[基礎題組練]1．(2020·封市定位考試開)等比數列{an}的前n項和為Sn，若a3＋4S2＝0，則公比q＝( )A．－1B．1C．－2D．2分析：選C.法一：因為a3212＋4a1112＋＋4S＝0，所以aq＋4aq＝0，因為a≠0，所以q4q＋4＝0，所以q＝－2，應選C.法二：因為a3＋4S2＝0，所以a2q＋4a2＋4a2＝0，因為a2≠0，所以q＋4＋4＝0，即(qqq＋2)2＝0，所以q＝－2，應選C.2．(2020寧·夏銀川一中一模)已知等比數列{a}中，有aa＝4a，數列{b}是等差數列，n3117n其前n項和為Sn，且b7＝a7，則S13＝()A．26B．52C．78D．104分析：選B.設等比數列{an}的公比為q，因為a3a11＝24a7，所以a7＝4a7≠0，解得a7＝4，因為數列{bn}是等差數列，且b7＝a7，13×（b1＋b13）所以S13＝＝13b7＝13a7＝52.應選B.23．(2020吉·林長春5月聯考)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，公差d＞0，a6和a8是函數f(x)＝15lnx＋1x2－8x的極值點，則S8＝( )42A．－38B．38C．－17D．17x2－8x＋15分析：選A.因為f(x)＝15lnx＋1x2－8x，所以f′(x)＝15＋x－8＝4＝424xx115x－2x－2，x15令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝2.又a6和a8是函數f(x)的極值點，且公差d＞0，a1＋5d＝1，a1＝－17，所以a61，a815，所以2解得2215d＝.1，22a＋7d＝所以S8＝8a1＋8×（8－1）×d＝－38，應選A.24．設y＝f(x)是一次函數，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數列，則f(2)＋f(4)＋＋f(2n)等于()．n(2n＋3)C．2n(2n＋3)

B．n(n＋4)D．2n(n＋4)分析：選A.由題意可設f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．5．(2020·西南昌模擬江)意大利數學家斐波那契以兔子生殖為例，引入“兔子數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)．此數列在現代物理、化學等方面都有著廣泛的應用．若此數列被2除后的余數構成一個新數列{an}，則數列{an}的前2019項的和為( )A．672B．673C．1346D．2019分析：選C.因為{an}是數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各項除以2的余數，故{an}為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，，所以{an}是周期為3的周期數列，且一個周期中的三項之和為1＋1＋0＝2.因為2019＝673×3，所以數列{an}的前2019項的和為673×2＝1346.應選C.6．(2019高·考北京卷)設等差數列{a}的前n項和為S.若a＝－3，S＝－10，則ann255＝，Sn的最小值為．a＝－3，a＋d＝－3，分析：設等差數列{an}的公差為d，因為2即1所以可得S＝－10，5a＋10d＝－10，51a1＝－4，Sn＝na1＋n（n－1）d＝12，所以當n＝4或n所以a5＝a1＋4d＝0，因為22(n－9n)d＝1，5時，Sn獲得最小值，最小值為－10.答案：0－107．若數列{an}滿足1－2＝0，則稱{a為“夢想數列”．已知正項數列1an＋1anbn數列”，且b1＋b2＋b3＝1，則b6＋b7＋b8＝．分析：由1－2＝0可得a＋11的等比數列，故{1}是公比為1的an＋1an2bn22等比數列，則{bn}是公比為2的等比數列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.答案：328．(2020河·北石家莊4月模擬)數列{a}的前n項和為S，定義{a}的“優值”為H＝nnnna＋2a＋＋2n－1．21nn分析：由Hn＝a1＋2a2＋＋2n－1an＝2n，n得a12n－1nn，①＋2a＋＋2a＝n·2當n≥2時，a1＋2a2＋＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，②由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，當n＝1時，a1＝2也滿足式子an＝n＋1，所以數列{an}的通項公式為an＝n＋1，所以Sn＝n（2＋n＋1）＝n（n＋3）.22答案：n（n＋3）29．(2020·漢市部分學校調研武)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，等比數列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通項公式；(2)若T3＝13，求Sn.解：(1)設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②聯立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以{bn}的通項公式為bn＝2n－1.(2)因為T3＝b1(1＋q＋q2)，所以1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3得d＝4－q，所以d＝1或d＝8.由Sn＝na1＋1n(n－1)d，得Sn＝1n2－3n或Sn＝4n2－5n.22210．(2020

