PAGEPAGE7平面與平面平行的性質（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中過BD1作一平面,與正方體的各面相交,則所得交線構成的平面圖形為()A.平行四邊形B.菱形但不是正方形C.矩形D.正六邊形2.a,b是兩條異面直線,A是不在a,b上的點,則下列結論成立的是()A.過A有且只有一個平面平行于a,bB.過A至少有一個平面平行于a,bC.過A有無數個平面平行于a,bD.過A且平行于a,b的平面可能不存在3.過平面α外的直線l,作一組平面與α相交,如果所得的交線為a,b,c,…,則這些交線的位置關系為()A.都平行B.都相交且一定交于同一點C.都相交但不一定交于同一點D.都平行或都交于同一點4.若平面α∥平面β,直線a∥平面α,點B∈β,則在平面β內與過B點的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線5.(2013·濰坊高一檢測)四棱錐P-ABCD的底面四邊形的對邊不平行,用平面α去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面α()A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無數多個二、填空題(每小題8分,共24分)6.已知平面α∥β∥γ,兩條直線l,m分別與平面α,β,γ相交于A,B,C和D,E,F.已知AB=6,,則AC=.7.如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,DD1,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內部運動,則點M滿足時,有MN∥平面B1BDD1.8.如圖所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分別在α,β內,線段AA′,BB′,CC′共點于O,O在平面α和平面β之間,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA′=3∶2,則△A′B′C′的面積為.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖所示,P是△ABC所在平面外一點,平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若,求的值.10.如圖,設P為長方形ABCD所在平面外一點,M,N分別為AB,PD上的點,且,求證：直線MN∥平面PBC.11.(能力挑戰題)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N,G分別是AA1CB,CC1的中點,求證：(1)MN∥B1D1.(2)AC1∥平面EB1D1.(3)平面EB1D1∥平面BDG.答案解析1.【解析】選A.設截面為α,若α與AA1相交于E.α∩平面ABB1A1=BE,又α與平面CDD1C1有公共點D1,故α與平面CDD1C1相交,設交線為D1F,因為平面ABB1A1∥平面CDD1C1,所以BE∥D1F.同理可得ED1∥BF.故截面形狀為平行四邊形(當平面【舉一反三】本題條件不變,截面在什么情況下為菱形?【解析】當截面經過AA1的中點(或經過AD的中點)時,截面形狀為菱形.2.【解析】選D.過點A可作直線a′∥a,b′∥b,則a′∩b′=A,所以a′,b′可確定一個平面,記為α.如果a?α,b?α,則a∥α,b∥α.由于平面α可能過直線a,b之一,因此,過A且平行于a,b的平面可能不存在.3.【解析】選D.若直線l∥平面α,則根據線面平行的性質定理,過l作與平面α相交所得的交線a,b,c,…都與直線l平行,故它們之間相互平行;若l∩α=P,則a,b,c,…都交于同一點P.4.【解析】選A.當直線a在平面β內且經過B點時,可使a∥平面α,但這時在平面β內過B點的所有直線中,不存在與a平行的直線,而在其他情況下,都可以存在與a平行的直線,故選A.5.【解題指南】利用對邊不平行,延長相交構成新的平面,利用面面平行的性質定理,所作的平面只要和該平面平行,則截面是平行四邊形.【解析】選D.設AB∩CD=F,AD∩BC=E,連接PE,PF,EF,如圖所示.設α與棱PA,PB,PC,PD的交點分別是A1,B1,C1,D1,當平面α∥平面PEF時,因為平面PBF∩平面PEF=PF,平面PBF∩平面α=A1B1,所以A1B1∥PF,同理C1D1∥PF,則A1B1∥C1D1,同理A1D1∥B1C1,則截面四邊形A1B1C1D1是平行四邊形.而這樣的平面6.【解析】如圖所示,設AF∩β=G,連接BG,EG,由面面平行的性質易得BG∥CF,GE∥AD,因為,所以.又因為AB=6,所以AC=15.答案：157.【解析】易證平面NHF∥平面B1BDD1,所以當MN在平面NHF內時就有MN∥平面B1BDD1,又M在平面EFGH內,所以M應在平面EFGH與平面NHF的交線FH上.答案：在FH上8.【解析】因為平面α∥平面β,AA′,BB′相交于O,所以AB∥A′B′,且,同理可得,所以△ABC,△A′B′C′面積的比為9∶4,又△ABC的面積為,所以△A′B′C′的面積為.答案：9.【解題指南】由面面平行可得線線平行,再由等角定理可得對應角相等,從而三角形相似,利用相似三角形的比例關系找到面積比.【解析】A′B′∥AB,同理B′C′∥BC,又射線A′B′與射線AB、射線B′C′與射線BC方向分別相同.所以∠A′B′C′=∠ABC.同理∠A′C′B′=∠ACB,所以△A′B′C′∽△ABC.所以.10.【證明】過N作NR∥DC交PC于點R,連接RB,依題意得NR=MB.因為NR∥DC∥AB,所以四邊形MNRB是平行四邊形.所以MN∥RB.又因為RB平面PBC,所以直線MN∥平面PBC.【一題多解】過N作NQ∥AD交PA于點Q,連接QM,因為,所以QM∥PB.又NQ∥AD∥BC,所以平面MQN∥平面PBC.所以直線MN∥平面PBC.【技法點撥】巧用面面平行的性質證明線面平行由面面平行的性質既可以證明直線與直線平行,又可以解決線面平行的問題.其中證明線線平行時,尋找或構造第三個平面是應用性質定理的關鍵,性質定理的實質是將空間問題轉化為平面問題.11.【證明】(1)因為M,N分別是CD,CB的中點,所以MN∥BD,又因為BB1DD1,所以四邊形BB1D1D是平行四邊形.所以BD∥B1D1.又MN∥BD,從而MN∥B1D1.(2)連接A1C1,交B1D1因為四邊形A1B1C1D1為平行四邊形,則O點是A1C1的中點,因為E是AA1的中點,所以EO是△AA1C1的中位線,所以EO∥AC1.又AC1?平面EB1D1,EO平面EB1D1,所以AC1∥平