線性代數

(Linearalgebra)教師:張宇卓數理統計教研室(誠信樓728)個人信箱作業

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期中考試內容和時間待定.例如《線性代數》研究的是什么？

線性代數是高等代數的一大分支.我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數就叫做“線性代數”.線性代數課程的地位和作用★線性代數是一門非常重要的基礎課之一.它的理論不僅滲透到了數學的許多分支中，而且還在理論物理、理論化學、工程技術、國民經濟、生物技術、航天、航海等領域中都有著廣泛的應用.★該課程對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用.通過線性代數的學習，能使學生獲得應用科學中常用的矩陣、線性方程組等理論及其有關基本知識，并具有較熟練的矩陣運算能力和用矩陣方法解決一些實際問題的能力.特別地，對于經管類學生，本課程是今后研究和工作需要選學的后繼課程的基礎，如運籌學，經濟計量學，投資與決策等.第一章行列式主要內容：n階行列式

定義(§1.1),

性質(§1.2、§1.3)；克萊姆法則

n元線性方程組與n階行列式的關系(§1.4).§1.1n階行列式一、二、三階行列式二、排列及其逆序數三、n階行列式一、二、三階行列式用消元法解二元線性方程組分析其解的結構.

方程組的解為由方程組的四個系數確定.記對角線法則:主對角線上兩元素乘積減去副對角線上兩元素乘積.主對角線副對角線方程組的解為則當時，

【注】分母都為原方程組的系數行列式.例1解例2

設問λ為何值時D＝0，λ為何值時D≠0？希望當時,也有問題

三階行列式如何計算，使上面結論成立？三元線性方程組3332323222131211aabaabaabD=令

333231232221131211aaaaaaaaaD=33231222211121133333123221131112baabaabaaDabaabaabaD==三階行列式【注】①紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．②三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.三階行列式的計算方法一：對角線法則【練習】計算方法二：沙路法以上兩種方法只適用于三階行列式的計算.例3求解方程解方程左端例4

利用三階行列式求解線性方程組解由于方程組的系數行列式同理可得故方程組的解為n元線性方程組令問題對角線法則只適用于二階與三階行列式．

n階行列式如何計算使上述結論成立？希望當時,有定義1把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列(或排列).特別地,由n個自然數1、2、…、n組成的有序數組稱為一個n級(階、元)排列.n級排列共有種.二、排列及其逆序數

我們規定,各數之間由小到大排列為標準次序,若n個不同的自然數按照由小到大排列,稱這樣的排列為n級自然序排列.例如

排列32514中，

32514逆序逆序逆序

在一個排列中，若數

,則稱這兩個數構成一個逆序.定義2定義3

一個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數,

記作的總和計算排列逆序數的方法排列中比每一元素大的且排在前面的元素個數，即是這個排列的逆序數.

方法一排列中比每一元素小的且排在后面的元素個數，也是這個排列的逆序數.的總和方法二【練習】求逆序數為奇數的排列稱為奇排列;逆序數為偶數的排列稱為偶排列.排列的奇偶性【注】

逆序數為0的排列稱作偶排列,如

.例5

計算下列排列的逆序數，并討論它們的奇偶性.1)217986354解故此排列為偶排列.217986354501304401當

時為偶排列；當

時為奇排列.解0122)特別地,將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換.對換定義在一個排列中，將某兩個數a,b對調，其余各數位置不變，這樣的變換稱為一個對換,記為(a,b).例如1)2)定理1

任意一個排列經過一次對換后，改變其奇偶性．證明1°相鄰兩個數對換除外，其它元素的逆序數不改變.對換與排列奇偶性的關系（，）結論

對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.當時，的逆序數不變;經對換后的逆序數增加1,經對換后的逆序數不變，的逆序數減少1.當時，次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換

綜上,一個排列中的任意兩個數對換，排列改變奇偶性.2°不相鄰兩個數對換證明

設這n!個n級排列中共有s個奇排列,t個偶排列，現證s=t.故必有奇排列偶排列,所以前兩個數對換s個

s

個偶排列奇排列,所以前兩個數對換

t

個t

個定理2n個元素(n＞1)共有n!個n級排列,其中奇、偶排列各占一半,即各有個.歸納每項內容及符號的規律三階行列式共有6項，即項．①

每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．分析三階行列式結果②符號：,其中為列標全排列.

當行標按1，2，3排列時，每項都可寫成

,每項符號決定于列標排列的逆序數，即三、n階行列式綜上，三階行列式

為對列標所有全排列求和.n階行列式的定義定義

n階行列式是所有取自不同行、不同列的n個數的乘積的代數和，即【說明】②

n階行列式是項的代數和;③

n

階行列式的每項都是位于不同行、不同列

n個元素的乘積;⑤一階行列式

,不要與絕對值記號相混淆;④

的符號為①行列式(determinant)是一種特定的算式，計算結果是數值.它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的，可簡記為;例6有4階行列式，分析：（1）是否為展開式中的一項，若是，確定其在展開式中的符號.【注】該行列式中左上角到右下角的對角線稱為主對角線,

主對角線上的各元素稱為主對角元素.

稱左側的行列式為下三角形行列式，右側的行列式為上三角形行列式.＝

例7

計算n階行列式(其中)【練習】計算例8

計算n階行列式對角形行列式【注】①三角形行列式及對角形行列式的值均等于主對角線元素的乘積;②由行列式定義知，若有一行（或一列）中的元素都為0，則此行列式的值為.0?確定行列式中各項符號定理推論

對于n階行列式定理

n階行列式

的一般項可以寫成其中為行標的n級排列；

為列標的n級排列.

續例6

有