·南省湘東六校聯考湖

)已知數列

{an}的前

n項和

Sn滿足

Sn＝

Sn－1＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求數列{a}的通項公式a；nnn1，Tnnn2成立的n的最小值．(2)記b＝nn＋1為{b}的前n項和，求使Tna·a解：(1)由已知有Sn－Sn－1＝1(n≥2，n∈N)，所以數列{Sn}為等差數列，又S1＝a11，所以Sn＝n，即Sn＝n2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也滿足上式，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝1＝11－11），（2n－1）（2n＋22n－12n＋1所以Tn＝11－1＋1－1＋＋1－1＝11－1＝n.23352n－12n＋122n＋12n＋1由Tn≥2n得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，所以n的最小值為5.[綜合題組練]1．(2020·京市石景山區北3月模擬)九連環是我國從古到現在廣為流傳的一種益智游戲，它用九個圓環相連成串，以解開為勝．據明朝楊慎《丹鉛總錄》記錄：“兩環相互貫為一，得其關捩，解之為二，又合而為一．”在某種弄法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N＋)個圓2an－1－1，n為偶數，4個環環所需的最少挪動次數，數列{an}滿足a1＝1，且an＝則解下2a＋2，n為奇數，n－1所需的最少挪動次數a4為()A．7B．10C．12D．222an－1－1，n為偶數，分析：選A.因為數列{an}滿足a1＝1，且an＝2an－1＋2，n為奇數，所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.應選A.2．已知an＝3n(n∈N＋)，記數列n∈N＋，Tn＋3{an}的前n項和為Tn，若對任意的2k≥3n－6恒成立，則實數k的取值范圍是．n3n＋13（1－3）＝－＋3，分析：Tn＝1－32233n＋1＝，所以Tn＋22k≥2（3n－6）2n－4則原不等式可以轉變成3n＋1＝3n恒成立，2n－4令f(n)＝3n，當n＝1時，f(n)＝－2，當n＝2時，f(n)＝0，3當n＝3時，f(n)＝2，當n＝4時，f(n)＝4，即f(n)是先增添后減少，當n＝3時，取278122得最大值27，所以k≥27.答案：k≥2273．(2019高·考江蘇卷節選)定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M－數列”．(1)已知等比數列{a}(n∈N)滿足：aa＝a，a－4a＋4a＝0，求證：數列{a}為“Mn＋245321n－數列”；(2)已知數列{bn}(n∈N＋)滿足：b1＝1，1＝2－2，此中Sn為數列{bn}的前n項和．求Snbnn＋1數列{bn}的通項公式．解：(1)證明：設等比數列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.a2a4＝a5，a12q4＝a1q4，由得2－4a1＝0，32111a－4a＋4a＝0，aqq＋4aa1＝1，解得q＝2.所以數列{an}為“M－數列”．(2)因為1＝2－2，所以bn≠0.nn＋由b1111＝2－2，則b2＝1，S＝b，得11b2＝2.由1＝2－2，得Snbnbn＋1，Snbnn＋1n＋1n當n≥2時，由bnnn－1，＝S－S得bn＝bnbn＋1－bn－1bn，n＋1nnn－12（b－b）2（b－b）整理得bn＋1n－1n＋b＝2b.所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列．所以，數列{bn}的通項公式為bn＝n(n∈N＋)．4．(2020陜·西寶雞二模)已知數列{a}的前n項和為S，滿足：a＝1，S－1＝S＋a，nn1n＋1nn1數列{bn}為等比數列，滿足b1＝4b3，b2＝4＜b1，n∈N＋.(1)求數列{a}，{b}的通項公式；nn1的前n項和為Wnnnn1的大小．(2)若數列anan＋1，數列{b}的前n項和為T，試比較W與Tn解：(1)由Sn＋1－1＝Sn＋an，可得an＋1＝an＋1，又a1＝1，所以數列{an}是首項和公差均為1的等差數列，可得an＝n.1因為數列{bn}為等比數列，滿足b1＝4b3，