第八章配方試驗設計配方試驗設計又稱混料試驗設計，其目的是合理地選擇少量試驗點，通過一些不同配比的試驗，得到指標與成分百分比之間的回歸方程，并進一步探討組成與指標之間的內在規律，方法主要有：單純形格子點設計、單純形重心設計、配方均勻設計。8.1配方試驗設計約束條件混料約束條件可以表示為：1如果產品含有三種成分，其比例分別為x1、x2、x3，則試驗指標y與x1、x2、x3之間的三元二次回歸方程可以表示為：8.2單純形配方設計8.2.1單純形的概念回歸方程沒有了常數項和二次項，只有一次項和交互項。第八章配方試驗設計2單純形是指在一定空間中最簡單的圖形，它是n維空間中n+1個點的集合所形成的最簡單封閉幾何圖形，如二維空間的單純形為一個正三角形，三維空間的單純形是一個正四面體，n維空間的單純形有n+1個頂點。若單純形中任意兩個頂點的距離都相等，則稱這種單純形為正規單純形。例如組分數m=3的配方試驗，各組分百分比xj(j=1,2,3)只能取在二維正規單純形——等邊三角形上：A(1,0,0)x1B(0,1,0)x2C(0,0,1)x3FA′B′C′38.2單純形配方設計等邊三角形的高為1，三角形內任一點F到三邊的距離之和為1。三角形的三個頂點分別代表單一組分的混料，三條邊上的點表示對應兩頂點純組分的二元混合物，FA′代表F點的x1，FB′和FC′分別代表F點的x2、x3。8.2.2單純形配方設計的回歸模型m種組分的d次多項式回歸模型如下：①一次式（d＝1）48.2單純形配方設計A(1,0,0)x1B(0,1,0)x2C(0,0,1)x3FA′B′C′②二次式（d＝2）8.2.3單純形格子點設計1.單純形格子點的表示{m，d}表示正規單純形頂點數為m（也就是組分數為m），階數為d（即每邊的等分數）的格子點集。58.2單純形配方設計比如三頂點正規單純形的四階格子點集記為{3，4}。{m，d}格子點集中共有個點，正好與回歸方程中待估計的回歸系數的個數相等，所以單純形格子點設計是飽和設計。常用單純形格子點設計的試驗次數與m、d之間的關系見書P146表9－1。2.單純形格子點設計試驗方案的確定（1）無約束單純形格子點設計無約束配方設計中，每種組分xj可以在0~1范圍內變化，其取值與階數d有關，為1/d的倍數，即：68.2單純形配方設計無約束單純形格子點設計自然變量與規范變量相等，即xj=zj，不必區分規范變量與自然變量。單純形格子點設計表可參考書P228附錄9。（2）有約束單純形格子點設計混料組分除了受下式約束外：還受其他約束條件限制：78.2單純形配方設計有上下界約束的配方試驗其試驗空間是正規單純形內的一個凸幾何體，如m=3的有上下界約束的混料試驗區間如下：88.2單純形配方設計z2a3x1x2x3z1z3a1a2在選用單純形格子點設計前，應將自然變量轉化為規范變量：98.2單純形配方設計這里只介紹有下界約束的單純形格子點設計，因為此時試驗范圍為原正規單純形內的一個規則單純形（如右圖所示），所以仍可使用單純形設計。aj為各自然變量對應的最小值（下界）：3.單純形格子點設計基本步驟(1)明確試驗指標，確定混料組分(2)選擇單純形格子點設計表，進行試驗設計根據配方試驗中的組分數m和所確定的階數d，選擇相應的{m，d}單純形格子點設計表。設計表中的數值為規范變量zj，然后據此計算出自然變量xj的取值，并列出試驗方案。(3)回歸方程的建立根據單純形格子點設計表選擇相應的回歸模型，直接將每號試驗的編碼及試驗結果代入對應的回歸模型，就可求出各回歸系數。108.2單純形配方設計(4)最優配方的確定根據回歸方程以及有關約束條件，通過Excel中的“規劃求解”工具，可以預測最佳的試驗指標值及其對應zj的最佳取值，將其轉換成自然變量，就可得到最優配方。(5)回歸方程的回代如果各組分xj無約束，則不需要轉換，如果各組分xj有下界約束，需將y與zj的回歸方程轉換成y與xj的回歸方程。具體例子見書P148~149例9－1。