與同斂散例8設是單調增加且有界的正數數列試證明收斂證記則且而正項級數的部分和又單調增加且有界故由單調有界原理知存在即收斂進而收斂由比較法得收斂設正數數列單調減少，級數發散考察的斂散性證記由單調減少故由單調有界原理知存在且若由Leibniz審斂法得交錯級數收斂與題設矛盾由檢根法知收斂例9已知證明⑴⑵⑶由知對有證⑴例10而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發散故由比較法知發散⑶如但討論的斂散性解對級數收斂絕對收斂發散發散分情況說明例11級數成為收斂發散級數成為絕對收斂條件收斂例12對的值，研究一般項為的級數的斂散性解由于當n充分大時，定號故級數從某一項以后可視為交錯級數總有級數發散非增地趨于0由Leibniz審斂法知收斂但而發散故由比較法的極限形式發散條件收斂級數顯然收斂正項級數由級數收斂的必要條件要使收斂必須但在一般項趨于0的級數中為什么有的收斂有的卻發散，因此從原則上講，比較法是基礎，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實質，使用起來也更有效的階問題的實質是級數收斂與否取決于關于常數項級數審斂和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實質是把所論級數與某一幾何級數作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失效”的情況。這一結論將許多級數的斂散性判定問題歸結為正項級數的斂散性判定注①比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項級數方可使用的一種估計②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準則也是充分條件而非必要條件④通項中含