118.2單純形配方設計P148~149例9－1{3，2}單純形格子點設計方案及試驗結果：試驗號z1z2z3評分y1234561001/21/200101/201/200101/21/26.55.57.58.56.85.4128.2單純形配方設計由1＃試驗得：由2＃試驗得：由3＃試驗得：由4＃試驗得：由5＃試驗得：由6＃試驗得：138.2單純形配方設計通過Excel規劃求解可知z1=0.55，z2=0.45，z3=0時y取得最大值8.525，即x1=0.495，x2=0.405，x3=0.1時y取得最大值8.525。8.2.4單純形重心設計1、單純形重心設計試驗方案的確定單純形重心設計就是將試驗點安排在單純形的重心上。148.2單純形配方設計m維的單純形重心設計共有2m-1個重心，即試驗點數為2m-1個。單純形重心設計方案的確定可以直接參考單純形重心設計表（見書P228~229附錄10）。具體例子見書P150~151例9－2。15試驗號x1x2x3x4y試驗號x1x2x3x4y1234567810000.50.50.5001000.5000.5001000.500.50001000.501.825.428.638.54.93.123.73.49101112131415000.330.330.3300.250.500.330.3300.330.2500.50.3300.330.330.250.50.500.330.330.330.2537.410.722.02.42.511.10.88.2單純形配方設計將上表中的15個試驗數據代入上式即可得到相應的偏回歸系數，從而得到如下的回歸方程：168.2單純形配方設計8.3配方均勻設計單純形配方設計雖然簡單，但是試驗點在試驗范圍內的分布并不十分均勻，而且試驗邊界上的試驗點過多，為了克服上述缺點，可以運用配方均勻設計。配方均勻設計表可參考書P229~239附錄11。配方均勻設計表規定了每號試驗中每種組分的百分比，這些試驗點均勻地分散在試驗范圍內，用配方均勻設計表安排好試驗后，獲得試驗指標yi的值。由于配方均勻設計的試驗點分布比較均勻，所以試驗結果的分析可用直觀分析法直接選用其中最好的試驗點作為最優配方。也可利用“試驗數據的回歸分析”章節的知識建立回歸方程，然后利用Excel“規劃求解”工具由回歸方程確定最優178.2單純形配方設計配方及對應的指標值。注意：利用回歸分析法分析配方均勻設計結果，在選擇配方均勻設計表時，試驗次數應多于回歸方程系數的個數。具體例子見書P153例9－3。188.3配方均勻設計試驗號x1x2y試驗號x1x2y123456780.8170.6840.5920.5170.4520.3940.3420.2930.0550.1790.3400.0480.2010.3840.5920.1188.5089.4649.9359.40010.6809.7489.69810.23891011121314150.2470.2040.1630.1240.0870.0510.0170.3260.5570.8090.2040.4560.7270.0339.8099.7328.9339.9719.8818.89210.139三元二次回歸方程應該如下：通過變量代換，可利用多元線性回歸方程的建立方式得到具體的回歸方程。也可以利用Excel中回歸工具建立回歸方程，利用規劃求解得到最優化的試驗方案。198.3配方均勻設計利用回歸工具建立回歸方程：20利用Excel建立回歸方程21利用Excel建立回歸方程22利用Excel建立回歸方程23利用Excel建立回歸方程24利用Excel建立回歸方程25利用Excel建立回歸方程26利用Excel建立回歸方程回歸方程高度顯著，其R＝0.90027利用Excel建立回歸方程利用Excel規劃求解工具尋找最優化的試驗方案：28利用Excel規劃求解尋找最優化方案29利用Excel規劃求解尋找最優化方案30利用Excel規劃求解尋找最優化方案31利用Excel規劃求解尋找最優化方案32利用Excel規劃求解尋找最優化方案33利